Теорема 2. Егер біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының рангі r болса, онда шешімдердің фундаментальды жүйесіндегі векторлар саны s = n – r болады.
II-Тарау. Матрицалар және анықтауыштар
§ 1. Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері
I-Тарауда матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге қолданылған. Екі матрицаны қосу және матрицаны скалярға көбейту амалдары қаралған. Енді осы амалдармен бірге матрицаларды көбейту операциясы қаралады.
F өрісіндегі m n-матрица берілсін
А = ,
мұндағы m – жолдардың, n – бағандардың саны.
Қысқаша матрица A = (ij ) деп белгіленеді.
Егер m = n болса, А матрицасы n-ретті квадрат матрица деп аталады.
Егер бір матрицаның жолдарының саны және бағандарының саны сәйкесінше екінші матрицаның жолдарының санына және бағандарының санына тең болса, онда матрицалардың өлшемдігі тең деп есептеледі.
F өрісіндегі m n-матрицалардың жиыны Mm,n(F) деп және n-ретті квадрат матрицалардың жиыны Mn(F) деп белгіленеді.
А матрицасының жолдары және бағандары
Ai = (i1, i2,…, in) – i-жол; Ak = – k-баған,
деп белгіленеді.
Егер өлшемдігі тең A = (ik) және B = (ik) матрицаларына кез келген i және k индекстері үшін ik = ik болса, онда матрицалар тең деп есептеледі.
Өлшемдігі тең екі матрицаны қосу үшін сәйкес элементтерді қосу керек: (i, k)-орнындағы элемент ik + ik болады, яғни А + В = (ik + ik).
Мысалы, + = = .
Барлық элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп аталады және деп белгіленеді
Матрицаны λ скалярына көбейту үшін оның барлық элементтерін λ-ға көбейту керек: λА = (λik).
Мысалы, 3 = .
Теорема 1. F өрісіндегі mn-матрицаларына келесі қасиеттер орындалады:
1. Кез келген A, B, C матрицаларына A + (B + C) = (A + B) + C – қосудың ассоциативтігі.
2. Барлық A матрицаларына A + = A және + A = A – нөлдік матрицаның қасиеті.
3. Кез келген A матрицасына A + B = және B + A = болатындай B матрицасы табылады – қарама-қарсы матрицаның табылатындығы.
4. Кез келген A, B матрицаларына A + B = B + A – қосудың коммутативтігі.
5. Кез келген A матрицасына 1A = A.
6. Кез келген A матрицасына және , . скалярларына ()A = (A).
7. Кез келген A, B матрицаларына және кез келген . скалярына (A + B) = A + B.
8. Кез келген A матрицасына және кез келген , скалярларына ( + )A = A + A.
§ 2. Матрицаларды көбейту
А = және В = матрицалары берілсін және А матрицасының бағандар саны В матрицасының жолдарының санына тең болсын.
А матрицасының Аi жолының B матрицасының B j бағанына көбейтіндісі:
Ai Bj = (i1, i2,…, in) = i11j + i22j +…+ innj =
деп анықталады.
Басқа сөзбен айтқанда, Аi жолының элементтері Bj бағанының сәйкес элементтеріне көбейтіліп қосылады.
Айталық, (1, 2, 3, 4) = 15 + 26 + 37 + 48 = 70.
А матрицасының өлшемдігі mn және В матрицасының өлшемдігі nk болсын. Онда A матрицасының B матрицасына көбейтіндісінің (i, j)-орнындағы элемент AiBj болатын mk-матрица аталады, атап айтқанда,
AB = .
Матрицаларды көбейткенде өлшемдіктерді былай есептеуге болады: және
Мысалы, = = .
Егер A = , B = болса, онда АВ =, ВА = . Сондықтан АВ ВА, яғни матрицалардың көбейтуі коммутатив операция болмайды.
Сонымен бірге, A = және В = болса, онда АВ көбейтіндісі болады және ВА болмайды.
Одан әрі квадрат матрицаларды қараймыз.
Достарыңызбен бөлісу: |