Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	44/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Теорема 2
Теорема 1.

Теорема 1. n-өлшемді квадрат матрицаларды көбейту операциясына келесі қасиеттер орындалады:

1. Кез келген А, В, С матрицаларына (АВ)С = А(ВС) – көбейтудің ассоциативтігі.

2. Кез келген А, В, С матрицаларына A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA – көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі.

3. Кез келген квадрат A матрицасына AE = EA = A, мұндағы E – n-өлшемді бірлік матрица.

4. Кез келген A, B матрицаларына және кез келген λ скаляры үшін λ(AB) = (λA)B = A(λB)

Келесі квадрат матрицалар элементар деп аталады.

S__i =

– диагональдан тыс элементтер 0-ге тең, диагональдағы i-элемент λ  0 скалярына тең, диагональдағы қалған элементтер 1-ге тең. Осы матрица бірлік матрицаның i-жолын λ-ға көбейткенде шығады.

S_i₊__j =

– диагональ элементтер 1-ге тең, (i, j)-орнындағы элемент λ-ға тең, қалған элементтер 0-ге тең. Осы матрица бірлік матрицаның j-жолын λ-ға көбейтіп, i-жолына қосқанда шығады.

Теорема 2. Квадрат матрицаны сол жағынан элементар матрицаға көбейту матрицаның жолдарына элементар түрлендіру қолданғанымен пара-пар.

§ 3. Керіленетін матрицалар

Анықтама. Егер матрицаның жолдары сызықты тәуелсіз болса, онда матрица ерекше емес деп аталады, қарсы жағдайда матрица ерекше деп аталады.

n-өлшемді бірлік матрицаның түрі Е =

болады, мұнда диагональда 1, диагональдан тыс 0 тұрады. Егер бірлік матрицаның элементін _ij деп белгілесе, онда егер i  j болғанда, _ij = 0, және i = j болғанда _ij = 1.

Анықтама. Егер А матрицасы үшін АВ = Е және ВА = Е теңдіктері орындалатын В матрицасы табылса, онда А матрицасы керіленетін деп аталады.

Бұл жағдайда А және В матрицалары бір-біріне кері деп аталады.

Егер А матрицасы керіленетін болса, онда оған кері матрица А^–1 деп белгіленеді. Сонымен А  А^–1= Е және А^–1А = Е.

Теорема 1. 1. Кез келген керіленетін матрицаға кері матрица жалғыз болады.

2. Керіленетін A, B матрицаларының көбейтіндісі керіленетін матрица болады және (AB)^–1 = B^–1A^–1.

3. Бірлік матрица керіленетін болады.

4. Егер A матрицасы керіленетін болса, онда оған кері A^–1 матрицасы керіленетін болады және (A^–1)^–1 = A.

5. Егер A₁,…, A_m керіленетін матрицалар болса, онда олар керіленеді және (A₁…A_m)^–1 = A_m^–1…A₁^–1.

Теорема 2. Кез келген элементар матрица керіленетін болады.

Теорема 3. Ерекше матрица керіленетін болмайды.

§ 4. Кері матрицаны элементар түрлендірулерді қолданып есептеу

Теорема 1. Квадрат матрицаны элементар түрлендірулер арқылы бірлік матрицаға келтіруге болғанда ғана, тек сонда ғана ол ерекше емес болады.

Теорема 2. Ерекше емес матрицаны элементар матрицалардың көбейтіндісі түрінде келтіріледі.

§ 5. Сызықтық теңдеулер жүйесінің матрицалық түрі

Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

₁₁x₁ + … + ₁_nx_n = ₁

. . . . . . . . . . (1)

_n₁x₁ + … + _nnx_n = _n.

Оның негізгі матрицасы квадрат А =

матрицасы, бос мүшелер бағаны b =

, белгісіздер бағаны X =

болады. Берілген жүйені матрицалық түрде жазуға болады:

AX = b. (2)

Теорема 1. Егер квадрат А матрицасы ерекше емес болса, онда A^–1b векторы (1)-жүйенің жалғыз шешімі болады.

§ 6. Квадрат матрицаның анықтауышы

Анықтама. 1, 2, …, n сандарының алмастыруы деп олардың өзара орналасуы аталады.

Басқа сөзбен айтқанда, 1, 2, …, n сандарының алмастыруы осы жиында берілген рет аталады.

Мысал. n = 1 үшін жалғыз алмастыру бар: 1.

n = 2 үшін екі алмастыру бар: 1, 2 және 2, 1.

n = 3 үшін 6 алмастыру бар: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.

Теорема 1. n санның алмастырулар саны n! = 12...n санына тең.

Алмастырудағы i және j сандарына i > j болса және i саны j санының алдында тұрса, онда i және j сандары осы алмастыруда инверсия құрайды дейді.

Егер алмастырудың инверсиялар саны жұп болса, онда алмастыру жұп деп аталады, қарсы жағдайда алмастыру тақ деп аталады.

Мысал. n = 2 үшін 1, 2 алмастыруында инверсия жоқ, сондықтан ол жұп, ал 2, 1 бір инверсия бар: 2 > 1, сондықтан ол тақ.

n = 3 үшін:

1, 2, 3 – инверсия жоқ, жұп;

1, 3, 2 – бір инверсия: 3 > 2, тақ;

2, 1, 3 – бір инверсия: 2 > 1, тақ;

2, 3, 1 – екі инверсия: 2 > 1, 3 > 1, жұп;

3, 1, 2 – екі инверсия: 3 > 1, 3 > 2, жұп;

3, 2, 1 – үш инверсия: 3 > 2, 3 > 1, 2 > 1, тақ.

Анықтама.  алмастыруының sgn( ) таңбасы

 жұп болғанда, sgn() =1,

 тақ болғанда, sgn() = –1

деп анықталады.

Егер алмастыруда екі санды орнымен ауыстырса, онда алмастыруға транспозиция қолданылды дейді.

Теорема 2. Кез келген транспозиция алмастырудың жұп-тақтығын өзгертеді.

Анықтама. n-өлшемді квадрат А = (_ij) матрицасының анықтауышы немесе n-ретті анықтауыш деп A матрицасының әрбір жолынан және әрбір бағанынан бір-бірден алынған n элементтің көбейтінділерінің n! алгебралық қосындысы аталады, сонымен бірге қосындының әрбір көбейтіндісі sgn()sgn() таңбасымен алынады, мұндағы  – жолдардың нөмірлерінің алмастыруы,  – бағандардың нөмірлерінің алмастыруы.

A матрицасының анықтауышы | A | немесе

деп белгіленеді. Анықтауышты белгілейтін тік жақшалар қолданылады, яғни дөңгелек, квадрат, фигуралық немесе басқа түрдегі жақшалар қолданылмайды.

Сонымен, | A | =

, мұндағы j₁,..., j_n –

көбейтіндісіндегі жолдардың нөмірлерінің алмастыруы, i₁,..., i_n – бағандардың нөмірлерінің алмастыруы.

Әдетте

көбейтіндіде жолдардың нөмірлерін өспелі түрде жазады:

. Мұны біртіндеп көршілес көбейткіштерді орындарымен ауыстырып жасауға болады. Бір осындай ауыстыруда жол нөмірлерінің алмастыруында және баған нөмірлерінің алмастыруындарында таңбалары бір мезгілде өзгереді. Сондықтан көбейтіндісінің таңбасы өзгермейді. Сөйтіп, A матрицасының анықтауышын былай жазған жөн: | A | =

, sgn(1,..., n) жазылмайды, өйткені ол 1-ге тең.

Мысал. Реті кішкентай A = (_ij) матрицаларының анықтауышын тікелей есептейік.

Егер A = (_ij) матрицасының реті 1 болса, онда оның жалғыз ₁₁ элементі бар, сондықтан анықтауыш осы элементке тең: | A | = ₁₁.

Егер A матрицасының реті 2 болса, онда екі санның екі алмастыруы бар: 1, 2 – жұп және 2, 1 – тақ. Осы алмастырулар бойынша анықтауыш құрылады: | A | =

= ₁₁₂₂ – ₁₂₂₁, жолдардың нөмірлері өспелі түрде жазылады.

Егер n = 3 болса, онда бағандардың нөмірлеріне сәйкес 6 алмастыру бар: 1, 2, 3 – жұп; 1, 3, 2 – тақ; 2, 1, 3 – тақ; 2, 3, 1 – жұп; 3, 1, 2 – жұп; 3, 2, 1 – тақ. Осы алмастырулар бойынша 3-ретті анықтауышты жазамыз | A | =

= ₁₁₂₂₃₃ – ₁₁₂₃₃₂ – ₁₂₂₁₃₃ + ₁₂₂₃₃₁ + ₁₃₂₁₃₂ – ₁₃₂₂₃₁.

Екінші және үшінші ретті анықтауышты есептегенде, әдетте келесі ережелерді қолданады:

Осы сұлбаларда көбейтілетін элементтер сызықтармен қосылған және олардың таңбалары көрсетілген.

§ 7. Анықтауыштардың қасиеттері

A = (_ij) матрицасының бас диагоналы жолдың нөмірі бағанның нөміріне тең элементтерден тұрады; атап айтқанда _ii түрдегі элементтерден, i = 1,…, n.

Анықтама. Егер квадрат матрицаның бас диагональдан тыс элементтері нөл болса, онда ол диагональ матрица деп аталады,.

Мысалы, бірлік матрица диагональ матрица болады.

Анықтама. Егер квадрат матрицаның диагональдан төмен элементтері нөл болса, онда ол жоғарғы үшбұрышты матрица деп аталады. Осыған ұқсас, квадрат матрицаның диагональдан жоғарғы элементтері нөл болса, онда матрица төменгі үшбұрышты матрица деп аталады.

Айталық, диагональ матрица үшбұрышты болады (төменгі де, жоғарғы да).

Теорема 1. (Анықтауыштардың қасиеттері).

1°. Нөлдік жолы бар анықтауыш нөлге тең.

2°. Диагональ матрицаның анықтауышы диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең.

3°. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең.

4°. Егер матрицаның жолдарын бағандарға алмастырса, онда матрицаның анықтауышы өзгермейді.

5°. Егер анықтауыштың кейбір жолының элементтері екі қосылғыштың қосыныдысы түрінде келтірілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең, бірінші анықтауышта аталған жолдың элементтері бірінші қосылғышқа тең, екінші анықтауышта – екінші қосылғышқа тең:

6°. Егер анықтауыштың бір жолын (бағанын) скалярға көбейтсе, онда анықтауыш сол скалярға көбейтіледі:

= 

7°. Егер анықтауыштың екі жолы тең болса, онда анықтауыш нөлге тең.

8°. Егер анықтауыштың бір жолын скалярға көбейтіп, екінші жолға қосса, онда анықтауыш өзгермейді.

9°. Егер анықтауыштың екі жолын орындарымен алмастырса, онда анықтауыштың таңбасы өзгереді.

10°. Егер анықтауыштың жолдары сызықты тәуелді болса, онда анықтауыш нөлге тең.

§ 8. Минорлар және алгебралық толықтауыштар

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 39 40 41 42 43 44 45 46 47