§14. Шартты экстремум. Тұйық облыстағы функцияның
ең үлкен жəне ең кіші мəндері
х
жəне
у
айнымалылары
байланыс теңдеуі
деп аталатын
x y
ϕ
=
( , )
0
теңдеуін қанағаттандыратын
z
f x y
=
( , )
функциясының экстре-
мумын
шартты экстремум
дейміз.
z
f x y
=
( , )
функциясын
шартты экстремумге зерттеу үшін
Лагранж функциясы
деп ата-
латын
Ф x y
f x y
x y
λϕ
=
+
( , )
( , )
( , )
функциясын құрып, оны əдеттегі (шартсыз) экстремумге зертте-
гендей зерттейміз. Лагранж
функциясының
М
0
(
x
0
,
y
0
) нүктесінде
əдеттегі экстремумы бар болуының қажетті шарты
Ф
f
0,
x
x
x
Ф
f
0,
у
у
у
x y
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
∂
∂
∂
=
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
=
∂
∂
∂
=
( , ) 0
түрінде кескінделеді. Осы үш теңдеу құрайтын жүйеден
x
,
y
жəне λ белгісіздерін табуға болады. Тұйық облыста берілген
)
,
(
y
x
f
z
=
функциясының ең үлкен (ең кіші) мəні осы
48
облыстың ішінде жатқан экстремумге күдікті нүктелердің
біреуінде немесе облыстың шекарасында болып қалуы мүмкін.
Сондықтан берілген функцияның тұйық облыстағы аталған
мəндерін табу үшін:
1) берілген облыста орналасқан стационар (экстремумге
күдікті) нүктелерді тауып, осы нүктелердегі функцияның мəн-
дерін есептеу қажет;
2) облыстың шекарасын түзейтін сызықтар бойында функ-
цияның ең үлкен жəне ең кіші мəндерін тапқан қажет;
3) табылған мəндердің ішінен ең үлкені мен ең кішісін таңдап
алу керек.
1-мысал
.
х
жəне
у
айнымалылары
x
y
+
− =
2
3
5 0
теңдеуімен
байланысқан
z
xy
=
функциясының экстремумын табу талап
етіледі.
Шешімі
:
(
)
u
xy
x
y
λ
=
+
+
−
=
2
3
5
0
түрінде құрылған Лагранж
функциясын қарастырамыз. Экстре-
мум болуының қажетті шарты беретін
y
0,
x
0,
x
y
λ
λ
+
=
+
=
+
− =
2
3
2
3
5 0
теңдеулер жүйесінен
, x
y
λ
= −
=
=
5
5
5
,
12
4
6
мəндерін табамыз.
5 5
,
4 6
нүктесінде
z
xy
=
функциясы ең
үлкен
z
=
max
25
24
мəніне қол жеткізетінін байқау қиын емес.
2
-
мысал
. Берілген
S
ауданы бар барлық тікбұрышты
үшбұрыштар ішінде ең кіші гипотенузалы үшбұрышты табу та-
лап етіледі.
Шешімі
:
х
жəне
у
үшбұрыш катеттері, ал
z
гипотенуза бол-
сын.
z
x
y
=
+
2
2
2
болғандықтан, есеп
x
y
+
2
2
функциясының ең
кіші мəнін
х
жəне
у
айнымалылары
xy
S
=
/ 2
,
атап айтқанда,
49
xy
S
−
=
2
0
теңдеуімен байланысу шартында табуға келтіріледі.
(
)
u
x
y
xy
S
λ
=
+
+
−
=
2
2
2
0
Лагранж
функциясын құрастырып, оның дербес туындыла-
рын табамыз:
и
u
x
y ,
y
x
x
у
λ
λ
∂
∂
=
+
=
+
∂
∂
2
2
.
x
y
>
>
0,
0
болғандықтан,
x y
,
y x
xy
S
λ
λ
+
=
+
=
=
2
0
2
0,
/ 2
теңдеулер жүйесінен
, x
y
S
λ
= −
= =
2
шешімін табамыз. Сонымен гипотенуза ең кіші мəнге катеттер
тең болғанда ғана қол жеткізеді.
3
-
мысал
.
(
) (
)
x
у
−
+
−
≤
2
2
2
2
9
дөңгелегіндегі
z
x
y
=
+
2
2
функциясының ең кіші мəнін табу талап етіледі.
Шешімі
: Мұнда
(
) (
)
x
у
−
+
−
=
2
2
2
2
9
шеңберімен шектел-
ген
D
облысы қарастырылады, бұл облысқа шеңбер нүктелері де
жатады. Берілген функцияның стационар (экстремумге күдікті)
нүктелерін іздестіреміз:
z
z
x ,
y
x
у
∂
∂
=
=
∂
∂
2
2 .
Экстремум болуының қажетті шартына сəйкес
x
y
=
=
0,
0
нүктесін табамыз. Осы (0, 0) нүктесінде
z
x
y
=
+
2
2
функциясы
ең кіші мəнге ие болатынын көреміз:
z
ең кіші
=0, айта кету керек бұл
нүкте
D
облысының ішкі нүктесі болып табылады.
х
жəне
у
ай-
нымалылары
(
) (
)
x
у
−
+
−
=
2
2
2
2
9
теңдеуімен байланысқанда
z
x
y
=
+
2
2
функциясын шартты экстремумге зерттейік. Ол үшін
4–454
50
(
) (
)
u
x
y
x
у
λ
=
+
+
−
+
−
−
2
2
2
2
2
2
9
түрінде Лагранж
функциясын құрамыз. Оның дербес туынды-
лары
(
)
(
)
и
u
x 2
x
,
y 2
у
x
у
λ
λ
∂
∂
=
+
−
=
+
−
∂
∂
2
2
2
2 .
Ал
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
x x
0,
y у
0,
x
у
9
λ
λ
+
−
=
+
−
=
−
+
−
=
2
2
2
2
теңдеулер жүйесінен екі шешім
x
y
λ
= =
= −
5 2
5
1)
,
2
3
жəне
z
=
25;
x
y
λ
= = −
= −
2
1
2)
,
2
3
жəне
z
=
1
түрінде табылады. Демек функция ең үлкен мəніне
5 2 5 2
,
2
2
нүктесінде қол жеткізеді. Сонымен
z
ең кіші
=0,
z
ең үлкен
=25.
51
III тарау.
САНДЫҚ, ДƏРЕЖЕЛІК ЖƏНЕ ФУРЬЕ ҚАТАРЛАРЫ
§1. Сандық қатар ұғымы
n
n
a a a
a
a
1
2
3
1
,
, ,...,
, ...
−
сандарының шексіз тізбегі берілсін.
Ең алғаш сандық тізбек ұғымы (Математика І, IХ тарау, §1) да
енгізілген. Тізбекке енген сандардан құрылған
n
n
n
a
a
a
a
1
2
1
...
...
∞
=
=
+
+ +
+
∑
(3.1)
өрнегін қатар немесе, дəлірек айтқанда,
сандық қатар
дейтін бо-
ламыз.
a a
1
2
,
,...
сандарының өзін қатардың бірінші, екінші т.с.с.
мүшелері,
n
a
–
қатардың жалпы мүшесі
деп аталады. (3.1)
өрнегінің мүшелері арасында «+» таңбасы бар. Бір қарағанда өрнек
қосынды жүргізуді талап ететіндей жазылған. Бірақ қосу амалын
шектеулі саны бар қосылғыштарға ғана қатысты анықтауға бо-
лады. Ал қосылғыштардың шексіз болу жағдайында барлық мү-
шелерді алып тауысу мүмкін емес. (3.1) өрнегін мағыналы ету
үшін анализдің негізгі амалы болып келетін шекке көшу амалы-
на сүйенеміз. (3.1) қатарына
ішінара қосындылар
немесе
дербес
қосындылар
деп аталатын
{ }
n
S
тізбегін сəйкестікке қоямыз. Бұл
тізбектің мүшелері
{ }
n
S
S
a S
a
a S
a
a
a
1
1
2
1
2
3
1
2
3
:
,
,
,...,
=
=
+
=
+
+
n
n
S
a
a
a
1
2
...
,...
= +
+ +
(3.2)
түрінде анықталады, демек əрбір келесі ішінара
n
S
қосындысы,
өзінің алдындағы ішінара
1
−
n
S
қосындысына
n
a
мүшесін қосқан
кезде табылады.
3.1
-
анықтама
. Егер ішінара қосындылар тізбегінің
n→∞
-ке
ұмтылуында соңғы
n
n
S
S
lim
→∞
=
(3.3)
шегі бар болса, (3.1) қатары
жинақталған
, ал
S
саны
қатардың
қосындысы
деп аталады. Айтқанға сəйкес
n
n
S
a
a
a
a
a
1
2
3
1
...
−
= +
+ + +
+
(3.4)
52
Егер
{ }
n
S
тізбегінің ақырлы шегі болмаса, (3.1) қатары
жинақталмаған
деп аталады.
1-мысал
. Шексіз қатар мысалына жақсы танымал геоме-
триялық прогрессия жатады:
а + аq +
…
аq
2
+
+
аq
n
-1
+… (3.5)
мұнда
a ≠ 0
. Оның алғашқы
n
мүшесінің
n
S
қосындысы
(
)
п
п
п
a
q
a
a
S
q
q
q
q
1
.
1
1
1
−
=
=
−
−
−
−
формуласымен кескінделетіні белгілі. Мұнда жеке-жеке төрт
жағдайды қарастыруға тура келеді .
1)
п
q
1
<
болсын. Сонда
n
→∞ ұмтылуында
q
n
→ 0,
демек
n
n
a
S
q
lim
1
→∞
=
−
.
Осы жағдайда (3.5) қатары жинақталады жəне оның қосын-
дысы
a
S
q
1
=
−
болады.
2)
q
>1. Онда
∞
→
n
ұмтылуында
n
q
абсолют шамасы
бойынша шектеусіз өсіп, алғашқы
n
мүшесінің
n
S
қосындысы
шексіз артады. Сондықтан (3.5) қатары жинақталмайды жəне
қосындысы болмайды.
3)
1
=
q
болсын. Сонда (3.5) қатары
а + а +
…
а +
... (
a ≠ 0)
түріне келіп,
n
S
a
a na
= +
+ =
…
, демек
∞
=
∞
→
n
n
S
lim
, атап айтқанда,
(3.5) қатары жинақталмайды.
4)
1
−
=
q
болсын. Сонда (3.5) қатары
( )
n
a a a a
a
1
1
−
− + − +
+ −
+
…
…
түріне келеді.
n
S
шамасы
n-
нің жұп немесе тақ болуына байла-
нысты нөлге немесе
а-
ға тең.
n
-нің шектеусіз өсуінде
n
S
-нің шегі
болмайды жəне (3.5) қатары жинақталмайды.
53
Сонымен, (3.5) шексіз геометриялық прогрессиясы тек
q
1
<
жағдайында ғана жинақталған болып,
a
q
1
−
қосындысына ие бо-
лады.
2
-
мысал
.
(
)
n n
1
1
1
1
1
1 2 2 3 3 4 4 5
1
+
+
+
+ +
⋅
⋅
⋅
⋅
+
…
қатары бар болсын. Осы қатарды жинақтылыққа зерттеу үшін
оның ішінара қосындыларының тізбегін қарастырамыз:
S
1
1
1
1
1 2
2
=
= −
⋅
,
S
2
1
1
1
1 1
1
1
1
1 2 2 3
2
2 3
3
=
+
=
−
+
−
= −
⋅
⋅
,
S
3
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1 2 2 3 3 4
2
2 3
3 4
4
=
+
+
=
−
+
−
+
−
= −
⋅
⋅
⋅
, ...,
(
)
n
S
n n
1
1
1
1
1
1 1
1
1 2 2 3 3 4
1
2
2 3
=
+
+
+
+
=
−
+
−
+
⋅
⋅
⋅
+
…
n n
n
1 1
1
1
1
1
.
3 4
1
1
+
−
+
+ −
= −
+
+
…
Сонда
n
n
n
S
n
1
lim
lim 1
1
1
→∞
→∞
=
−
=
+
, демек қарастырылып
отыр ған қатар жинақталады жəне оның қосындысы 1-ге тең бо-
лады.
Достарыңызбен бөлісу: |