Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

25
U ( A )
δ
 маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса, 
А
 нүктесі 
М
 жиынының 
ішкі нүктесі
 деп аталады.
2.5
-
анықтама.
 
Егер жазықтықтағы нүктелерден кұралған 
М 
жиынының кез келген нүктесі жиынның ішкі нүктесі болса, 
М
 
ашық жиын
 деп аталады. Яғни, тек ішкі нүктелерден құралған 
жиынды ашық жиын дейді.
2.6
-
анықтама
. 
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған 
М
 
байламды ашық жиын болса, онда оны 
облыс
 
деп атайды.
2.7
-
анықтама.
 
Егер 
В
 нүктесінің кез келген 
U В
( )
δ
 маңайында 
М
 жиынының нүктелерімен бірге ол жиынның кұрамында жоқ 
нүктелер де жатса, онда 
В
 нүктесі 
М
 жиынының 
шекара нүктесі
 
деп аталады. Шекара нүктелердің жиыны сол 
жиынның шека-
расын
 кұрайды (11-сурет).
2.8-анықтама
. 
Егер 
М
 жиынының барлық шекара нүктелері 
сол жиынның құрамына кіретін болса, ондай жиынды 
тұйық 
жиын
 деп атайды.
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған 
М
 жиыны тұта-
сымен қандай да бір дөңгелекке енсе, ол 
шектелген жиын
 деп 
аталады.
§3. Көп айнымалыға тəуелді фунцияның шегі
Бізге 
ХОY
 жазықтығының 
Q
 
облысында анықталған 
z = f
(
x, y
)
функциясы берілсін жəне (
x
0
, 
y
0
) осы облыстың бекіген бір нүктесі 
болсын. 
2.9
-
анықтама
. 
Егер 
z = f
(
x, y
) функциясы (
x
0
, 
y
0
) нүктесінің 
10-сурет.                                          11-сурет.

26
кейбір маңайында анықталып, (
x
0
, 
y
0
)-ге ұмтылатын қандай да 
болмасын (
x
k
, 
y
k
) нүктелер тізбегі үшін
k
0
k
0
k
k
x
x ,
y
y
lim f ( x , y )
A
→
→
=
шегі бар болса (жазылуы 
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
y
x
→
 ұмтылуында 
f
(
x, y
)
А
→
), онда 
f
(
x,y
) функциясы (
x
0
, 
y
0
) нүктесінде 
0
0
x
x
y
y
lim f ( x, y )
A
→
→
=
 
түрінде белгіленетін жəне 
А
 санына тең шекке ие болады.
2.10
-
анықтама
. 
z = f
(
x, y
) функциясы 
М
0
(
x
0
, 
y
0
) нүктесінің 
кейбір маңайында анықталған болсын (бірақ 
М
0
(
x
0
, 
y
0
) нүктесінің 
өзінде анықталмауы да мүмкін) деп ұйғарайық. Егер 
0
ε
∀ >
 
саны бойынша 
0
δ
>
 саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
теңсіздігін 
қанағаттандыратын 
М
(
x, y
) нүктелері үшін 
( )
f x, y
A
ε
−
<
 тең-
сіздігі орындалатын болса, онда 
А
 санын 
( )
y
x
f
,
 функциясының 
0
0
x
x , y
y
→
→
 ұмтылуындағы
 
(немесе 
( )
(
)
0
0
0
M x, y
M x , y
→
-ге 
ұмтылуындағы) 
шегі
 
деп атайды жəне оны былай жазады:
( )
(
)
(
)
М
М
x
x
y
y
f x y
A немесе
f x y
A
M
M x y
Q M
M x y
Q
0
0
0
0
0
0
0
lim
( , )
lim ( , )
,
,
,
,
.
→
→
→
=
=
=
∈
=
∈
Бұл екі анықтама өзара эквивалентті анықтамалар.
Бір аргументті функциялардың шектері жəне оларды есептеу 
əдістері түгелдей көп аргументті функцияларға да қолданылады.
Үш, төрт жəне одан да көп айнымалы функциялардың шек-
терін жəне оларды есептеу дəл осылайша анықталады.
Көп айнымалы функциялардың үзіліссіздігі де бір айнымалы 
функцияның үзіліссіздігіндей анықталады.
§4. Көп айнымалыға тəуелді функцияның үзіліссіздігі
Айталық, 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
Q
 облысында анықталған 
болсын жəне 
0
0
0
М ( x , y )
 нүктесі 
Q
 жиынында жатқан осы 
жиынның шекара нүктесі болсын.
2.11
-
анықтама
. 
Егер 
z
f ( М )
=
 функциясының 
0
М
М
→
 
нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның 
0
М
 нүктесіндегі 
0
f ( М )
 
мəніне тең, яғни 
0
0
М
М
lim f ( М )
f ( М )
→
=
 болса, онда 
f ( М )
 функ-

27
циясы 
0
М
 нүктесінде 
үзіліссіз функция
 деп аталады.  Мұндайда
0
0
М
М
lim f ( M )
f ( M )
→
=
 немесе 
0
0
0
0
x
x ,
y
y
lim f ( x, y )
f ( x , y )
→
→
=
 
деп жазатын 
боламыз. Мұндағы 
( )
M x, y
Q
∈
 жəне 
(
)
0
0
0
M x , y
Q
∈
. Қысқаша, 
егер 
0
0
0
0
x
x
у
у
lim f ( x )
f ( x ; y )
→
→
=
 болса, онда 
у=f(x)
 функциясы 
М
0
(х
0
;у
0
)
 
нүктесінде 
үзіліссіз функция
 делінеді. 
Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның 
М
0
 
нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да бір мынадай анықтамасын 
келтіруге болады:
2.12
-
анықтама
. 
Егер 
0
ε
∀ >
 санына сəйкес 
( )
0
δ δ ε
=
>
саны табылып, 
(
)
0
0
M , M
ρ
δ
<
<
  теңсіздігін қанағаттандыратын 
М
 нүктелері үшін 
( )
( )
0
f М
f М
ε
−
<
 теңсіздігі орындалса, 
U
f М
( )
=
 функциясы  
М
0
 нүктесінде 
үзіліссіз функция
 деп ата-
лады.
Мына 
0
0
х x
х, у y
у
∆
∆
−
=
−
=
 шамаларының əрқайсысы 
берілген 
z
f ( x, y )
=
 функциясының 
х, у 
аргументтерінің сəйкес 
өсімшелері, ал 
( )
(
)
0
0
f x, y
f x , y
−
 айырымы – функцияның 
өсімшесі, яғни 
( )
( )
(
)
0
0
z
f x, y
f x, y
f x , y
∆
∆
=
=
−
 екенін ескер-
сек, функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің жоғарыда берілген 
анықтамасын былайша тұжырымдауға болады: егер аргу 
мент-
тердің ақырсыз кіші өсімшелеріне берілген функцияның да 
ақырсыз кіші өсімшесі сəйкес келсе, онда функция 
0
0
0
М ( x , y )
 
нүктесінде 
үзіліссіз
 деп аталады. Демек, егер 
z
f ( x, y )
=
 функ-
циясы 
0
М
 нүктесінде үзіліссіз болса, 
( )
0
0
М
М
М
М
lim
z
lim
f x, y
0
∆
∆
→
→
=
=
 
болады.
Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
Q
 облысының əрбір нүктесінде 
үзіліссіз болса, онда бұл функцияны 
Q
 облысында 
үзіліссіз функ-
ция
 деп атайды.
Енді 
ХОY
 жазықтығының кейбір 
Q
 облысында үзіліссіз бо-
латын 
z
f ( x, y )
=
 функциясының қасиеттеріне тоқтайлық. Олар 
аралықта үзіліссіз болатын бір айнымалыға тəуелді функцияның 
қасиеттеріне ұқсас. 
1) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста үзіліссіз 
болса, онда ол осы облыста шектелген функция болады. Демек:
 

28
K : f ( x, y )
K.
∃
<
 
2) Егер 
z
f ( М )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, онда ол осы облыста өзінің дəл төменгі жəне 
жоғары мəніне жете алады.
3) Егер 
z
f ( x, y )
=
 функциясы шектелген тұйық облыста 
үзіліссіз болса, ол сол облыста бірқалыпты үзіліссіз болады.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: