Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

–x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 2x₄ + 5x₅ = 2

–4x₂ – 7x₃– 3x₄ – 11x₅ = –4

6x₄ – x₅ = 4.

Негізгі белгісіздерді x₁, x₂, x₅ және еркін белгісіздерді x₂, x₄ деп алуға болады. Еркін белгісіздер теңдеулердің оң жағына шығарылады:

4. Берілген жүйені,  параметрінің мәніне тәуелді зерттеп, шешейік:

–6x₁ + 7x₂ + 3x₃ = –2

x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 7

x₁ + 8x₂ + 5x₃ = .

Әдеттегідей жүйенің кеңейтілген матрицасы сатылы түрге келтіріледі:

Егер   15 болса, онда кеңейтілген матрицаның рангі 3 және негізгі матрицаның рангіне тең емес болады. Сондықтан, Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша, жүйе үйлесімсіз.

5x₂ + 3x₃ = 8

5. Жүйені  параметрінің мәніне тәуелді зерттеп, шешейік:

x₁ + x₂ + 2x₃ = 2

4x₂ + x₃ = 3

болады. Негізгі белгісіздер x₁, x₃, еркін белгісіз x₂ деп алынады. Онда жүйенің жалпы шешімі x₁ = 1– 3x₂, x₃ = 3 – 4x₂, векторлық түрдегі жалпы шешім (1– 3x₂, x₂, 3 – 4x₂) деп жазылады.

Егер ²  1 болса, онда кеңейтілген B матрицасының рангі 3 және негізгі матрицаның рангі де 3 болады. Бұл жағдайда жүйе анықталған болады. Жүйенің жалғыз шешімін табу үшін сатылы B матрицасына сәйкес жүйесі жазылады:

–2( – 1)x₂ + x₃ = 3

6. b векторы a₁, a₂, a₃, a₄ векторлары арқылы сызықтық өрнектелетінін тексеру керек, егер өрнектелсе, онда сол өрнектегі коэффициенттерін табайық, мұндағы a₁ = (1, 2, –1, –2), a₂ = (2, 3, 0, –1), a₃ = (1, 2, 1, 4), a₄ = (1, 3, –1, 0), b = (7, 14, –1, 2).

2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 14

–x₁ + x₃ – x₄ = –1

–2x₁ – x₂ + 4x₃ = 2.

–x₂ + x₄ = 0

7. b = (7, –2, ) векторы a₁ = (1, –6, 1), a₂ = (3, 7, 8), a₃ = (2, 3, 5) векторлары арқылы сызықтық өрнектелетін  параметрінің мәндерін табайық.

–6x₁ + 7x₂ + 3x₃ = –2

Сондықтан есептің жауабы:  = 15 болғанда b векторы a₁, a₂, a₃ векторлары арқылы сызықтық өрнектеледі,   15 болғанда өрнектелмейді.

§ 9. Біртекті теңдеулер жүйесі және оның қасиеттері