69
жөніндегі мəселені шешу үшін
Даламбердің жинақталу белгі-
сін пайдаланамыз. (3.29) қатарының (
n+
1)-мүшесін
v
n
арқылы
белгілейміз:
n
n
n
v
a х
=
; бұдан
n
n
n
v
a
х
1
1
1
+
+
+
=
.
Енді
n
n
n
n
v
a
х
v
a
1
1
+
+
=
қатынасын құрамыз.
n
→∞ да
n
n
a
a
1
+
қатынасының шегі бар болсын деп ұйғарайық жəне оны
l
арқылы
белгілейік:
n
n
n
a
l
a
1
lim
.
+
→∞
=
(3.30)
Сондa
n
n
n
v
l х
v
1
lim
.
+
→∞
=
(3.31)
Егер
х
l
1
<
болса, онда
l х
1
<
,
демек (3.29) қатары
жинақталады. Сондықтан (3.27) қатары жинақталып, жинақталу
абсолютті болады.
Егер
х
l
1
>
болса, онда
l х
1
>
. Даламбер белгісіне
жасалған ескертуге сəйкес (3.29) жəне (3.27) қатарының екеуі
де жинақталмайды. Сонымен
R
l
1
0
= ≥
- дəрежелік қатардың
жинақтылық радиусы болып табылады жəне (3.30)
қатынасына
сəйкес
n
n
n
a
R
a
1
lim
→∞
+
=
(3.32)
формуласына келеміз.
(3.27) дəрежелік қатары
(-R, R)
жинақтылық интервалының
ұштарында, атап айтқанда,
х= R
жəне
х = -R
мəндерінде жинақты
бола ма деген сұрақ туындайды. Əрбір жеке жағдайға сəйкес бұл
мəселенің шешілуінде де өзіне тəн ерекшелігі болады.
Мысал
.
п
х
х
х
х
n
2
3
...
...
1
2
3
+
+
+ +
+
70
қатарын қарастырайық. Мұнда
n
n
a
1
,
=
n
n
a
1
1
1
+
=
+
. Жинақтылық радиу-
сын анықтайтын (3.32) формуласына сəйкес
n
n
n
n
n
R
n
n
n
1
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
1
→∞
→∞
→∞
+
=
=
=
+
=
+
.
Демек (3.33) қатары (-1, 1) интервалында жинақталады. Осы
қатар интервал ұштарында жинақты бола ма деген сұрақты шешу
үшін,
алдымен
x
= 1 деп ұйғарамыз. Сонда
n
1 1
1
1
...
...
2 3
+ + + + +
гармоникалық қатарға келеміз. Оның жинақталмайтынына §6-да
көз жеткізгенбіз. Енді
x
= -1 деп алсақ (3.33) қатары
n
n
1 1 1 1
( 1)
1
...
...
2 3 4 5
−
− + − + − + +
+
түріне келеді. Бұл қатар Лейбниц теоремасына сəйкес шартты
жинақталады. Сонымен, (3.33) қатарының жинақталу облысы -
[-1, 1] аралығы.
§10. Дəрежелік қатарларды дифференциалдау
жəне интегралдау
( )
n
п
f х
а
a x a x
a x
2
0
1
2
...
...
=
+
+
+ +
+
(3.34)
дəрежелік қатарының қосындысы, радиусы
R
> 0 болатын (-
R, R
)
жинақтылық интервалында анықталған функция болып табылады.
f
(
x
) функциясы дифференциалдамалы екенін жəне оның
f
/
(
x
)
туындысын (3.34) қатарын мүшелеп, дифференциалдағаннан
табуға болатынын дəлелдеуге болады.
Атап айтқанда, –
R < x <
R
үшін
( )
n
п
f х
a
a x
пa x
1
1
2
2
...
...
−
′
= +
+ +
+
.
Осы айтылғанның бəрі жоғары ретті туындыларда да күшін
71
сақтайды. Осыған ұқсас, жинақтылық интервалына тиіс барлық
х
мəндері үшін
f
(
x
) функциясынан алынған анықталмаған интеграл
(3.34) қатарын мүшелеп, интегралдаудан алынуы мүмкін, атап
айтқанда, егер –
R < x < R
болса, онда
n
n
a x
a x
a x
f x dx C a x
n
2
3
2
1
1
0
( )
...
...
2
3
1
+
= +
+
+
+ +
+
+
∫
.
Сонымен, дəрежелік қатар өзінің жинақтылық интервалын-
да, дифференциалдау жəне интегралдау амалдарына қатысты,
шектеулі мүшесі бар көпмүшеден айнымайды.
§11. Берілген функцияны дəрежелік қатарға жіктеу
Қолданбаларда, берілген
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатарға
жіктеуді білген аса маңызды.
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатардың
қосындысы түрінде кескіндегенде, осы функция мəнін кез келген
дəлдік дəрежесімен есептеу мүмкіндігі туады.
Сұрақты жалпы түрде қоймас бұрын кейбір дербес жағдай-
лар ды қарастырып өтейік.
Дəрежелік
1+
n
x x
x
2
...
...
+
+ +
+
қатарын алайық. Бұл қатар, еселігі
х
-ке тең геометриялық
прогрессияны кескіндеп, |
x
| < 1 болуында жинақталатынын жəне
қосындысы
x
1
1
−
-ге тең болатынын көргенбіз. Демек
n
x x
x
x
2
1
1
...
...
1
= + +
+ +
+
−
. (3.35)
деп жазуымызға болады. Осы қосындыны
теңдік деп қана ұғынбай,
x
1
1
−
функциясының дəрежелік қатарға жіктелуі деген жаңа
көзқарасқа көтерілуге болады. Бұл қатар
х
айнымалысының өспелі
дəрежелері бойынша орналасқан. (3.35) жіктемесінен, үлкен қызығу-
шылық туғызатын басқалай жіктемелер шығарып алған қиын емес.
72
11.1.
ln
(1 + x) функциясының жіктемесі
(3.35) жіктемесінде
х-
ті
z-
пен алмастырып,
z
1
1
=
+
1
- z + z
2
- … +
(-1)
n
+
(3.36)
теңдігіне келеміз. Егер
z
x
0
1
≤
≤
<
болса, онда §10-да
айтылғандай, (3.36) теңдігін 0-ден
х
-ке
дейінгі аралықта
z
бойынша
мүшелеп интегралдауға болады. Сондықтан (3.36) теңдігін
dz
-ке
көбейтіп жəне 0-ден
х
-ке дейінгі аралықта интегралдаса, онда
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
zdz
z dz
z dz
z
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
.
Бұдан
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
z
n
2
3
1
0
0
0
0
0
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
=
−
+
− + −
+
+
,
немесе егер
x
1
<
болса,
n
n
x
x
x
x
x
n
2
3
1
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
= −
+
− + −
+
+
.
Осы жіктелу
х =
1 мəнінде де орындалатынын көрсетуге
болады, демек
1 1 1
ln 2 1
...
2 3 4
= − + − +
.
11.2. arctg x функциясының жіктелуі
(3.35) жіктелуінде
х = -z
2
деп ұйғарайық. Сонда
n
zn
z
z
z
z
2
4
2
1
1
... ( 1)
...
1
= −
+
− + −
+
+
Соңғы теңдікті
dz
-ке көбейтіп жəне 0-ден
х
-ке
дейінгі аралық-
та мүшелеп интегралдасақ (мұнда
x
1
<
)
73
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
z dz
z dz
z dz
z
2
4
2
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
немесе
arctg
z
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
n
3
5
2
1
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
3
5
2
1
+
=
−
+
− + −
+
+
жікте -
месіне келеміз.
arctg
0 = 0 болғандықтан, нəтижесінде, егер
x
1
<
болса,
arctg
x =
...
1
2
)
1
(
...
5
3
1
2
5
3
+
+
−
+
−
+
−
+
n
x
x
x
x
n
n
жіктелуі алынады. Мұндай жіктелу
х
= 1 жəне
x
= -1 болғанда да
əділ болып қала береді. Дербес жағдайда,
х
= 1 болуында
arctg
1
=
1 1 1 1
1
...
4
3 5 7 9
π
= − + − + −
Көптеген функциялар, мəселен ln(1+
x
),
arctg
x
жəне т.б.
функциялар
х
аргументіне қатысты дəрежелік қатарға жіктелуді
мүмкін ететінін көріп отырмыз. Берілген
f(x)
функциясын
x
айнымалысының теріс емес бүтін өспелі дəрежелері бойынша
жіктелуі жөніндегі мəселені көтерген орынды. Келесі тармақта
осы мəселемен айналысамыз.
Достарыңызбен бөлісу: 
