Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	33/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 29 30 31 32 33 34 35 36 ... 47

Мысалдар. 1. R³ кеңістігінің a₁ = (1, –2, 2), a₂ = (–1, 4, 0), a₃ = (6, –5, 1) векторларына керілген L ішкеңістігінің ортогональ базисін табайық.

r(a₁, a₂, a₃) = 3 екенін көруге болады. Сондықтан L = R³.

b₁ = a₁ деп алайық. (1) және (2) формулалар бойынша b₂ = ₁b₂ + a₂, ₁ = –

, (b₁, b₁) = 9, (a₂, b₁) = –9. Сондықтан ₁ = 1, b₂ = b₁ + a₂ = (0, 2, 2).

Енді b₃ = ₁b₁ + ₂b₂ + a₃, _i = –

, i = 1, 2. (a₃, b₁) = 18, ₁ = –2, (b₂, b₂) = 8, (a₃, b₂) = –8, ₂ = 1. Осыдан b₃ = (–2)b₁ + 1 b₂ + a₃ = (–2)(1, –2, 2) + (0, 2, 2) + (6, –5, 1) = (4, 1, –1).

Сөйтіп, L ішкеңістігінің ортогональ базисін b₁ = (1, –2, 2), b₂ = (0, 2, 2), b₃ = (4, 1, –1) векторлары құрайды.

2. Көпмүшелердің C[–1, 1] кеңістігінеің f₀ = 1, f₁ = x, f₂ = x₂, f₃ = x₃ векторларына тартылған L = L(1, x, x₂, x₃) ішкеңістігінің ортогональ базисін табайық.

g₀ = f₀ = 1 деп аламыз.

g₁ = ₀ g₀ + f₁ = ₁1 + x =, (f₀, f₀) =

= 2, (f₁, f₀) = (x, 1) =

= 0, ₁ = 0. Сондықтан g₁ = f₁ = x.

g₂ = ₀g₀ + ₁g₁ + f₂ = ₀1 + ₁x + x², (f₂, g₀) =

, ₀ = –

, (g₁, g₁) =

, (f₂, g₁) =

= 0, ₁ = 0. Осыдан g₂ =

g₀ + 0 g₁ + f₂ =

+ x².

g₃ = ₀ g₀ + ₁ g₁ + ₂ g₂ + f₃, (f₃, g₀) =

= 0, ₀ = 0, (f₃, g₁) =

, ₁ =

, (f₃, g₂) =

= 0, ₂ = 0. Осыдан g₃ = 01 –

x + 0 x² + x³ =

x + x³. Сөйтіп L = L(1, x, x², x³) ішкеңістігінің ортогональ базисін g₀ = 1, g₁ = x, g₂ = x² –

, g₃ = x³ –

x векторлары құрайды.

3. n-өлшемді арифметикалық векторлық Rⁿ кеңістігінде ортогональ базисін басқа әдіспен табуға болады. Оны R³ кеңістігінің мысалдағы b₁ = (1, –2, 2) векторынан бастайық.

Егер x = (x₁, x₂, x₃) векторы b₁ векторына ортогональ болса, онда (b₁, x) = 0 немесе 1 x₁ –2 x₂ + 2 x₃ = 0. Сондықтан x векторы x₁ – 2x₂ + 2x₃ = 0 жүйесінің шешімі табылады. Осы жүйенің бір шешімі b₂ = (2, 1, 0) векторы болады.

Енді b₁, b₂ векторларына ортогональ x = (x₁, x₂, x₂) векторы ізделінеді. Онда (b₁, x) = 0, (b₁, x) = 0 шарттары орындалу тиісті. Шарттарды координаталық түрде жазайық: 1 x₁ + (–2) x₂ + 2 x₃ = 0, 2 x₁ + 1 x₂ + 0 x₃ = 0. Сондықтан x векторы x₁ – 2x₂ + 2x₃ = 0, 2x₁ + x₂ = 0 жүйесінің нөлден өзгеше шешімі болады. Оның бір шешімі b₃= (–4, –1, 1) болады. Сондықтан R³ кеңістігінің ортогональ базисін b₁ = (1, –2, 2), b₂ = (2, 1, 0), b₃ = (–4, –1, 1) векторлары құрайды.

§ 10. Ішкеңістіктің ортогональ толықтауышы

§ 11. Евклид кеңістіктері

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 29 30 31 32 33 34 35 36 ... 47