§7. Екінші текті қисықсызықты интегралдың

225
7.2.
 
Айнымалы күш жұмысы
АВ 
қисықсызықты доғасында 
( ) ( )
(
)
,
,
,
F P x y Q x y
 
айнымалы 
күшпен атқарылатын жұмыс
( )
( )
,
,
AB
P x y dx Q x y dy
+
∫
                       (6.19)
формуласы бойынша есептеледі.
1-мысал
. 
3
3
cos
sin
x
a
y
a
t
=
=
 астроидасымен шектелген 
фигура ауданын табу қажет.
Шешімі.
 
Астроиданы оң бағытта айналуда 
t 
параметрі 0-ден 
π
2
-ға дейінгі аралықта өзгереді. (6.18), (6.6) формулаларын 
қолданған күнде
2
3
2
3
2
0
1
( cos
3 sin
cos
sin
3 cos
sin )
2
S
a
t
a
t
t
a
t
a
t
t dt
π
=
⋅
+
⋅
=
∫
2
2
2
2
2
2
0
0
1
sin 2
3
1 cos 4
3
3
.
2
4
8
2
8
t
a
t
a
a
dt
dt
π
π
π
−
= ⋅
=
=
∫
∫
2
-
мысал
. y = x
3
 
қисығының бойында 
О 
(0, 0) нүктесінен
В 
(1, 1) нүктесіне дейін 
6
4
F
x i
xy j
=
+
 күшімен туғызылатын 
жұмысты табу талап етіледі.
Шешімі.
 
(6.19) формуласы бойынша
(
)
1
1
6
6
3
2
6
0
0
4
4
3
7
1.
L
A
x dx
xydy
x
x x
x dx
x dx
=
+
=
+ ⋅ ⋅
=
=
∫
∫
∫
15–454

226
VІІ тарау
.  
БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАР
§1. Бірінші текті беттік интеграл
1.1.
 
Негізгі ұғымдар
Беттік интеграл екі еселі интегралдың жалпыламасы 
болып келеді. 
Oxyz
 кеңістігіндегі кейбір 
S 
ауданды 
S
 бетінің 
нүктелерінде үзіліссіз ƒ(
x,y,z
) функциясы анықталған болсын.
S
 бетін əрқайсысының ауданы ∆
S
i 
 болатындай 
n 
бөлікке бөлшек-
теп, олардың диаметрлерін (бөлік нүктелері арасындағы ең үлкен 
қашықтықты) 
d
i
  (
i 
=1, 2, …., 
n
) арқылы белгілейтін боламыз. 
Əрбір 
S
i 
бөлігінде 
( ,
, )
i
i
i
i
M x y z
 нүктесін еркін алып, 
∑
∆
=
n
i
i
i
i
i
S
z
y
x
f
1
)
,
,
(
  
                                (7.1)
қосындысын құрамыз. Ол 
S
 беті бойынша ƒ(
x,y,z
) функциясы 
үшін жазылған 
интегралдық қосынды
 деп аталады.
Егер 
n
0
max
,
1
→
=
∞
→
≤
≤
i
n
i
d
λ
 
шартында (7.1) интегралдық 
қосынды шекке иеленсе, ол шекті ƒ(
x,y,z
) 
функциясынан
S беті бойынша алынған бірінші текті беттік интеграл 
деп атап,
( , , )
S
f x y z ds
∫∫
белгіленуін қолданады. Сонымен, анықтама бойынша 
,
1
0
( , , )
lim
( ,
, )
.
n
i
i
i
i
ï
i
S
f x y z ds
f x y z
S
λ
→∞
=
→
=
⋅ ∆
∑
∫∫
Айта кету керек, «егер бет тегіс, атап айтқанда, оның əрбір 
нүктесінде нүктенің бет бойымен сырғуында үзіліссіз өзгеретін 
жанама жазықтығы бар болса), ал ƒ(
x,y,z
) функциясы осы 
бетте үзіліссіз болса, онда беттік интеграл бар» (бар болу 
теоремасы). 

227
1.2.
 
Бірінші текті беттік интегралдың қасиеттері 
1. 
(
)
(
)
, ,
, ,
S
S
c f x y z ds
c
f x y z ds
⋅
= ⋅
∫∫
∫∫
, 
с = 
const. 
2. 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
, ,
, ,
, ,
, ,
.
S
S
S
f x y z
f x y z ds
f x y z ds
f x y z ds
±
=
±
∫∫
∫∫
∫∫
3. Егер 
S
 беті ортақ шекаралы 
2
1
S
S
S
∪
=
 болатындай 
2
1
,
S
S
 
бөліктеріне бөлінсе, онда 
1
2
( , , )
( , , )
( , , )
.
S
S
S
f x y z ds
f x y z ds
f x y z ds
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
4. Егер 
S
 бетінің нүктелері үшін 
(
)
(
)
1
2
, ,
, ,
f x y z
f x y z
≤
 теңсіздігі 
орындалса, онда
1
2
( , , )
( , , )
.
S
S
f x y z ds
f x y z ds
≤
∫∫
∫∫
5. 
,
S
ds
S
=
∫∫
 мұндағы  
S
  -  
S
  бетінің ауданы.
6. 
( , , )
( , , )
.
S
S
f x y z ds
f x y z ds
≤
∫∫
∫∫
7. Егер ƒ(
x,y,z
) функциясы 
S
 бетінде үзіліссіз болса, онда осы 
бетте 
( , , )
(
,
,
)
Ñ
Ñ
Ñ
S
f x y z ds
f x y z
S
=
⋅
∫∫
болатындай, 
(
,
,
)
Ñ
Ñ
Ñ
x y z
 нүктесі табылады (орта мəн жөніндегі 
теорема).
1.3.
 
Бірінші текті беттік интегралды
екі еселі интегралға келтіру
1. 
S
 беті  
( , ), ( , )
z
z x y
x y
D
=
∈
  тендеуімен берілсе, онда
( )
( )
( )
2
2
/
/
( , , )
( , ,
,
) 1
x
y
S
S
f x y z ds
f x y z x y
z
z
dxdy
=
+
+
∫∫
∫∫
    (7.2)
немесе
( )
( )
( , , )
( , ,
,
)
,
cos
,
S
S
dxdy
f x y z ds
f x y z x y
x y
γ
=
∫∫
∫∫
       
        
(7.3)

228
мұнда 
γ
  (
x, y
) - бет нормалі мен 
Oz 
осінің оң бағыты арасын-
дағы бұрыш.
2. 
S
 беті 
x
 = 
x 
(
u, v
), 
y
 = 
y 
(
u, v
), 
z
 = 
z 
(
u, v
) параметрлік тендеу-
лерімен берілсе, онда
( ) ( ) ( )
2
( , , )
(
,
,
,
,
,
)
,
S
S
f x y z ds
f x u v
y u v
z u v
EG
F dudv
=
−
∫∫
∫∫
 (7.4)
мұнда 
2
2
2
2
2
2
,
,
õ
y
z
õ
y
z
Å
G
u
u
u
v
v
v
∂
∂
∂
∂
∂
∂












=
+
+
=
+
+
























∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
õ õ
y y
z z
F
u v
u v
u v
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
+
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
немесе
( ) ( ) ( )
2
2
2
( , , )
(
,
,
,
,
,
)
,
S
S
f x y z ds
f x u v y u v z u v
A
B
C dudv
=
+
+
∫∫
∫∫
 
(7.5)
мұндағы 
;
;
;
y
z
z
x
x
y
u
u
u
u
u
u
À
Â
C
y
z
z
x
x
y
v
v
v
v
v
v
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
шамалары – бет нормалі векторының координаталары.
Мысал.
 
(
3
2 )
S
I
x
y
z ds
=
−
+
∫∫
 
беттік интегралын есептеу талап 
етіледі, мұндағы 
S 
- 
0
4
2
3
4
=
−
+
+
z
y
x
 
жазықтығының 1-октантта 
орналасқан бөлігі (32-сурет).
Шешімі.
 
Жазықтық теңдеуін 
y
x
z
2
3
2
2
−
−
=
 түріне келтіреміз. 
Бұдан 
2
/
3
,
2
/
/
−
=
−
=
y
x
z
z
 
мəндерін табамыз. (5.41) формуласы 
бойынша
9
29
(
3
4 4
3 ) 1 4
(4 3
6 )
4
2
D
D
I
x
y
x
y
dxdy
x
y dxdy
=
−
+ −
−
+ +
=
−
−
=
∫∫
∫∫

229
4
(1
)
1
1
3
2
0
0
0
4
(1
)
29
29
(4 3
6 )
(4
3
3
) 3
2
2
0
x
x
dx
x
y dy
dx
y
xy
y
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
(
)
(
)
(
)
1
2
0
29
16
16
1
4
1
1
2
3
3
x
x
x
x
dx


=
−
−
−
−
−
=




∫
(
)
(
)
2
3
3
2
1
0
1
1
29
16
16
29
2
4
.
2
3
2
3
3
3
2
x
x
x
x


−
−
=
−
⋅
−
+ ⋅
+
⋅
=




§2. Бірінші текті беттік интегралдың кейбір
қолданбалары
Бірінші текті беттік интегралдың кейбір қолданбаларына 
мысал келтірейік.
2.1.
 
Бет ауданы
Егер 
S
 беті 
)
,
(
y
x
z
z
=
 тендеуімен беріліп, оның 
xOy
 жазық-
тығына түсетін проекциясы 
D 
облысы болып, осы облыста 
)
,
(
),
,
(
),
,
(
/
/
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
функциялары үзіліссіз болса, онда оның 
S
 ауданы 
S
S
ds
=
∫∫
немесе
( )
( )
2
2
/
/
1
x
y
S
S
z
z
dxdy
=
+
+
∫∫
формуласы бойынша есептеледі. Сонымен бірге, беттік интегралды 
массаны анықтауда, массалар центрінің координаталарын табуда, 
массалар үлестірілуінің беттік 
γ 
(
x, y, z
) тығыздығы белгілі болған 
жағдайда материалды беттердің инерция моменттерін есептеуде 
қолданады. 
Осы шамалардың барлығы бірден-бір тəсілмен анықталады, 
атап айтқанда, берілген облысты шектеулі саны бар «кіші» 
бөліктерге бөледі. Əр бөлікке есепті жеңілдету ұйғарымдары 
жасалады; ізделінді шаманың жуық мəнін тапқан соң, бөлшектену 
облысының шектеусіз ұсақталуында шекке көшеді.
Сөз етілген тəсілді материалды беттің массасын анықтау 
мысалында көрсетейік.

230
2.2. Беттің массасы
Материалды беттегі массалар үлестірілуінің беттік 
γ 
(
x, y, z
) 
 
тығыздығы белгілі болсын. Беттің массасын табу үшін:
1. 
S
 бетін саны 
п-
ге тең элементар
 S
i
 (
i 
=1,2,….,
n
) бөліктеріне 
бөлшектеп, олардың аудандарын Δ
S
i 
, ал диаметрлерін (кіші облыс 
нүктелері арасындағы ең үлкен қашықтықты) 
d
i
 деп белгілейміз. 
2
. 
Əрбір  
S
i
  облысында  
М
і 
(
x
і 
, y
і 
, z
і
)  нүктесін  еркін  аламыз. 
S
i
 облысы төңірегінде тығыздық тұрақты жəне 
М
і 
(
x
і 
, y
і 
, z
і
) нүкте-
сіндегі мəніне тең деп ұйғарамыз.
3. 
S
i
 облысының 
т
i 
 массасы, тұрақты 
g 
(
x
і 
, y
і 
, z
і
) тығыздығы бар 
жасанды біртекті облыстың 
g
(
x
і 
, y
і 
, z
і
) Δ
S
i 
массасынан болымсыз 
ғана өзгешеленеді. 
4. 
т
i 
 шамаларын тұтас облыс бойынша қосып шықсақ
m
 ≈ 
γ
 (
x
і 
, y
і 
, z
і
) Δ
S
i
жуық мəніне келеміз.
5. 
S
 материалды беті массасының дəл мəні ретінде, табылған 
жуық мəннің 
S
i
 облыстары диаметрлерінің нөлге ұмтылғандағы 
шегі алынады, атап айтқанда
max
0
1
lim
( ,
, )
.
i
n
i
i
i
i
d
i
ò
x y z
S
γ
→
=
=
∆
∑
немесе 
(
)
, ,
.
S
ò
õ ó z ds
γ
=
∫∫
                          
       (7.6)
2.3.
 
Беттің моменттері мен ауырлық центрі
S
 материалды бетінің статикалық моменттері, ауырлық 
центрінің координаталары, инерция моменттері сəйкесінше
( , , )
,
( , , )
,
( , , )
,
õy
yz
õz
S
S
S
S
z
x y z ds
S
x
x y z ds
S
y
x y z ds
γ
γ
γ
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∫∫
∫∫
∫∫
/ ,
/ ,
/
C
yz
C
xz
C
xy
x
S
m
y
S
m
z
S
m
=
=
=
(
)
(
)
2
2
2
2
( , , )
,
( , , )
,
x
y
S
S
M
y
z
x y z ds
M
x
z
x y z ds
γ
γ
=
+
⋅
=
+
⋅
∫∫
∫∫
(
)
(
)
2
2
2
2
2
( , , )
,
( , , )
;
z
O
S
S
M
x
y
x y z ds
M
x
y
z
x y z ds
γ
γ
=
+
⋅
=
+
+
⋅
∫∫
∫∫
формулалары бойынша есептелінеді.

231
Мысал
.
 Егер жарты сфераның тығыздығы осы нүктеден 
жарты сфера табанына перпендикуляр болатын радиусқа дейінгі 
қашықтыққа тең болса, жарты сфераның массасы қандай болмақ?
Шешімі
. 
33
-
суретте 
R 
радиусты жарты сфера бейнеленген. 
Оның теңдеуі 
2
2
2
y
x
R
z
−
−
=
ал беттік тығыздығы есептің шартына сəйкес 
2
2
y
x
+
=
γ
 
шамасына тең. (7.6) формуласы бойынша
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
.
S
D
D
x
y
x
y
ò
x
y ds
x
y
dxdy
R
dxdy
R
x
y
R
x
y
+
+
=
+
=
+
⋅
+
=
−
−
−
−
∫∫
∫∫
∫∫
Поляр координаталарына көшкенде
2
2
3
2
2
2
2
2
0
0
.
2
R
D
r
r
r
ò
R
rdrd
R d
dr
R
r
R
r
π
π
ϕ
ϕ
=
⋅
=
⋅
=
−
−
∫∫
∫
∫
Ішкі интеграл 
r = R 
sin 
t 
ауыстырмасы көмегімен 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
0
0
0
sin
1 cos 2
1
1
cos
sin 2
cos
2
2
2
4
R
r
R
t
t
R
dr
R
tdt
R
dt
R
t
t
R
t
R
r
π
π
π
π
π


−
=
⋅
=
=
−
=




−
∫
∫
∫
түрінде табылады.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: