§18. Фурье қатары. Фурье интегралы

87
2) Егер 
f
(
x
) функциясының периоды 
Т 
болса, онда 
f
(
ax
) 
функцияының периоды 
Т/а 
болады.
3) Егер 
f
(
x
) - 
Т 
периоды бар кез келген функция болса, онда 
Т 
ұзындығы бар аралықтар бойынша алынған қос интеграл бір-
біріне тең, атап айтқанда, кез келген 
a
 жəне
 b 
үшін 
а Т
b T
a
b
f x dx
f x dx
( )
( ) .
+
+
=
∫
∫
18.2. Тригонометриялық қатар. Фурье қатары
Егер 
f
(
x
) функциясы [-π, π] кесіндісінде бірқалыпты жинақ-
талатын
( )
n
n
n
a
f x
a
nx b
nx
0
1
cos
sin
2
∞
=
=
+
+
∑
                 (3.59)
тригонометриялық қатарына жіктелетін болса, онда мұндай жік-
телу жалғыз жəне коэффициенттер 
п
а
f х dх а
f х
пхdх
0
1
1
( ) ;
( )cos
;
π
π
π
π
π
π
−
−
=
=
∫
∫
п
b
f х
пхdх
п
1
( )sin
, (
1,2,...)
π
π
π
−
=
=
∫
формулалары бойынша анықталады. Мұндай (3.59) қатарын 
тригонометриялық
 
Фурье қатары
 дейді.
18.3. Функцияның Фурье қатарына жіктелуінің 
жеткілікті белгілері
Егер 
х
0
 нүктесінде 
f
(
x
) функциясының шектеулі оң жақ шегі 
мен сол жақ шегі бар болса, 
х
0
 нүктесін 
1-
текті үзіліс нүкте
 
дейді. 
Теорема 3.11
 
(Дирихле теоремасы
)
. Егер 2
π
 периоды бар 
периодты 
f
(
x
) функциясы [-
π, π
] кесіндісінде шектеулі саны бар 
1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе жəне осы кесіндіні, əр бөлігінде 

88
f
(
x
) функциясы бірсарынды болатындай шектеулі саны бар бө-
лікке бөлуге келетін болса, онда функцияға қатысты алынған 
Фурье қатары үзіліссіз нүктелерде 
f
(
x
) функциясына жəне үзіліс 
нүктелерінде біржақты шектердің арифметикалық ортасына 
жинақталады. (Мұндай шарттарды қанағаттандыратын функция-
ны 
бөлшекті-бірсарынды
 дейді). 
Теорема 3.12
.
 Егер 2
π
 периоды бар периодты 
f
(
x
) функция-
сы [-
π, π
] кесіндісінде өзінің туындысымен бірге үзіліссіз неме-
се шектеулі саны бар 1-текті үзіліс нүктелеріне ие болса, онда 
f
(
x
) функциясының Фурье қатары үзіліс нүктелерінде біржақты 
шектердің арифметикалық ортасына жинақталады. (Осы теорема 
шартын қанағаттандыратын функцияны 
бөлшекті-тегіс функ-
ция
 дейді).
18.4. Жұп жəне тақ функциялардың Фурье қатарлары
f
(
x
) функциясы, периоды 2
l
-ге тең,
  f
(-
x
) =
  f
(
x
) шартын 
қанағаттандыратын, атап айтқанда жұп функция болсын. Онда 
оның Фурье қатарындағы коэффициенттері үшін
l
l
l
а
f х dх
f х dх
l
l
0
0
1
2
( )
( ) ;
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
а
f х
dх
f х
dх
l
l
l
l
0
1
cos
2
cos
( )
( )
;
π
π
−
=
=
∫
∫
l
l
п
l
пх
пх
b
f х
dх
f х
dх
n
l
l
l
l
0
1
sin
2
sin
( )
( )
;
1,2,...
π
π
−
=
=
=
∫
∫
формулалары орынды. 
Сонымен, жұп функциясына жазылған Фурье қатарына си-
нусы бар мүшелер кірмейді де, 2
l
 периоды бар мұндай функция 
үшін Фурье қатары 
( )
n
n
a
пх
f x
a
l
0
1
cos
2
π
∞
=
=
+
∑
түріндегідей жазылады. Енді 
f
(
x
), периоды 2
l, f
(-
x
) =
 -f
(
x
) шартын 

89
қанағаттандыратын, демек тақ функция болсын. Онда оның Фу-
рье қатарындағы коэффициенттері үшін 
l
п
пх
b
f х
dх
n
l
l
0
2
sin
( )
;
1,2,...
π
=
=
∫
формулалары орынды. 
Сонымен, тақ функциясына жазылған Фурье қатарында бос 
мүше мен косинусы бар мүшелер болмайды, атап айтқанда, 2
l
 пе-
риодты тақ функциясы үшін Фурье қатарының өзі 
( )
n
n
пх
f x
b
l
1
sin
π
∞
=
=
∑
түрінде кескінделеді.
Егер 
f
(
x
) функциясы [0
, l
] кесіндісінде Фурье тригонометриялық 
қатарына жіктелетін болса, онда берілген 
f
(
x
) функциясын [-
l, 
0] кесіндісінде қосымша анықтай түсу керек, əрі қарай 
Т =
  2
l 
ұзындықты аралықтарда қайталап, жаңа функцияны шығарып 
аламыз да, оны Фурье тригонометриялық қатарына жіктейміз.
Кез келген шектеулі [
a, b
] кесіндісінде берілген периодты емес 
функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін,
 
берілген функцияны [
b, 
а +
 2
l
] аралығында қосымша анықтай түскеннен кейін, периодты 
түрде қайталап немесе [
b - 
2
l, а
] аралығында қосымша анықтай 
түскеннен кейін, периодты түрде қайталаған қажет.
Ескерту. 
Егер функция [0
, π
] кесіндісінде анықталған болса, 
онда 
f
(-
x
) =
 f
(
x
),     
x > 
0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын жұп функцияны [-
π, π
] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Сол сияқты
f
(-
x
) =
 -f
(
x
),     
x > 
0
деп ұйғарып, мұндайда шығатын тақ функцияны [-
π, π
] кесін-
дісіндегі функцияға дейін жалғастыруға болады. Демек [0
, π
] 
кесіндісінде анықталған бірден-бір функцияны Фурье қатарына 
косинустар бойынша да, синустар бойынша да жіктеуге болады.

90
18.5. Кез келген функциялардың ортогональ жүйесі 
бойынша алынған Фурье қатары
[
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз 
п
х
х
х
1
2
( ),
( ),...,
( )
ϕ
ϕ
ϕ
                           (3.60)
функциялар тізбегі қос-қостан ортогональ болатын, атап айтқанда
b
i
j
a
х
х dх
i
j
( ) ( )
0; (
)
ϕ
ϕ
=
≠
∫
теңдігін қанағаттандыратын [
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз 
п
х
х
х
1
2
( ),
( ),...,
( )
ϕ
ϕ
ϕ
 функциялар тізбегін осы кесіндідегі 
функ-
циялардың ортогональ жүйесі
 деп атайды. Осыған қосымша [
a, 
b
] кесіндісінде 
b
i
j
a
i
j
х
х dх
i
j
0,
,
( ) ( )
1,
ϕ
ϕ
≠
=
=



∫
шарты орындалуында 
жүйе ортогональ 
жəне 
мөлшерленген
 
(
ортонормаланған
) деп аталады.
Енді 
f
(
x
) - [
a, b
] кесіндісінде үзіліссіз кез келген функция бол-
сын. Мұндай 
f
(
x
) функциясының [
a, b
] кесіндісінде 
ортогональ 
жүйе
 
бойынша алынған Фурье қатары 
деп коэффициенттері
[
]
b
n
a
b
n
a
f х
х dх
n
х
dх
2
( ) ( )
;
1,2,...
( )
ϕ
ϕ
=
∫
∫
теңдігімен анықталатын 
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
 қатарын айтады. Егер [
a, b
]
кесіндісіндегі функциялардың 
ортогональ жүйесі 
ортонор-
маланған болса, онда 
b
n
n
a
а
f х
х dх
n
( ) ( ) ;
1,2,...
ϕ
=
=
∫

91
Енді 
f
(
x
) - [
a, b
]-да үзіліссіз, немесе шектеулі саны бар 
1-текті үзіліс нүктелерге ие кез келген функция болсын. Мұндай 
функцияның [
a, b
] кесіндісінде 
ортогональ жүйе
 
бойынша
 
алынған Фурье қатары 
деп 
n
п
n
а
х
1
( )
ϕ
∞
=
∑
қатарын айтады. Егер 
f
(
x
) функциясының (3.60) жүйесі бойынша 
алынған Фурье қатары 
f
(
x
) функциясының [
a, b
] кесіндісіне тиіс 
əрбір үзіліссіз нүктесінде 
f
(
x
) функциясына жинақталатын бол-
са, 
f
(
x
) функциясын [
a, b
] кесіндісінде (3.60) 
ортогональ жүйесі 
бойынша қатарға жіктеледі
 дейді.
18.6. Фурье қатарының комплексті кескіні
i nx
l
n
с e
π
+∞
−∞
∑
өрнегі, 
n
c
 коэффициенттерінің 
l
i nx
l
n
l
с
f х e
dх
n
l
1
( )
;
0, 1, 2,...
2
π
−
−
=
=
± ±
∫
теңдігімен анықталуында 
f
(
x
) функциясына жазылған 
Фурье 
қатарының комплексті кескіні
 деп аталады. Комплексті кескінді 
Фурье қатарынан нақты кескінді Фурье қатарына көшу жəне 
керісінше  нақты кескінді Фурье қатарынан комплексті кескінді 
Фурье қатарына көшу
l
n
n
n
l
а
ib
а
c
c
f х dх
l
0
0
1
,
( ) ;
2
2
2
−
−
=
=
=
∫
n
n
n
n
а
c
b
c
n
2 Re ,
2 Im ,
1,2,...
=
=
=
формулалары көмегімен жүзеге асады.

92
18.7. Фурье интегралы
f
(
x
) функциясы əрбір [
-l, l
] (
l – 
кез келген сан) кесіндісінде 
бөлшекті-тегіс немесе бөлшекті-бірсарынды, оның үстіне 
абсолютті интегралданатын, атап айтқанда 
f х dх
( )
∞
−∞
∫
 меншіксіз
интегралы
 
жинақталатындай болсын. Онда 
f
(
x
) функциясы 
( )
n
n
n
a
п
п
f x
a
х b
х
l
l
0
1
cos
sin
2
π
π
∞
=
=
+
+
∑
Фурье қатарына жіктеледі, мұнда 
l
п
l
п
а
f t
tdt
n
l
l
1
( )cos
;
0,1,2,...
π
−
=
=
∫
l
п
l
п
b
f t
tdt
n
l
l
1
( )sin
;
1,2,...
π
−
=
=
∫
Егер коэффициенттерді 
f
(
x
) функциясы үшін жазылған фор-
мулаға қойсақ,
( )
l
l
l
n
l
l
l
п
п
п
п
f x
f t dt
f t
tdt
х
f t
tdt
х
l
l
l
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
cos
( )sin
sin
2
π
π
π
π
∞
=
−
−
−
=
+
+
=






∑
∫
∫
∫
(
)
l
l
n
l
l
п
f t dt
f t
t х dt
l
l
l
1
1
1
( )
( )cos
2
π
∞
=
−
−
=
+
−
∑
∫
∫
теңдігіне келеміз.
Əрі қарай 
l
→ ∞
 да шекке көшсек 
l
l
l
f t dt
l
1
lim
( )
0
2
→∞
−
=
∫
жəне 
(
)
l
l
n
l
п
f х
f t
t х dt
l
l
1
1
( ) lim
( )cos
π
∞
→∞
= −
=
−
∑ ∫
орынды екенін дəлелдеуге болады. 

93
Төмендегідей
n
п
n
n
n
u
п
и
u
u
u
l
l l
1
1
;
;
π
π
π
+
∆
=
∆ =
−
=
=
белгілеулерін енгізейік.
l
→ ∞
 да 
n
u
0
∆ →
 жəне 
(
)
l
n
n
l
n
l
f х
u
f t
u t х dt
1
1
( )
lim
( )cos
π
∞
→∞
=
−
=
∆
−
∑ ∫
болатыны шығады. Теңдіктің оң жағындағы қосындының шегі
(
)
du f t
u t х dt
0
( )cos
∞
∞
−∞
−
∫ ∫
интегралына тең екендігін дəлелдеуге болады. Онда
(
)
f х
du f t
u t х dt
0
1
( )
( )cos
π
∞
∞
−∞
=
−
∫ ∫
түріндегі интегралды 
екі еселі Фурье интегралы
 дейді. Ең 
соңында 
f
(
x
) функциясының
[
]
f х
a и
их b и
их du
0
( )
( )cos
( )sin
∞
=
+
∫
түріндегі Фурье интегралымен кескінделуін шығарып аламыз, 
мұнда
a и
f t
utdt b и
f t
иtdt
1
1
( )
( )cos
,
( )
( )sin
.
π
π
∞
∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
18.8. Екі еселі Фурье интегралының комплексті кескіні. 
Фурье түрлендіруі
Екі  еселі  Фурье   интегралының   комплексті  кескіні
( )
iи x t
f х
du f t e
dt
0
1
( )
( )
2
π
∞
∞
−
−∞
=
∫ ∫
 түріндегідей.

94
3.5-анықтама. 
Егер 
f
(
x
) функциясы тұтас сандық осьте абсо-
лютты интегралданатын, үзіліссіз немесе əр кесіндіде шектеулі 
саны бар 1-текті үзіліс нүктелерді иеленсе, онда
iиx
F u
f x e
dx
( )
( )
∞
−
−∞
=
∫
функциясы 
f
(
x
) функциясының 
Фурье түрлендіруі 
деп аталады. 
)
(
u
F
 функциясы 
f(x) функциясының спектрлі сипаттамасы
 
деп те аталынады. 
Егер 
f
(
x
) Фурье интегралымен кескінделетін функция болса, 
онда
iиx
f x
F u e dи
1
( )
( )
2
π
∞
−∞
=
∫
деп жазуға болады. Осы теңдікті 
кері Фурье түрлендіруі
 дейді.
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )cos
π
∞
=
∫
 жəне 
F u
f x
uхdх
0
2
( )
( )sin
π
∞
=
∫
интегралдарын сəйкесінше 
Фурье косинус түрлендіруі 
жəне 
Фурье синус түрлендіруі
 дейді. Фурье косинус түрлендіруі
 
жұп
 
функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып, Фурье синус 
түрлендіруі
 
тақ
 
функциялар үшін Фурье түрлендіруі болып та-
былады.
Фурье түрлендіруі функционалды анализде, гармониялық 
ана лизде, операциялық есептеуде, сызықтық жүйелер теориясын-
да кең қолданыс табады.
 
18.9. Мысалдар
1-мысал
. 
х
f х
( )
2
π
−
=
 функциясын [0
, 
2
π
] кесіндісінде Фурье 
қатарына жіктеу талап етіледі.
Шешімі.
 Тізбекті түрде
х
а
dх
2
0
0
1
0,
2
2
π
π
π
−
=
=
∫

95
(
)
п
х
пх
а
пхdх
х
пхdх
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
sin
1
cos
sin
0,
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
=
−
+
=
∫
∫
(
)
п
х
пх
b
пхdх
х
пхdх
n
n
n
2
2
2
0
0
0
1
1
cos
1
1
sin
cos
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π
π
π
−
=
= −
−
−
=
∫
∫
коэффициенттерін анықтаймыз. Сонымен
n
х
пх
x
п
1
sin
, 0
2 .
2
π
π
∞
=
−
=
< <
∑
                     (3.61)
2
-
мысал
. Алдыңғы мысалда 
х
-ті
 
2
х-
ке алмастырып, шыққан 
теңдіктің екі жағын екіге бөлсек
n
х
пх
x
п
1
sin 2
, 0
4
2
2
π
π
∞
=
− =
< <
∑
                     (3.62)
жіктемесіне келеміз. 
Енді (3.61) теңдігінен (3.62) теңдігін шегеріп, 
(
)
n
п
х
x
п
1
sin 2
1
, 0
4
2
1
π
π
∞
=
−
=
< <
−
∑
                   (3.63)
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда, 
х
2
π
=
 болуында 
белгілі
1 1 1
1
...
4
3 5 7
π
= − + − +
Лейбниц қатары алынады.
3
-
мысал
. 
х
х
f х
2
( )
4
2
π
=
−
 функциясын қарастырайық та, оны 
[0
, π
] кесіндісінде косинустар бойынша жіктейік. 
Шешімі.
 Фурье коэффициенттерін
х
х
а
dх
2
0
0
1
,
4
2
π
π
π
=
−






∫
п
х
х
а
пхdх
2
0
2
cos
4
2
π
π
π
=
−






∫
формулалары бойынша есептеп,

96
 
n
х
х
соsпх
п
2
2
2
1
4
2
6
π
π
∞
=
−
= −
+
∑
теңдігін шығарып аламыз. Дербес жағдайда, 
х
0
=
 болғанда
n
п
2
2
1
1
6
π
∞
=
=
∑
түріндегі əйгілі Эйлер қатары шығады.

97
ІV тарау.
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: