Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет18/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

қатардың жинақтылық 
радиусы
 деп, ал 
(-R, R)
 аралығын 
дəрежелік қатардың жи-
нақтылық интервалы
 дейді. Егер 
R=+
∞ болса, жинақталу 
интервалы бүкіл сандық түзу болып келеді. Егер 
R = 
0 болса, 
дəрежелік қатар 
х = 
0 нүктесінде ғана жинақталып, жинақталу 
интервалы болмайды. Кейбір жағдайларда дəрежелік қатардың 
жинақталу радиусы Даламбер белгісі көмегімен табылуы мүмкін. 
Ол үшін (3.27) қатары мүшелерінің модульдерінен жасалған
n
n
a
a х
a х
a х
2
0
1
2
...
...
+
+
+ +
+
                 (3.29)
қатарын қарастырамыз. Осының алдында (§7) айтылғандай (3.29) 
қатары жинақталса, онда (3.27) қатары да жинақталады жəне 
жинақталуы абсолютті болады. (3.29) қатарының жинақтылығы 


69
жөніндегі мəселені шешу үшін Даламбердің жинақталу белгі-
сін пайдаланамыз. (3.29) қатарының (
n+
1)-мүшесін 
v
n
 арқылы 
белгілейміз: 
n
n
n
v
a х
=
; бұдан 
n
n
n
v
a
х
1
1
1
+
+
+
=
.
Енді 
n
n
n
n
v
a
х
v
a
1
1
+
+
=
 қатынасын құрамыз. 
n
→∞ да 
n
n
a
a
1
+
 
қатынасының шегі бар болсын деп ұйғарайық жəне оны 

арқылы 
белгілейік:
n
n
n
a
l
a
1
lim
.
+
→∞
=
                                    (3.30)
Сондa 
n
n
n
v
l х
v
1
lim
.
+
→∞
=
                                  (3.31)
Егер 
х
l
1
<
 болса, онда 
l х
1
<
,
 
демек (3.29) қатары 
жинақталады. Сондықтан (3.27) қатары жинақталып, жинақталу 
абсолютті болады.
Егер 
х
l
1
>
 болса, онда 
l х
1
>
. Даламбер белгісіне 
жасалған ескертуге сəйкес (3.29) жəне (3.27) қатарының екеуі 
де жинақталмайды. Сонымен 
R
l
1
0
= ≥
 - дəрежелік қатардың 
жинақтылық радиусы болып табылады жəне (3.30) қатынасына 
сəйкес 
n
n
n
a
R
a
1
lim
→∞
+
=
                                   
(3.32)
формуласына келеміз.
(3.27) дəрежелік қатары 
(-R, R)
 жинақтылық интервалының 
ұштарында, атап айтқанда, 
х= R
 жəне 
х = -R
 мəндерінде жинақты 
бола ма деген сұрақ туындайды. Əрбір жеке жағдайға сəйкес бұл 
мəселенің шешілуінде де өзіне тəн ерекшелігі болады.
Мысал

п
х
х
х
х
n
2
3
...
...
1
2
3
+
+
+ +
+


70
қатарын қарастырайық. Мұнда 
n
n
a
1
,
=
 
n
n
a
1
1
1
+
=
+
. Жинақтылық радиу-
сын анықтайтын (3.32) формуласына сəйкес
n
n
n
n
n
R
n
n
n
1
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
1
→∞
→∞
→∞
+
=
=
=
+
=
+






.
Демек (3.33) қатары (-1, 1) интервалында жинақталады. Осы 
қатар интервал ұштарында жинақты бола ма деген сұрақты шешу 
үшін, алдымен 

= 1 деп ұйғарамыз. Сонда 
n
1 1
1
1
...
...
2 3
+ + + + +
гармоникалық қатарға келеміз. Оның жинақталмайтынына §6-да 
көз жеткізгенбіз. Енді 
x
 = -1 деп алсақ (3.33) қатары
n
n
1 1 1 1
( 1)
1
...
...
2 3 4 5

− + − + − + +
+
түріне келеді. Бұл қатар Лейбниц теоремасына сəйкес шартты 
жинақталады. Сонымен, (3.33) қатарының жинақталу облысы - 
[-1, 1] аралығы.
§10. Дəрежелік қатарларды дифференциалдау 
жəне интегралдау
( )
n
п
f х
а
a x a x
a x
2
0
1
2
...
...
=
+
+
+ +
+
               (3.34)
дəрежелік қатарының қосындысы, радиусы 

> 0 болатын (-
R, R

жинақтылық интервалында анықталған функция болып табылады. 
f
(
x
) функциясы дифференциалдамалы екенін жəне оның 
f
/
(
x

туындысын (3.34) қатарын мүшелеп, дифференциалдағаннан 
табуға болатынын дəлелдеуге болады. Атап айтқанда, –
R < x < 
R
 үшін 
( )
n
п
f х
a
a x
пa x
1
1
2
2
...
...


= +
+ +
+
 .
Осы айтылғанның бəрі жоғары ретті туындыларда да күшін 


71
сақтайды. Осыған ұқсас, жинақтылық интервалына тиіс барлық 
х
 
мəндері үшін 
f
(
x
) функциясынан алынған анықталмаған интеграл 
(3.34) қатарын мүшелеп, интегралдаудан алынуы мүмкін, атап 
айтқанда, егер –
R < x < R
 болса, онда 
n
n
a x
a x
a x
f x dx C a x
n
2
3
2
1
1
0
( )
...
...
2
3
1
+
= +
+
+
+ +
+
+

   .
Сонымен, дəрежелік қатар өзінің жинақтылық интервалын-
да, дифференциалдау жəне интегралдау амалдарына қатысты, 
шектеулі мүшесі бар көпмүшеден айнымайды.
§11. Берілген функцияны дəрежелік қатарға жіктеу
Қолданбаларда, берілген 
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатарға 
жіктеуді білген аса маңызды. 
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатардың 
қосындысы түрінде кескіндегенде, осы функция мəнін кез келген 
дəлдік дəрежесімен есептеу мүмкіндігі туады.
Сұрақты жалпы түрде қоймас бұрын кейбір дербес жағдай-
лар ды қарастырып өтейік.
Дəрежелік 
1+
n
x x
x
2
...
...
+
+ +
+
қатарын алайық. Бұл қатар, еселігі 
х
-ке тең геометриялық 
прогрессияны кескіндеп,  |
x
| < 1 болуында жинақталатынын жəне 
қосындысы 
x
1
1

-ге тең болатынын көргенбіз. Демек 
n
x x
x
x
2
1
1
...
...
1
= + +
+ +
+

    .                (3.35)
деп жазуымызға болады. Осы қосындыны теңдік деп қана ұғынбай,
x
1
1

 функциясының   дəрежелік  қатарға  жіктелуі   деген   жаңа 
көзқарасқа көтерілуге болады. Бұл қатар 
х
 айнымалысының өспелі 
дəрежелері бойынша орналасқан. (3.35) жіктемесінен, үлкен қызығу-
шылық туғызатын басқалай жіктемелер шығарып алған қиын емес.


72
11.1.
 ln
(1 + x) функциясының жіктемесі
(3.35) жіктемесінде 
х-
ті  
z-
пен алмастырып,         
 
z
1
1
=
+
 
1
 - z + z
2
 - … + 
(-1)

+                       
(3.36)
теңдігіне келеміз. Егер 
z
x
0
1


<
 болса, онда §10-да 
айтылғандай, (3.36) теңдігін 0-ден 
х
-ке дейінгі аралықта 

бойынша 
мүшелеп интегралдауға болады. Сондықтан (3.36) теңдігін 
dz
-ке 
көбейтіп жəне 0-ден
 х
-ке дейінгі аралықта интегралдаса, онда 
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
zdz
z dz
z dz
z
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=

+
− + −
+
+





.
Бұдан 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
z
n
2
3
1
0
0
0
0
0
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
=

+
− + −
+
+
,    
немесе егер
 
x
1
<
 болса,
n
n
x
x
x
x
x
n
2
3
1
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
= −
+
− + −
+
+
.
Осы жіктелу 
х = 
1 мəнінде де орындалатынын көрсетуге 
болады, демек 
1 1 1
ln 2 1
...
2 3 4
= − + − +
 .
11.2. arctg x функциясының жіктелуі
(3.35) жіктелуінде 
х = -z
2
 
деп ұйғарайық. Сонда
n
zn
z
z
z
z
2
4
2
1
1
... ( 1)
...
1
= −
+
− + −
+
+
Соңғы теңдікті 
dz
-ке көбейтіп жəне 0-ден
 х
-ке дейінгі аралық-
та мүшелеп интегралдасақ (мұнда 
x
1
<



73
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
z dz
z dz
z dz
z
2
4
2
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=

+
− + −
+
+





немесе 
arctg
 z 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
n
3
5
2
1
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
3
5
2
1
+
=

+
− + −
+
+
  
жікте -
месіне келеміз. 
arctg
 
0 = 0 болғандықтан, нəтижесінде, егер 
x
1
<
 
болса, 
arctg
x = 
...
1
2
)
1
(
...
5
3
1
2
5
3
+
+

+

+

+
n
x
x
x
x
n
n
жіктелуі алынады. Мұндай жіктелу 
х
 = 1 жəне
 x
 = -1 болғанда да 
əділ болып қала береді. Дербес жағдайда,
 х
 = 1 болуында 
arctg
1
 = 
1 1 1 1
1
...
4
3 5 7 9
π
= − + − + −
Көптеген функциялар, мəселен ln(1+
x
), 
arctg
x
 жəне т.б. 
функциялар 
х
 аргументіне қатысты дəрежелік қатарға жіктелуді 
мүмкін ететінін көріп отырмыз. Берілген 
f(x) 
функциясын 
x
 
айнымалысының теріс емес бүтін өспелі дəрежелері бойынша 
жіктелуі жөніндегі мəселені көтерген орынды. Келесі тармақта 
осы мəселемен айналысамыз.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау