§4. Остроградский-Гаусс формуласы

237
интегралын қарастырайық. Теңдіктің оң жағындағы екі еселі 
интегралдарды сəйкесінше 
S
1
 жəне 
S
2
 беттерінің сыртқы 
жағы бойынша алынған екінші текті беттік интегралдармен 
алмастырамыз (7.8-ді қараңыз). Сонда
2
1
.
V
S
S
R
dxdydz
Rdxdy
Rdxdy
z
∂
=
+
∂
∫∫∫
∫∫
∫∫
Оң жағына 
S
3
-тің сырт жағы бойынша алынған нөлге тең
(3.1-бап, 5-қасиет)
 
3
S
Rdxdy
∫∫
 
интегралын қосу арқылы
2
1
3
V
S
S
S
R
dxdydz
Rdxdy
Rdxdy
Rdxdy
z
∂
=
+
+
∂
∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
немесе
                    36-сурет                                                37-сурет
V
S
R
dxdydz
Rdxdy
z
∂
=
∂
∫∫∫
∫∫
                          (7.13)
болуын табамыз, мұндағы 
S - V
 облысын шектейтін бет. Осыған 
ұқсас
,
V
S
Q
dxdydz
Qdxdz
y
∂
=
∂
∫∫∫
∫∫
                            (7.14)
                           
V
S
P
dxdydz
Pdydz
x
∂
=
∂
∫∫∫
∫∫
                             (7.15)
(7.13), (7.14) жəне (7.15) теңдіктерін мүшелеп қосқан кезде (7.12) 
Остроградский-Гаусс формуласын аламыз.
Ескерту
. 
Остроградский-Гаусс формуласын тұйық беттер 
бойынша алынған екінші текті беттік интегралдарды есептеуде 
қолдануға болады.

238
Мысал
. 
1
5
S
I
xdydz
zdxdz
dxdy
+
=
−
+
+
∫∫
 
интегралын есептеу қажет, 
мұндағы 
S 
– 4
x
 + 3
y
 +2
z
 – 4 = 0, 
х = 
0, 
у = 
0, 
z = 
0 жазықтықтарымен 
шектелген пирамиданың сыртқы жағы.
Шешімі.
 
(7.12) формуласы бойынша 
(
)
1
1 0 0
3 6
6
3
V
V
I
dxdydz
dv
=
− + +
= −
= − ⋅ ⋅ = −
∫∫∫
∫∫∫
болатынын табамыз. Айта кету керек, (3.2 бөлігінің мысалындағы 
І
1 
интегралын өзгеше,
2
3
4
1
S
S
S
I
I
= − − −
∫∫ ∫∫ ∫∫
түрінде де табуға болады, мұндағы 
4
3
2
,
,
S
S
S
 
– 
ОАС, АОВ, 
СОВ 
үшбұрыштары (37-сурет). Жоғарыда айылғанға сəйкес, 
төмендегідей шешімді аламыз:
( )
3
6 2
1
(
)
(
)
(
)
0
0
1
6
5
0
6 5
2 3
2
x
ÎÀÑ
ÎÀÂ
ÂÎÑ
I
dxdy
zdzdx
dydz
dx
zdz
−
= − +
−
−
−
= − + ⋅ ⋅ ⋅ −
=
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
(
)
(
)
2
3
2
3
0
0
6 2
1
1
1
9
6 2
9
9.
2
2
2
3
x
x dx
−


= −
−
=
− ⋅ −
⋅
= −




∫
§5. Стокс формуласы
Екінші текті беттік жəне қисықсызықты интегралдар 
арасындағы байланысты тағайындайды. 
Теорема 7.2.
 
Егер 
P
(
x, y, z
), 
Q
 (
x, y, z
), 
R
 (
x, y, z
)
 
функциялары 
өздерінің бірінші ретті дербес туындыларымен бірге ориентир-
ленген 
S 
бетінің нүктелерінде үзіліссіз болса, онда 
S
Q
P
R
Q
P
R
dxdy
dydz
dxdz
x
y
y
z
z
x




∂
∂
∂
∂
∂
∂


−
+
−
+
−
=












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∫∫
                              
L
Pdx Qdy
Rdz
=
+
+
∫
                                   (7.16)
формуласы орынды, мұнда 
L 
- 
S 
бетінің шекарасы жəне 
L 
қисығы
 
бойында интегралдау оң бағытта (атап айтқанда, 
L 
шекарасын 

239
айналуда 
S 
беті сол жақта қалып отыратындай) жүргізіледі. (7.16) 
формуласы 
Стокс формуласы
 
деп аталады.
Стокс формуласын беттік интеграл көмегімен тұйық контур 
бойынша алынған қисықсызықты интегралды есептеуде 
қолдануға болады. Стокс формуласынан 
,
,
Q
P
R
Q
P
R
x
y
y
z
z
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0.
L
Pdx Qdy
Rdz
+
+
=
∫
шарттары орындалғанда кеңістіктегі кез келген 
L 
контуры бойынша 
алынған қисықсызықты интеграл нөлге тең болатыны туындайды: 
0.
L
Pdx Qdy
Rdz
+
+
=
∫
 Демек бұл жағдайда қисықсызықты интеграл 
интегралдау жол нұсқасына тəуелсіз.
Мысал
. а
) Тікелей; 
б
) Бет ретінде 
2
2
2
y
x
R
z
−
−
+
=
 
жарты сферасын
 
алып, Стокс формуласын қолданып 
2
3
L
I
x y dx dy
zdz
=
+
+
∫
 
интегралын есептеу талап етіледі, мұндағы
 
L - 
контуры
 
0
;
2
2
2
=
=
+
z
R
y
x
 
теңдеулі шеңбер.
Шешімі
. 
Интегралдау беті 38-суретте бейнеленген.
а
) Шеңбер теңдеуін параметрлік түрде кескіндейміз:
.
2
0
,
sin
,
cos
π
≤
≤
=
=
t
t
R
y
t
R
x
(6.6*) формуласы бойынша 
(
)
2
2
2
2
2
3
3
6
2
4
0
0
0
cos
sin
sin
cos
cos
sin
0
I
R
t R
t
R
t dt
R
tdt
R
t
tdt
π
π
π
=
⋅
⋅ −
+
= −
⋅
+ =
∫
∫
∫
(
)
2
6
6
2
2
2
6
2
2
0
0
0
1
1
sin 2
1 cos 2
sin 2
sin 2 cos 2
2
2
8
8
R
R
R
t
t dt
t dt
t
t dt
π
π
π


= −
⋅
−
= −
+
=




∫
∫
∫
(
)
6
6
6
2
0
1 cos 4
0
2
.
16
16
8
R
R
R
t dt
π
π
π
= −
−
+ = −
⋅
= −
∫

240
б
) (7.16) Стокс формуласы бойынша
(
)
(
)
(
)
2
2
0 3
0 0
0 0
S
I
x y dxdy
dydz
dxdz
=
−
+ −
+ −
=
∫∫
2
2
2
2
3
3
.
S
D
x y dxdy
x y dxdy
= −
= −
∫∫
∫∫
Поляр кординаталарына көшкенде алатынымыз:
2
5
2
2
2
2
5
0
0
3
sin
cos
3 sin
cos
R
D
I
r
drd
d
r dr
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
= −
= −
⋅
=
∫∫
∫
∫
(
)
6
2
2
6
2
6
6
2
0
0
0
3
1
1
1
1
sin 2
1 cos 4
.
6
4
8
2
16
8
R
R
d
R
d
R
π
π
π
π
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
= −
= −
⋅
−
= −
⋅
= −
∫
∫
38-сурет
§6. Екінші текті беттік интегралдың кейбір
қолданбалары
Екінші текті беттік интеграл көмегімен үстінен 
S
2
 бетімен 
(теңдеуі 
z = z
2
(
x, y
)), астынан 
S
1
 бетімен (теңдеуі 
z = z
1
(
x, y
)) 
жəне бүйірінен, жасаушылары 
Oz 
осіне параллель 
S
3
 цилиндрлік 
бетімен шектелген дене көлемін
1
3
S
V
x dydz
y dzdx
z dxdy
=
+
+
∫∫
                
  (7.17)
түрінде табуға болады, мұнда 
S=
 
S
1
 +
 S
2
 + 
S
3
.

241
Расында, (7.12)  Остроградский-Гаусс формуласында  
P 
(
x, y, z
) = 
x
,
Q 
(
x, y, z
) = 0,   
R 
(
x, y, z
) = 0 деп ұйғарып, 
S
V
õ dydz
dxdydz
=
∫∫
∫∫∫
,
атап айтқанда
S
V
x dydz
=
∫∫
                                      (7.18)
болатынын табамыз. Осыған ұқсас 
P 
(
x, y, z
) = 0,     
Q 
(
x, y, z
) = 
y
, 
R 
(
x, y, z
) = 0
  
 деп ұйғарып, екінші текті беттік интеграл көмегімен 
дене көлемін есептеуге мүмкіндік беретін тағы бір 
  
S
V
y dxdz
=
∫∫
                                   (7.19)
формуласын табамыз. Соңында 
 
P 
(
x, y, z
) = 0, 
Q 
(
x, y, z
) = 0, 
R 
(
x, y, z
) = z
 
 деп ұйғарып, (7.12) формуласы бойынша дене 
көлемін екінші текті беттік интеграл арқылы өрнектейтін 
үшінші
               
S
V
z dxdy
=
∫∫
                                
   (7.20)
түріндегі формуланы табамыз. (7.18) - (7.20) теңдіктерін мүшелеп 
қосып, үшке бөлгеннен (7.17) формуласын шығарып аламыз.
16–454

242
VIII тарау.
   
ӨРІС ТЕОРИЯСЫ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Бұл тарауда вектор аргументті функциялар, атап айтқанда, 
вектор жиынының скаляр жиынына (векторлы, аргументті скаляр 
функциялар) немесе векторлар жиынына (вектор аргументті 
вектор-функциялар) бейнелеулері қарастырылады. Егер 
r
 арқы-
лы айнымалы векторды, яғни векторлар жиынының кез келген 
элементін белгілесе, онда бейнелеуді
)
(
r
F
r
→
немесе
F
=
)
(
r
F
 
түрінде жазуға болады. Мұнда 
)
(
r
F
 скалярлар жиынына
(
)
(
r
ϕ
 деп жазамыз) немесе векторлар жиынына (
)
(
r
Φ
 деп 
жазамыз) тиісті.
Сонымен, вектор аргументті скаляр функцияларды жəне 
вектор аргументті вектор-функцияларды бір мезгілде 
)
(
r
F
 
арқылы белгілеп, бұл белгілеу осы функциялардың ортақ 
қасиеттері жөнінде сөз болғанда қолданылады.
Вектор аргументті скалярлық жəне векторлық функцияларды 
жиірек  
скаляр
 жəне 
вектор өрісі
 деп атайды. Сондықтан мұндай 
функциялардың теориясын «
өріс теориясы
» деп атайды.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: