Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

81
жіктеле алмайды. Мұндай функцияларды жіктеу үшін кейде 
x – a 
айырымының өспелі дəрежелері бойынша орналасқан (
a
 – таңдап 
алынған тұрақты сан) неғұрлым жалпы дəрежелік қатарларды 
пайдалануға болады. 
f
(
x
)
 
функциясы кейбір 
x a
R
− <
 интервалында орынды жəне 
x - a
 айырымының өспелі дəрежелері бойынша орналасқан
f(x)=
A
A x a
A x a
A x a
A x a
2
3
4
0
1
2
3
4
(
)
(
)
(
)
(
)
...
+
− +
−
+
−
+
−
+
   
(3.47)
жіктемесін мүмкін еткізсін.
x a z
− =
 деп ұйғарайық. Сонда (3.47) жіктемесі
F(z) = f(z+a) =
 
A
A z A z
2
0
1
2
...,
+
+
+
                (3.48)
түріне келеді. Демек, §12–ге сəйкес (3.48) жіктемесі 
F(z)
 
функциясына жазылған Маклорен қатары болып табылады. 
n
n
F
z
f
z a
( )
( )
( )
(
)
=
+
 (
n = 
1, 2,…) болғандықтан, бұдан
n
n
n
F
f a
F
f a
A
F
f a A
A
F
f
a
A
n
n
'
0
1
2
( )
( )
(0)
'( )
''(0)
''( )
(0)
( ),
,
,...,
1!
1!
2!
2!
(0)
( )
,...
!
!
=
=
=
=
=
=
=
=
Коэффициенттердің осы мəндерін (3.47) қатарына қойғаннан 
кейін, 
n
n
f a
f a
f
a
f x
f a
x a
x a
x a
f
a
x a
n
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
...
1!
2!
3!
( )
(
)
...
!
′
′′
′′′
=
+
− +
−
+
−
+ +
+
−
+
 (3.49)
түрінде кескінделген жəне 
Тейлор қатары
 
деп аталған қатарды 
шығарып аламыз. Дербес жағдайда мұнда 
0
=
a
 деп алсақ,
f
(
x
)
=f
(0)
+f 
/
(0)
x+
n
n
f
a
f
a
f
x
x
x
n
( )
2
3
( )
( )
(0)
...
...
2!
3!
!
′′
′′′
+
+ +
+
 
Маклорен қатарына келеміз.
(3.49)
 
формуласында шектеулі саны бар мүшелерді ғана 
6–454

82
қал 
дырсақ, Тейлор қатарының орнына 
Тейлор көпмүшесі
 
деп 
аталған жəне
k
n
k
n
k
f
a
P x
x a
k
( )
0
( )
( )
(
)
!
=
=
−
∑
                         (3.50)
формуласымен кескінделген көпмүше шығарып аламыз. (3.49) 
қатары 
а
 нүктесінің кейбір аймағында жіктелетін болып, оның 
қосындысы 
f(x)
 функциясына тең болса, онда 
Р
n
(х)
 көпмүшесі 
f
(
x
) 
функциясының 
U
a
 аймағындағы жуық кескіндемесін береді.
1-мысал
. 
f
(
x
)
 = x
3
 —
 
5
x
2
 
+ 
8
x + 
3 көпмүшесін 
х - 
2 айырымының 
өспелі дəрежелері бойынша жіктеп жазыңыз. 
f
(
x
) функциясын 
дифференциалдасақ:
f 
′(
x
)
 = 
3
x
2  
- 
10
x +
 8
,  f 
″(
x
)
 = 
6
x - 
10
,  f″
′(
x
)
 = 
6
,
ал
  n > 
3
 
үшін 
f 
(
n
)
(
x
) = 0. Мұнда 
х = 
2 мəнін қойғаннан
f
(2) = 7,
  f 
′(2) = 0, 
 f 
″(2) = 2, 
 f ″′
(2) = 6, 
 
ал
  n > 
3
 
үшін
 f 
(n)
(2) = 0.
(3.49) Тейлор қатары негізінде, 
х - 
2 айырымының өспелі 
дəрежелері бойынша жіктелген 
f
(
x
) функциясы
x
x
x
f x
2
3
2
(
2)
(
2)
( ) 7
0
2
6
1
1 2
1 2 3
−
−
−
= +
⋅ +
⋅ +
⋅
⋅
⋅ ⋅
немесе нəтижелік 
f
(
x
) 
= 
7 + (
x -
 2)
2
 + (
x
 - 2)
3
 түрінде кескінделеді.
2
-
мысал
. 
f
(
x
) 
= lnx
 функциясын 
х - 
1 айырымының өспелі 
дəрежелері бойынша жіктеңіз. Функцияны дифференциалдау 
нəтижесінде
IV
f x
f
x
f
x
f
x
х
х
х
х
/
//
///
2
3
4
1
1
1 2
1 2 3
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,...
⋅
⋅ ⋅
=
= −
=
= −
Бұдан
IV
f
f
f
f
x
/
//
///
(1) 1,
(1)
1,
(1) 1 2,
( )
1 2 3,...
=
= −
= ⋅
= − ⋅ ⋅
Демек
ln x = ln
1 
+

83
x
x
x
x
2
3
4
1
1 2
1 2 3
1 (
1)
(
1)
(
1)
(
1)
...,
1 2
1 2 3
1 2 3 4
⋅
⋅ ⋅
⋅ − −
−
+
−
−
−
+
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Немесе
x
x
x
x
x
2
3
4
(
1)
(
1)
(
1)
ln
(
1)
0
...
2
3
4
−
−
−
=
− −
⋅ +
−
+
Бұл жіктеме 0 < 
х 
≤ 2 болғанда орынды.
Ескерту
. Осы қатарды тікелей 
ln
(1
 + x
) қатарынан (§11)
 
lnx = ln
(1 + 
z
) деп ұйғарғанда (мұнда 
z = х -
 1),
 
шығарып алуға 
болар еді.
§16. Комплекс облысындағы қатарлар
Кейбір жағдайда мүшелері комплекс сандар болып келетін 
қатарларды, атап айтқанда,
(
u
1
 
+ iv
1
) + (
u
2
 
+ iv
2
) + ... + (
u
n 
+ iv
n
)    
             
(3.51)
қатарларын қарастыруға тура келеді. Мұнда 
u
n
 жəне 
v
n
 (
n = 
1, 2, 
…) - нақты сандар, оның үстіне 
і
2 
= 
-1. (3.51) қатарының нақты 
бөлігіндегі мүшелерден жасалған
u
1
 
+ u
2
 
+ ... + u
n 
+ ...                            
(3.52)
қатары мен жорамал бөлігіндегі мүшелерден жасалған
v
1
 
+ v
2
 
+ ... + v
n 
+ ...                           
 (3.53)
қатары жеке-жеке алғанда жинақталған болса, (3.51) қатарының 
өзін жинақталған дейді. Егер 
S
n
 арқылы (3.52) қатарының алғашқы 
n
 мүшесінің қосындысын, ал 
Т
n
 арқылы - (3.53) қатарының 
алғашқы 
n
 мүшесінің қосындысын белгілесе, онда қатарлардың 
жинақты болуында
n
n
n
n
S
S
T
T
,
lim
lim
→∞
→∞
=
=
шектері бар болады. Мұндайда 
S + iT
 комплекс саны, (3.51) 
қатарының қосындысы
 деп аталады.

84
Келесі теорема орынды.
Теорема
 
3.10.
 Егер (3.51) қатары мүшелерінің модульдерінен 
жасалған қатар жинақты болса, онда (3.51) қатарының өзі де 
жинақты болады.
Дəлелдеме
. 
Расында, егер
n
n
u
v
u
v
u
v
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
...
...
+
+
+
+ +
+
+
қатары жинақты болса, онда айқын
n
n
n
u
u
v
2
2
≤
+
 жəне 
n
n
n
v
u
v
2
2
≤
+
 (
n = 
1, 2, …)
теңсіздіктерінен қатарларды салыстыру белгісі (§4)
 
жəне §7-
дегі теорема бойынша (3.52), (3.53) қатарларының екеуі де 
жинақталады, айта кету керек абсолютті жинақталады. Сонда 
анықтамаға сəйкес (3.51)
 
қатары да жинақталған болады. Теорема 
дəлелденді.
Комплекс облысында 
n
n
c
c z c z
c z
2
0
1
2
...
...,
+
+
+ +
+
дəрежелік қатарлары да қарастырылады, мұндағы 
n
n
n
c
a
ib
,
=
+
 
z
x iy
= +
 (
n = 
0, 1, 2…).
 
Алдыңғы теоремаға сəйкес мұндай қатар 
оның мүшелері модульдерінен жасалған 
n
n
с
с
z
с
z
с
z
2
0
1
2
...
...
+
⋅ +
⋅
+ +
⋅
+
қатарының жинақты болуында, өзі де жинақты болады. Мұнда
 
n
n
n
c
a
b
2
2
=
+
 жəне 
z
x
y
2
2
=
+
 (
n = 
0, 1, 2...)
.
 Соңғы қатардың 
жинақтылығын зерттеу үшін өзімізге жақсы танымал белгілердің 
бірін, мəселен, Даламбер белгісін қолдануымызға болады.
§17.
 
Эйлер формулалары
Жоғарыда табылған 
x
e
x
x
, sin , cos
 жіктемелерін осы функци-
яларды байланыстыратын аса маңызды формулаларды қорытып 
шығару үшін қолданайық. Егер 
х
 – нақты сан болса, онда (§13-те 
көрсетілгендей)

85
x
x
x
x
e
2
3
1
...
1! 2!
3!
= + +
+
+
жіктемесі бар болып, қатар 
x
-тің кез келген мəні үшін жинақталады.
Егер 
z = x  + iy
 болса, (
x 
жəне 
y
 – нақты сандар,
 i
2
= -
1), онда 
анықтама бойынша 
z
z
z
z
e
2
3
1
...
1! 2!
3!
= + +
+
+
                         (3.54)
Даламбер белгісін модульдерден жасалған
1+
z
z
z
2
3
...
1!
2!
3!
+
+
+
қатарына қолданып, 
z
-тің əрбір мəнінде оның жинақталатынын 
байқаймыз. 
Олай болса (3.54) қатары да жинақталады, демек көрсеткіштік 
e
z 
функциясы 
z
-тің барлық комплексті мəндері үшін анықталған.
Дербес жағдайда, 
z = ix 
(
x
 – нақты сан) болуында
ix
ix
ix
ix
ix
ix
ix
e
2
3
4
5
6
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
...
1!
2!
3!
4!
5!
6!
= +
+
+
+
+
+
+
жіктемесі орынды. 
i
2
1,
= −
 
i
i
3
= −
, 
i
4
1,
=
 
i
i
5
,
=
 
i
6
1
= −
 бол-
ғандықтан, осы мəндерді 
e
z
-тің жіктемесіне қойып,
ix
ix
x
x
x
x
x
x
x
e
i
i
i
2
3
4
5
6
7
8
1
...
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
= +
−
−
+
+
−
−
+
+
өрнегіне немесе нақты жəне жорамал бөліктерін айырып,
ix
x
x
x
x
x
x
x
x
e
i
2
4
6
8
3
5
7
1
...
...
2!
4!
6!
8!
1! 3!
5!
7!
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+












формуласын шығарып аламыз. 13-параграфке сəйкес, бірінші 
жақшадағы өрнек 
cosx
–ке тең болса, екінші жақшадағы өрнек 
sinx
-ке тең. Сондықтан тамаша бір
ix
е
= 
cos x 
+
isin x
                               (3.55)

86
формуласына келеміз. Мұнда 
x
-ті 
-x-
пен алмастырып 
cos
(
-x
) = 
cos 
х, sin
(
-x
) 
= -sin x 
болуын ескерсек
ix
e
−
=
cos x - isin x.                              
(3.56)
Əйгілі 
Эйлер формулалары
 шықты.( 3.55) жəне (3.56) фор-
мулаларын cos
x
 жəне sin
x-
ке қатысты шешіп, 
cos x 
= 
ix
ix
e
e
2
−
+
, sin x 
= 
ix
ix
e
e
i
2
−
−
теңдіктеріне ие боламыз.
Жалпы жағдайда, егер 
z = x + iy 
болса, онда
x iy
e
+
=
x
e
·
iy
e
                                   (3.57)
теңдігінің орындалатынын көрсетуге болады. Демек
x iy
e
+
=
x
e
(cos 
y
 + 
i
sin 
y
).
Мысал
. 
і
e
1
2
π
+
=
e
(
cos
2
π
 + isin
2
π
)
 = ei.
Егер 
z = r
(cos
φ+i
sin
φ
)
 
тригонометриялық кескіндегі комплекс 
сан болса, (3.57) формуласы негізінде комплекс санының
z
 = 
re
ϕ
i
                                       
(3.58)
түріндегі 
көрсеткіштік нұсқасын
 табамыз, мұнда 
r
 = 
z
 жəне 
Argz
.
ϕ
=

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: