Мысалдар. 1. Біртекті жүйені шешейік:
x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0
3x1 + 5x2 + 6x3 – 4x4 = 0
4x1 + 5x2 – 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 8x2 + 32x3 – 26x4 = 0.
Жүйенің матрицасы сатылы түрге келтіріледі: . Матрицаны рангі 2-ге тең, 2-теорема бойынша, шешімдердің фундаментальды жүйесінде s = 4 – 2 = 2 шешім болу керек. Сөйтіп, келесі жүйе шығады:
x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0
–x2 – 6x3 + 5x4 = 0.
Негізгі белгісіздер x1, x2, еркін белгісіз x3, x4 деп алынады. Еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады:
x1 + 2x2 = – 4x3 + 3x4 = 0
–x2 = –6x3 – 5x4 = 0.
Осы жүйенің шешімі табылады:
x1 = 8x3 – 7x4 (3)
x2 = –6x3 + 5x4.
Енді (2)-жүйедегідей бір еркін белгісізге 1 мәнін, қалғандарына 0 мәнін беріп, фундаментальды жүйенің екі шешімін табамыз.
Әуелі x3 = 1, x4 = 0 болсын. Онда (3)-жүйе
x1 = 8
x2 = –6
жүйесіне айналады. Сондықтан фундаментальды жүйенің бір шешімі a1 = (8, –6, 1, 0) болады.
Енді x3 = 0, x4 = 1 болсын. Онда (3)-жүйе
x1 = –7
x2 = 5 жүйесіне айналады. Осыдан фундаментальды жүйенің екінші шешімі табылады: a2 = (–7, 5, 0, 1).
Сөйтіп, берілген біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін a1 = (8, –6, 1, 0), a2 = (–7, 5, 0, 1) векторлары құрайды.
Ал жүйенің жалпы шешімі осы шешімдердің сызықтық комбинациясы болады:
1a1 + 2a2 = 1(8, –6, 1, 0) + 2(–7, 5, 0, 1) = 1a1 + 2a2 = (81, –61, 1, 0) + (–72, 52, 0, 2) = (81 – 72, –61 + 52, 1 + 0, 0 + 2) = (81 – 72, –61 + 52, 1, 2), мұндағы 1, 2 кез келген скалярлар.
2. A = матрицасының жолдары біртекті
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
3x1 + 2x2 + x3 + x4 – 3x5 = 0
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 0
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 – x5 = 0
сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрайтынын, не құрамайтынын анықтайық.
A матрицасының жолдары жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрастыру үшін:
1) оның жолдары жүйенің шешімі болу керек;
2) оның жолдары сызықты тәуелсіз болу керек;
3) матрицаның рангі s = n – r санына тең болу керек, мұндағы n = 5 белгісіздердің саны, r жүйенің негізгі матрицасының рангі.
Әуелі A матрицасының жолдары жүйенің шешімі болатыны тексеріледі. Бірінші жолды тексерейік: (1, –2, 1, 0, 0).
1 + (–2) + 1 + 0 + 0 = 0
31 + 2(–2) + 1 + 0 – 0 = 0
(–2) + 21 + 0 + 0 = 0
51 + 4(–2) + 31 + 30 – 0 = 0.
Сондықтан матрицаның бірінші жолы жүйенің шешімі болады. Осыған ұқсас матрицаның қалған жолдары да шешім болатыны тексеріледі.
Енді A матрицасының жолдары сызықты тәуелсіз болатынын тексерейік. Ол үшін матрицаның рангін табамыз: A = . Сөйтіп, A матрицасының рангі 2-ге тең. Сондықтан оның жолдары сызықты тәуелсіз болмайды. Сонымен A матрицасының жолдары біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін құрамайды.
II-Тарау. Матрицалар және анықтауыштар
§ 1. Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері
Мысалы, 3 = .
§ 2. Матрицаларды көбейту
Айталық, (1, 2, 3, 4) = 15 + 26 + 37 + 48 = 70.
Мысалы, = = .
Егер A = , B = болса, онда АВ =, ВА = . Сондықтан АВ ВА, яғни матрицалардың көбейтуі коммутатив операция болмайды.
Сонымен бірге, A = және В = болса, онда АВ көбейтіндісі болады және ВА болмайды.
§ 3. Керіленетін матрицалар
Достарыңызбен бөлісу: |