Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

69
жөніндегі мəселені шешу үшін Даламбердің жинақталу белгі-
сін пайдаланамыз. (3.29) қатарының (
n+
1)-мүшесін 
v
n
 арқылы 
белгілейміз: 
n
n
n
v
a х
=
; бұдан 
n
n
n
v
a
х
1
1
1
+
+
+
=
.
Енді 
n
n
n
n
v
a
х
v
a
1
1
+
+
=
 қатынасын құрамыз. 
n
→∞ да 
n
n
a
a
1
+
 
қатынасының шегі бар болсын деп ұйғарайық жəне оны 
l 
арқылы 
белгілейік:
n
n
n
a
l
a
1
lim
.
+
→∞
=
                                    (3.30)
Сондa 
n
n
n
v
l х
v
1
lim
.
+
→∞
=
                                  (3.31)
Егер 
х
l
1
<
 болса, онда 
l х
1
<
,
 
демек (3.29) қатары 
жинақталады. Сондықтан (3.27) қатары жинақталып, жинақталу 
абсолютті болады.
Егер 
х
l
1
>
 болса, онда 
l х
1
>
. Даламбер белгісіне 
жасалған ескертуге сəйкес (3.29) жəне (3.27) қатарының екеуі 
де жинақталмайды. Сонымен 
R
l
1
0
= ≥
 - дəрежелік қатардың 
жинақтылық радиусы болып табылады жəне (3.30) қатынасына 
сəйкес 
n
n
n
a
R
a
1
lim
→∞
+
=
                                   
(3.32)
формуласына келеміз.
(3.27) дəрежелік қатары 
(-R, R)
 жинақтылық интервалының 
ұштарында, атап айтқанда, 
х= R
 жəне 
х = -R
 мəндерінде жинақты 
бола ма деген сұрақ туындайды. Əрбір жеке жағдайға сəйкес бұл 
мəселенің шешілуінде де өзіне тəн ерекшелігі болады.
Мысал
. 
п
х
х
х
х
n
2
3
...
...
1
2
3
+
+
+ +
+

70
қатарын қарастырайық. Мұнда 
n
n
a
1
,
=
 
n
n
a
1
1
1
+
=
+
. Жинақтылық радиу-
сын анықтайтын (3.32) формуласына сəйкес
n
n
n
n
n
R
n
n
n
1
1
1
lim
lim
lim 1
1
1
1
→∞
→∞
→∞
+
=
=
=
+
=
+






.
Демек (3.33) қатары (-1, 1) интервалында жинақталады. Осы 
қатар интервал ұштарында жинақты бола ма деген сұрақты шешу 
үшін, алдымен 
x 
= 1 деп ұйғарамыз. Сонда 
n
1 1
1
1
...
...
2 3
+ + + + +
гармоникалық қатарға келеміз. Оның жинақталмайтынына §6-да 
көз жеткізгенбіз. Енді 
x
 = -1 деп алсақ (3.33) қатары
n
n
1 1 1 1
( 1)
1
...
...
2 3 4 5
−
− + − + − + +
+
түріне келеді. Бұл қатар Лейбниц теоремасына сəйкес шартты 
жинақталады. Сонымен, (3.33) қатарының жинақталу облысы - 
[-1, 1] аралығы.
§10. Дəрежелік қатарларды дифференциалдау 
жəне интегралдау
( )
n
п
f х
а
a x a x
a x
2
0
1
2
...
...
=
+
+
+ +
+
               (3.34)
дəрежелік қатарының қосындысы, радиусы 
R 
> 0 болатын (-
R, R
) 
жинақтылық интервалында анықталған функция болып табылады. 
f
(
x
) функциясы дифференциалдамалы екенін жəне оның 
f
/
(
x
) 
туындысын (3.34) қатарын мүшелеп, дифференциалдағаннан 
табуға болатынын дəлелдеуге болады. Атап айтқанда, –
R < x < 
R
 үшін 
( )
n
п
f х
a
a x
пa x
1
1
2
2
...
...
−
′
= +
+ +
+
 .
Осы айтылғанның бəрі жоғары ретті туындыларда да күшін 

71
сақтайды. Осыған ұқсас, жинақтылық интервалына тиіс барлық 
х
 
мəндері үшін 
f
(
x
) функциясынан алынған анықталмаған интеграл 
(3.34) қатарын мүшелеп, интегралдаудан алынуы мүмкін, атап 
айтқанда, егер –
R < x < R
 болса, онда 
n
n
a x
a x
a x
f x dx C a x
n
2
3
2
1
1
0
( )
...
...
2
3
1
+
= +
+
+
+ +
+
+
∫
   .
Сонымен, дəрежелік қатар өзінің жинақтылық интервалын-
да, дифференциалдау жəне интегралдау амалдарына қатысты, 
шектеулі мүшесі бар көпмүшеден айнымайды.
§11. Берілген функцияны дəрежелік қатарға жіктеу
Қолданбаларда, берілген 
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатарға 
жіктеуді білген аса маңызды. 
f
(
x
) функциясын дəрежелік қатардың 
қосындысы түрінде кескіндегенде, осы функция мəнін кез келген 
дəлдік дəрежесімен есептеу мүмкіндігі туады.
Сұрақты жалпы түрде қоймас бұрын кейбір дербес жағдай-
лар ды қарастырып өтейік.
Дəрежелік 
1+
n
x x
x
2
...
...
+
+ +
+
қатарын алайық. Бұл қатар, еселігі 
х
-ке тең геометриялық 
прогрессияны кескіндеп,  |
x
| < 1 болуында жинақталатынын жəне 
қосындысы 
x
1
1
−
-ге тең болатынын көргенбіз. Демек 
n
x x
x
x
2
1
1
...
...
1
= + +
+ +
+
−
    .                (3.35)
деп жазуымызға болады. Осы қосындыны теңдік деп қана ұғынбай,
x
1
1
−
 функциясының   дəрежелік  қатарға  жіктелуі   деген   жаңа 
көзқарасқа көтерілуге болады. Бұл қатар 
х
 айнымалысының өспелі 
дəрежелері бойынша орналасқан. (3.35) жіктемесінен, үлкен қызығу-
шылық туғызатын басқалай жіктемелер шығарып алған қиын емес.

72
11.1.
 ln
(1 + x) функциясының жіктемесі
(3.35) жіктемесінде 
х-
ті  
z-
пен алмастырып,         
 
z
1
1
=
+
 
1
 - z + z
2
 - … + 
(-1)
n 
+                       
(3.36)
теңдігіне келеміз. Егер 
z
x
0
1
≤
≤
<
 болса, онда §10-да 
айтылғандай, (3.36) теңдігін 0-ден 
х
-ке дейінгі аралықта 
z 
бойынша 
мүшелеп интегралдауға болады. Сондықтан (3.36) теңдігін 
dz
-ке 
көбейтіп жəне 0-ден
 х
-ке дейінгі аралықта интегралдаса, онда 
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
zdz
z dz
z dz
z
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
.
Бұдан 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
z
n
2
3
1
0
0
0
0
0
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
=
−
+
− + −
+
+
,    
немесе егер
 
x
1
<
 болса,
n
n
x
x
x
x
x
n
2
3
1
ln(1
)
... ( 1)
...
1
2
3
1
+
+
= −
+
− + −
+
+
.
Осы жіктелу 
х = 
1 мəнінде де орындалатынын көрсетуге 
болады, демек 
1 1 1
ln 2 1
...
2 3 4
= − + − +
 .
11.2. arctg x функциясының жіктелуі
(3.35) жіктелуінде 
х = -z
2
 
деп ұйғарайық. Сонда
n
zn
z
z
z
z
2
4
2
1
1
... ( 1)
...
1
= −
+
− + −
+
+
Соңғы теңдікті 
dz
-ке көбейтіп жəне 0-ден
 х
-ке дейінгі аралық-
та мүшелеп интегралдасақ (мұнда 
x
1
<
) 

73
x
x
x
x
x
n
n
dz
dz
z dz
z dz
z dz
z
2
4
2
2
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
1
=
−
+
− + −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
немесе 
arctg
 z 
n
x
x
x
x
n
x
z
z
z
z
n
3
5
2
1
0
0
0
0
0
... ( 1)
...
3
5
2
1
+
=
−
+
− + −
+
+
  
жікте -
месіне келеміз. 
arctg
 
0 = 0 болғандықтан, нəтижесінде, егер 
x
1
<
 
болса, 
arctg
x = 
...
1
2
)
1
(
...
5
3
1
2
5
3
+
+
−
+
−
+
−
+
n
x
x
x
x
n
n
жіктелуі алынады. Мұндай жіктелу 
х
 = 1 жəне
 x
 = -1 болғанда да 
əділ болып қала береді. Дербес жағдайда,
 х
 = 1 болуында 
arctg
1
 = 
1 1 1 1
1
...
4
3 5 7 9
π
= − + − + −
Көптеген функциялар, мəселен ln(1+
x
), 
arctg
x
 жəне т.б. 
функциялар 
х
 аргументіне қатысты дəрежелік қатарға жіктелуді 
мүмкін ететінін көріп отырмыз. Берілген 
f(x) 
функциясын 
x
 
айнымалысының теріс емес бүтін өспелі дəрежелері бойынша 
жіктелуі жөніндегі мəселені көтерген орынды. Келесі тармақта 
осы мəселемен айналысамыз.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: