Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

74
f x
a
a x
a x
a x
a x
2
3
4
1
2
3
4
5
( )
2
3
4
5
... ,
′
=
+
+
+
+
+
f
x
a
a x
a x
a x
2
3
2
3
4
5
( ) 2
2 3
3 4
4 5
... ,
′′
=
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+
f
x
a
a x
a x
2
3
4
5
( ) 2 3
2 3 4
3 4 5
... ,
′′′
= ⋅
+ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅
+
( )
f
x
a
a x
4
4
5
( ) 2 3 4
2 3 4 5
... .
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅
+
Осы теңдіктер мен (3.37)-де 
х
0
=
 деп ұйғарып,
( )
f
a f
a f
a f
a
f
a
4
0
1
2
3
4
(0)
,
(0)
,
(0) 2 ,
(0) 2 3 ,
(0) 2 3 4 , ...
=
′
=
′′
=
′′′
= ⋅
= ⋅ ⋅
мəндеріне келеміз. Олардан 
( )
f
f
f
f
a
f
a
a
a
a
4
0
1
2
3
4
(0)
(0)
(0)
(0)
(0),
,
,
,
, ...
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
′
′′
′′′
=
=
=
=
=
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
болатыны туындайды. Осы табылған 
a a a a a
0
1
2
3
4
, ,
, ,
, ...
 
коэффициенттерінің мəндерін (3.37) қатарына қойғаннан 
Макло-
рен қатары
 деп аталатын
( )
п
п
f
f
f
f
f х
f
x
x
x
x
п
2
3
(0)
(0)
(0)
(0)
( )
(0)
...
...
1!
2!
3!
!
′
′′
′′′
=
+
+
+
+ +
+
  (3.38)
қатарын шығарып аламыз.
§13.
 
Кейбір функциялардың дəрежелік қатарға 
жіктелуінде Маклорен қатарын қолдану
13.1. e
x
 функциясын жіктеу
х
f x
е
( )
=
  болсын. Сонда
( )
х
х
х
х
f x
е
f
x
е
f
x
е
f
x
е
4
( )
,
( )
,
( )
,
( )
, ...
′
=
′′
=
′′′
=
=
Мұнда 
x=
0
 
мəнін қойғаннан
( )
f
е
f
f
f
f
4
0
(0)
1,
(0) 1,
(0) 1,
(0) 1,
(0) 1, ...
=
=
′
=
′′
=
′′′
=
=
Осы мəндерді (3.38) Маклорен қатарына қою нəтижесінде 
алатынымыз

75
п
х
x
x
x
x
x
е
п
2
3
4
1
...
...
1! 2!
3!
4!
!
= + +
+
+
+ +
+
           (3.39)
Осы формуланың оң жағындағы қатардың жалпы мүшесі 
п
п
x
a
п
!
=
. Оның мүшелерінің модульдерінен жасалған қатарға 
Даламбер белгісін қолданып,
( )
n
n
n
n
n
n
a
х
n
х
n
a
х
n
n
1
1
!
lim
0
lim
lim
1 !
1
+
→∞
→∞
→∞
+
⋅
=
=
=
⋅ +
+
болатынын шығарып аламыз. Демек 
п
n
x
п
0
!
∞
=
∑
 дəрежелік қатары кез 
келген 
x 
үшін жинақталады, атап айтқанда, оның жинақтылық 
интервалы (-∞,+) болады. Арнаулы əдебиетте кез келген 
x 
мəні 
үшін осы қатардың қосындысы 
e
x
-ке тең болатыны, атап айтқанда 
(3.39) жіктемесі кез келген 
x 
үшін орынды болатыны дəлелденеді.
13.2. 
sin
 x функциясының жіктелуі
f(x)=sin x 
болсын. Бұдан
f
′
(
x
) = cos
x
, 
f
′′
(
x
) = - sin
x
, 
f
′′′
(
x
) = -cos
x
, 
iv
f
(
x
) = sin
x
, ...
Əрі қарай 
x = 
0
 
деп ұйғарып,
( )
f
f
f
f
f
4
(0) 0,
(0) 1,
(0) 0,
(0)
1,
(0) 0, ...
=
′
=
′′
=
′′′
= −
=
мəндерін табамыз. Осы мəндерді Маклорен қатарына қойып,
n
n
х
x
x
x
x
x
n
3
5
7
2
1
1
sin
( 1)
...
1! 3!
5!
7!
(2
1)!
−
−
= −
+
−
+ ⋅⋅⋅ + −
+
−
        (3.40)
жіктемесіне келеміз, мұнда 
x
 радиандарда өлшенеді. Соңғы 
формуланың оң жағындағы қатар кез келген 
x-
те жинақталатынына 
көз жеткізуге болады. 
Сол сияқты оның қосындысы sin 
x
-ке тең болатынын, атап 
айтқанда, (3.40) жіктелуі 
х
-тің кез келген мəнінде əділ болатынын 
дəлелдеуге болады.

76
13.3.
 сos
x функциясының жіктелуі
Егер 
f
(
x
) = cos
x
 болса, онда 
f
′
(
x
) = -sin
x
 , 
f
′′
(
x
) = -cos
x
, 
f
′′′
(
x
) = sin
x
, 
iv
f
(
x
) = cos
x
, …
Мұнда 
x 
= 0 деп ұйғарғаннан,  
f
(0) = 1, 
f
′
(0) = 0, 
f
′′
(0) = -1, 
f
′′′
(0) = 0, 
iv
f
(
x
) = 1,… . Осы мəндерді Маклорен формуласына 
қойғаннан, радиандарда өлшенетін 
х
 үшін 
n
n
x
x
x
x
n
2
4
2
cos
1
.... ( 1)
...
2!
4!
(2 )!
= −
+
−
+ −
+
               (3.41)
формуласын аламыз. Бұл қатар (3.40) қатарына ұқсас кез келген 
х
-те жинақталатынына көз жеткізу қиын емес. Осы қатардың 
қосындысы cos 
x
-ке тең болатыны дəлелденеді. (3.41) жіктелуін 
(3.40) жіктелуінен оны мүшелеп дифференциалдағаннан да алуға 
болады.
13.4. Ньютон биномының жіктелуі
f
(
x
)=
m
x
)
1
(
+
 болсын, мұнда 
m 
- бүтін не бөлшек, оң немесе 
теріс сан. Сонда 
f
′
(
x
)=
m
m
x
1
(1
)
−
+
,
f
′′
(
x
)=
m
m m
x
2
(
1)(1
)
−
−
+
,
f
′′′
(
x
)=
m
m m
m
x
3
(
1)(
2)(1
)
−
−
−
+
,
………………………………………….
)
(
n
f
(
x
)=
m n
m m
m
m n
x
(
1)(
2)........(
1)(1
)
−
−
−
− +
+
.
Осы формулалардың бəрінде 
x 
= 0 деп ұйғарып,
f
(0) = 1, 
f
′
(0) = 
m
, 
f
′′
(0) = 
m
(
m - 
1)
, 
f
′′′
(0) = 
m
(
m - 
1)(
m - 
2)
,...
…,
)
(
n
f
(0) = = 
m
(
m - 
1)(
m - 
2)·…·(
m – n + 
1)
,….
мəндерін табамыз. Осы табылған 
f
(0), 
f
′
(0), 
f
′′
(0), 
f
′′′
(0),…,
 
)
(
n
f
(0),… өрнектерін §12-тегі Маклорен қатарына қойғаннан

77
 
m
x
(1
)
+
=
n
m
m m
m m
m
m n
x
x
x
n
2
(
1)
(
1)(
2)...(
1)
1
...
...
1
1 2
1 2 3....
−
−
−
− +
+
+
+ +
+
⋅
⋅ ⋅
. (3.42)
Сырт қарағанда Ньютон биномының формуласы бөлшек не-
месе теріс көрсеткіш үшін бүтін оң көрсеткішіне жазылғандай 
жазылады. Егер 
m 
- бүтін оң сан болса, онда 
n = m+
1 болуында 
m - n+
1 көбейткіші нөлге тең. Демек (3.42) қатары үзіліп, шексіз 
жіктелудің орнына шектеулі қосынды шығады.
R
=
n
lim
→∞
n
n
a
a
1
+
формуласы арқылы (3.42) формуласының оң жағында тұрған 
қатардың (-
R, R
) жинақтылық интервалын анықтайық. Ол үшін 
n
m m
m
m n
a
n
(
1)(
2)....(
1)
1 2 3
−
−
− +
=
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
;
n
m m
m
m n
m n
a
n n
1
(
1)(
2).......(
1)(
)
1 2 3
(
1)
+
−
−
− +
−
=
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
+
мүшелері бойынша
n
n
a
n
a
m n
1
1
+
+
=
−
,
демек, 
R 
=
n
lim
→∞
n
m n
1
+
−
=
n
lim
→∞
n
m
n
1
1
1
+
−
=
1
1
−
=1
 
болатынын табамыз. 
Сонымен, биномиалды қатар -1 < 
x
 < +1 интервал ішінде жи-
нақталып, оның сыртында жинақталмайды.
Қатардың 
x
1
= −
 жəне 
x
1
=
 болуында жинақталуын зерттеу 
үшін əр жағдайды жеке талдау қажет.
§14. Жуықтап есептеуде дəрежелік қатарларды қолдану
Табылған жіктемелер функцияның дербес мəндерін есептеу-
ге, кейбір «алынбайтын» анықталған интегралдарды жуықтап 
есептеуге мүмкіндік береді. Бірнеше мысал қарастырайық.

78
14.1. 
1
sin
-ді есептеу
1
sin
 жіктемесінде 
x
1
=
 деп алып,
1
1
1
sin1 1
3! 5! 7!
= −
+
−
+ ⋅⋅⋅
теңдігіне келеміз. Төртінші мүшеден бастап барлық мүшелерді 
алып  тастағанда,   қателігі   абсолют  шамасы  бойынша 
1
1
7!
5040
=
 
санынан кіші болады (өйткені 
1
sin
 үшін жазылған қатар Лейбниц 
теоремасын қанағаттандырады). Бұдан 0,0002 дейінгі дəлдікпен
1
sin
Sin
0
1
1
57 18' 1
0.8417
3! 5!
≈ ≈
− +
≈
.
14.2. Түбірлерді есептеу 
3
9
 түбірін есептеу талап етіледі.
Осы өрнекті 
1
3
3
3
1
9
8 1 2 1
8
=
+ =
+






түріне келтіріп жəне  Ньютон биномының  формуласында 
m
1
,
3
=
x
1
8
=
 деп алсақ, 
(
)
2
3
3
1 1
1 1
1
1
1
2
1 1
1
1
3 3
3 3
3
9
2 1
3 8
1 2
8
1 2 3
8
1
1
5
2 1
2 1 0,0417 0,0017 0,0001
2,0802.
24
576
41472
−
−
−
=
+ ⋅ +
⋅
+
⋅
+ ⋅⋅⋅ =
⋅
⋅ ⋅
=
+
−
+
− ⋅⋅⋅ ≈+
−
+
=





 




 






 

 
 


 
 
 
 












Ал кестелер бойынша 
3
9
2,0801.
=

79
14.3. Натурал логарифмдерді есептеу
(
)
x
x
x
x
x
x
n
x
x
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
+
= −
+
−
+
−
+
− ⋅⋅⋅
ℓ
      (3.43)
жіктемесі табылған болатын. (3.43) қатары 
x
1
>
 мəндерінде 
жинақталмайтын болғандықтан, 2-ден асатын сандардың  натурал 
логарифмдерін есептеуге жарамсыз. Алайда оны негіз етіп 
мақсатымызға қол жеткізетін басқа бір қатар табуымызға болады. 
Ол үшін (3.43) формуласында 
x
-ті 
x
−
-пен алмастырып 
(
)
x
x
x
x
x
x
n
x
x
2
3
4
5
6
7
1
...
2
3
4
5
6
7
−
= − −
−
−
−
−
−
−
ℓ
     (3.44)
қатарын шығарып аламыз. (3.43) жəне (3.44) қатарларының екеуі 
де ортақ 
x
1
<
 жинақтылық интервалына ие. Жинақталатын 
қатарларды мүшелеп қосуға немесе азайтуға болатыны белгілі. 
Сондықтан 
x
1
<
 деп болжап, (3.43) теңдігінен (3.44) теңдігін 
шегеріп, 
x
x
x
x
n
x
x
3
5
7
1
2
1
3
5
7
+
=
+
+
+
+ ⋅⋅⋅
−






ℓ
                 (3.45)
қатарына келеміз. 
x
N
x
N
1
1
1
+
+
=
−
 
(
)
N
0
>
 деп алсақ, 
x
N
1
2
1
=
+
болатаны шығады. Осы мəндерді (3.45) қатарына қойып, 
(
)
(
)
(
)
(
)
n N
nN
N
N
N
N
3
5
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1 3
5
7
2
1
2
1
2
1
+ −
=
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅⋅⋅
+
+
+
+








ℓ
ℓ
 (3.46)
қатарын шығарып аламыз.
Даламбер белгісін қолданып, (3.46) қатарының кез келген 
оң 
N
 саны үшін жинақталатынына оп-оңай көз жеткізуге 
болады. Демек осы қатарды пайдаланып, бірте-бірте 
барлық бүтін оң сандардың натурал логарифмдерін анықтай 
аламыз. 

80
14.4. Қатарларды анықталған интегралдарды 
есептеуге қолдану
Мəселен, 
x
dx
x
1
0
sin
∫
 анықталған интегралын есептеу талап 
етілсін.   Мұнда   интеграласты  
( )
x
f x
x
sin
=
   функциясы    
x
0
≠
болғанда   анықталған.  
x
0
=
   болуында   үзілісіздікке  сəйкес  
( )
f
0
1
=
 деп ұйғарамыз.
Cəйкес 
x
dx
x
sin
∫
 анықталмаған интегралы элементар функ 
 
 
-
цияларда өрнектелінбейді, атап айтқанда, «алынбайтын интег-
ралды» кескіндейді. Олай болса Ньютон-Лейбниц фор 
муласын 
мұнда қолдануға болмайды. Осыған қарамастан бас тапқы анықтал-
ған интеграл қатарлар көмегімен жуықтап есеп телуі мүмкін. 
sin x
-ке жазылған қатарды 
x
-ке мүшелеп бөліп,
x
x
x
x
x
2
4
6
sin
1
...
3!
5!
7!
= −
+
−
+
қатынасына,  ал  оны  мүшелеп  интегралдағаннан 
x
x
x
dx
dx
x dx
x dx
x
x
1
1
1
3
5
1
1
2
4
1
0
0
0
0
0
0
sin
1
1
1
1
...
...
3!
5!
3! 3
5! 5
1
1
1
... 0,94611
3! 3 5! 5
=
−
+
− =
− ⋅
+ ⋅
− =
= −
+
− ≈
⋅
⋅
∫
∫
∫
∫
жуық мəніне келеміз.
Қатар ауыспалы таңбалы жəне оның мүшелерінің модульдері 
монотонды кемитіндіктен, оның үш мүшесімен шектеліп, қателігі 
1
1
0,00003
7! 7
35280
=
<
⋅
 санынан кіші екенін көреміз.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: