§14. Шартты экстремум. Тұйық облыстағы функцияның

48
облыстың ішінде жатқан экстремумге күдікті нүктелердің 
біреуінде немесе облыстың шекарасында болып қалуы мүмкін. 
Сондықтан берілген функцияның тұйық облыстағы аталған 
мəндерін табу үшін:
1) берілген облыста орналасқан стационар (экстремумге 
күдікті) нүктелерді тауып, осы нүктелердегі функцияның мəн-
дерін есептеу  қажет;
2) облыстың шекарасын түзейтін сызықтар бойында функ-
цияның ең үлкен жəне ең кіші мəндерін тапқан қажет;
3) табылған мəндердің ішінен ең үлкені мен ең кішісін таңдап 
алу керек.
1-мысал
. 
х 
жəне
 у
 айнымалылары 
x
y
+
− =
2
3
5 0
 теңдеуімен 
байланысқан 
z
xy
=
 функциясының экстремумын табу талап 
етіледі.
Шешімі
:
(
)
u
xy
x
y
λ
=
+
+
−
=
2
3
5
0
түрінде құрылған Лагранж
 
функциясын қарастырамыз. Экстре-
мум болуының қажетті шарты беретін
y  
 0,
x  
 0,
x
y
λ
λ
+
=
+
=
+
− =




2
3
2
3
5 0
теңдеулер жүйесінен
  , x
y
λ
= −
=
=
5
5
5
,
12
4
6
мəндерін табамыз. 






5 5
,
4 6
 нүктесінде 
z
xy
=
 функциясы ең 
үлкен 
z
=
max
25
24
 мəніне қол жеткізетінін байқау қиын емес.
2
-
мысал
. Берілген 
S
 ауданы бар барлық тікбұрышты 
үшбұрыштар ішінде ең кіші гипотенузалы үшбұрышты табу та-
лап етіледі.
Шешімі
:
 х 
жəне
 у
 үшбұрыш катеттері, ал 
z 
гипотенуза бол-
сын. 
z
x
y
=
+
2
2
2
 болғандықтан, есеп 
x
y
+
2
2
 функциясының ең 
кіші мəнін 
х 
жəне
  у
 айнымалылары 
xy
S
=
/ 2
,
 атап айтқанда, 

49
xy
S
−
=
2
0
 теңдеуімен байланысу шартында табуға келтіріледі.
(
)
u
x
y
xy
S
λ
=
+
+
−
=
2
2
2
0
Лагранж
 
функциясын құрастырып, оның дербес туындыла-
рын табамыз:
и
u
   x 
  y ,
   y 
  x
x
у
λ
λ
∂
∂
=
+
=
+
∂
∂
2
2
.
x
y
>
>
0,
0
 болғандықтан,
x  y
 
,
  y   x
xy
S
λ
λ
+
=
+
=
=




2
0
2
0,
/ 2
теңдеулер жүйесінен
  , x
y
S
λ
= −
= =
2
шешімін табамыз. Сонымен гипотенуза ең кіші мəнге катеттер 
тең болғанда ғана қол жеткізеді.
3
-
мысал
. 
(
) (
)
x
у
−
+
−
≤
2
2
2
2
9
 дөңгелегіндегі 
z
x
y
=
+
2
2
 
функциясының ең кіші мəнін табу талап етіледі.
Шешімі
: Мұнда 
(
) (
)
x
у
−
+
−
=
2
2
2
2
9
 шеңберімен шектел-
ген 
D
 облысы қарастырылады, бұл облысқа шеңбер нүктелері де 
жатады. Берілген функцияның стационар (экстремумге күдікті) 
нүктелерін іздестіреміз:
z
z
   x  ,
   y  
x
у
∂
∂
=
=
∂
∂
2
2 .
Экстремум болуының қажетті шартына сəйкес 
x
y
=
=
0,
0
 
нүктесін табамыз. Осы (0, 0) нүктесінде 
z
x
y
=
+
2
2
 функциясы 
ең кіші мəнге ие болатынын көреміз: 
z
ең кіші
=0, айта кету керек бұл 
нүкте 
D
 облысының ішкі нүктесі болып табылады. 
х 
жəне
 у
 ай-
нымалылары 
(
) (
)
x
у
−
+
−
=
2
2
2
2
9
 теңдеуімен байланысқанда 
z
x
y
=
+
2
2
 функциясын шартты экстремумге зерттейік.  Ол  үшін 
4–454

50
(
) (
)
u
x
y
x
у
λ
=
+
+
−
+
−
−






2
2
2
2
2
2
9
түрінде Лагранж
 
функциясын құрамыз. Оның дербес туынды-
лары
(
)
(
)
и
u
   x   2
x
 ,
   y   2
у
x
у
λ
λ
∂
∂
=
+
−
=
+
−
∂
∂
2
2
2
2 .
Ал
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
x x
 
 
0,
y   у
  0,
x
 
 
 
у
 
9
λ
λ
+
−
=
+
−
=
−
+
−
=






2
2
2
2
теңдеулер жүйесінен екі шешім
 
 
x
y
 
λ
= =
= −
5 2
5
1)
,
2
3
 жəне 
z
=
25;
 
 
 
x
y
 
λ
= = −
= −
2
1
2)
,
2
3
 жəне 
z
=
1
 
түрінде табылады. Демек функция ең үлкен мəніне 






5 2 5 2
,
2
2
 
нүктесінде қол жеткізеді. Сонымен 
z
ең кіші
=0,
 z
ең үлкен
=25.

51
III тарау.
 
САНДЫҚ, ДƏРЕЖЕЛІК ЖƏНЕ ФУРЬЕ ҚАТАРЛАРЫ
§1. Сандық қатар ұғымы
n
n
a a a
a
a
1
2
3
1
,
, ,...,
, ...
−
 сандарының шексіз тізбегі берілсін. 
Ең алғаш сандық тізбек ұғымы (Математика І, IХ тарау, §1) да 
енгізілген. Тізбекке енген сандардан құрылған 
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
=
=
+
+ +
+
∑
                        
(3.1)
өрнегін қатар немесе, дəлірек айтқанда, 
сандық қатар
 дейтін бо-
ламыз. 
a a
1
2
,
,...
сандарының өзін қатардың бірінші, екінші т.с.с. 
мүшелері,
n
a
 – 
қатардың жалпы мүшесі
 деп аталады. (3.1) 
өрнегінің мүшелері арасында «+» таңбасы бар. Бір қарағанда өрнек 
қосынды жүргізуді талап ететіндей жазылған. Бірақ қосу амалын 
шектеулі саны бар қосылғыштарға ғана қатысты анықтауға бо-
лады. Ал қосылғыштардың  шексіз болу жағдайында барлық мү-
шелерді алып тауысу мүмкін емес. (3.1) өрнегін мағыналы ету 
үшін анализдің негізгі амалы болып келетін шекке көшу амалы-
на сүйенеміз. (3.1) қатарына 
ішінара қосындылар
 немесе 
дербес 
қосындылар
 деп аталатын 
{ }
n
S
 тізбегін сəйкестікке қоямыз. Бұл 
тізбектің мүшелері 
{ }
n
S
S
a S
a
a S
a
a
a
1
1
2
1
2
3
1
2
3
:
,
,
,...,
=
=
+
=
+
+
n
n
S
a
a
a
1
2
...
,...
= +
+ +
                           (3.2) 
түрінде анықталады, демек əрбір келесі ішінара 
n
S
 қосындысы, 
өзінің алдындағы ішінара 
1
−
n
S
 қосындысына 
n
a
 мүшесін қосқан 
кезде табылады.
3.1
-
анықтама
. Егер ішінара қосындылар тізбегінің 
n→∞
-ке 
ұмтылуында соңғы
n
n
S
S
lim
→∞
=
                                        (3.3)
шегі бар болса, (3.1) қатары 
жинақталған
, ал 
S
 саны 
қатардың 
қосындысы
 деп аталады. Айтқанға сəйкес 
n
n
S
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
−
= +
+ + +
+
                        
(3.4)

52
Егер 
{ }
n
S
 тізбегінің ақырлы шегі болмаса, (3.1) қатары 
жинақталмаған
 
деп аталады. 
1-мысал
. Шексіз қатар мысалына жақсы танымал геоме-
триялық прогрессия жатады: 
а + аq +
…
 аq
2
 +
   +
 аq
n
-1
+…                     (3.5)
мұнда 
a ≠ 0
. Оның алғашқы 
n
 мүшесінің 
n
S
 қосындысы 
(
)
п
п
п
a
q
a
a
S
q
q
q
q
1
.
1
1
1
−
=
=
−
−
−
−
 
формуласымен кескінделетіні белгілі. Мұнда жеке-жеке төрт 
жағдайды қарастыруға тура келеді . 
1) 
п
q
1
<
 болсын. Сонда 
n
→∞ ұмтылуында 
q
n
 → 0,
 
демек 
n
n
a
S
q
lim
1
→∞
=
−
.
Осы жағдайда (3.5) қатары жинақталады жəне оның қосын-
дысы 
a
S
q
1
=
−
 болады.
2) 
q
>1. Онда 
∞
→
n
 ұмтылуында 
n
q
 абсолют шамасы 
бойынша шектеусіз өсіп, алғашқы 
n
 мүшесінің 
n
S
 қосындысы 
шексіз артады. Сондықтан (3.5) қатары жинақталмайды жəне 
қосындысы болмайды.
3) 
1
=
q
 болсын. Сонда (3.5) қатары 
а + а +
…
 а +
...  (
a ≠ 0)
түріне келіп, 
n
S
a
a na
= +
+ =
…
, демек 
∞
=
∞
→
n
n
S
lim
, атап айтқанда, 
(3.5) қатары жинақталмайды.
4) 
1
−
=
q
 болсын. Сонда (3.5) қатары 
( )
n
a a a a
a
1
1
−
− + − +
+ −
+
…
…
түріне келеді. 
n
S
 шамасы 
n-
нің жұп немесе тақ болуына байла-
нысты нөлге немесе 
а-
ға тең. 
n
-нің шектеусіз өсуінде 
n
S
-нің шегі 
болмайды жəне (3.5) қатары жинақталмайды.

53
Сонымен, (3.5) шексіз геометриялық прогрессиясы тек 
q
1
<
 
жағдайында ғана жинақталған болып, 
a
q
1
−
 қосындысына ие бо-
лады. 
2
-
мысал
. 
(
)
n n
1
1
1
1
1
1 2 2 3 3 4 4 5
1
+
+
+
+ +
⋅
⋅
⋅
⋅
+
…
 
қатары бар болсын. Осы қатарды жинақтылыққа зерттеу үшін  
оның ішінара қосындыларының тізбегін қарастырамыз: 
S
1
1
1
1
1 2
2
=
= −
⋅
, 
S
2
1
1
1
1 1
1
1
1
1 2 2 3
2
2 3
3
=
+
=
−
+
−
= −
⋅
⋅

 


 


 

, 
S
3
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1 2 2 3 3 4
2
2 3
3 4
4
=
+
+
=
−
+
−
+
−
= −
⋅
⋅
⋅

 
 


 
 


 
 

, ..., 
(
)
n
S
n n
1
1
1
1
1
1 1
1
1 2 2 3 3 4
1
2
2 3
=
+
+
+
+
=
−
+
−
+
⋅
⋅
⋅
+

 


 


 

…
n n
n
1 1
1
1
1
1
.
3 4
1
1
+
−
+
+ −
= −
+
+






…
Сонда 
n
n
n
S
n
1
lim
lim 1
1
1
→∞
→∞
=
−
=
+






, демек қарастырылып 
отыр ған қатар жинақталады жəне оның қосындысы 1-ге тең бо-
лады.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: