Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

304
3. 
1
1
1
1
0 1.
2
2
⋅ + ⋅ − =
4. 
1
1
4
4
0
4.
2
2
⋅ + ⋅ − =
5. 
1
1
1
1
4
1
1
4
0
2,5.
4
4
4
4
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =
Мұның ішіндегі дисперсияларының ең үлкені, барлық мəндері 
орта мəннен 2-ге тең қашықтықта орналасқан 4-ші үлестірілімде 
болатынын, ал ең кішісі математикалық күтілімі ең ықтимал мəн 
болып келетін бірінші үлестірімде екенін байқаймыз.
§4. Дисперсияның қасиеттері
1. Тұрақтының дисперсиясы нөлге тең 
D
(
C
) = 0.                                      (10.11)
Расында:
D
(
C
)   =  
M
(
C
2
) – (
M
(
C
))
2  
=  
C
2
–
C
2
= 0.
2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына 
квадраттап шығаруға болады.
D
(
C · ξ
) =
C
2 
· D
(
ξ
).                          (10.12)
Расында:
D
(
C · ξ
)   =  
M
(
C
2
 · ξ
2
)   –   (
M
(
C · ξ
))
2  
=  
C
2 
· M
(
ξ
2
)   – 
C
2 
(
M
(
ξ
))
2  
= 
=C
2 
(
M
(
ξ
2
) –
 
(
M
(
ξ
))
2
)   =  
C
2 
· D
(
ξ
).
3. Егер 
ξ
 мен 
η
 кездейсоқ шамалары тəуелсіз болса, онда 
D
(
ξ+η
) = 
D
(
ξ
) + 
D
(
η
).                            (10.13)
Дəлелдеу
. (*) формуласына математикалық күтілімнің 
қасиеттерін қолданып, кездейсоқ шамалардың тəуелсіздігін 
ескерсек,
D
(
ξ+η
)=
M
((
ξ+η
)
2
) – (
M
(
ξ+η
))
2
=
M
(
ξ
2
+
2
ξ·η
+
η
2
) –
 
(M (
ξ
)+(
η
))
2
= 
=
M
(
ξ
2
)+
M
(
ξ
) (
M
(
η
) +
M
(
η
2
) – (
M
(
ξ
))
2
– 2
M
(
ξ
)
M
(
η
) – (
M
(
η
))
2
=
= (
M
(
ξ
2
) –
M
(
ξ
))
2 
) +
M
(
η
2
) – (
M
(
η
))
2
=
D
(
ξ
) +
D
(
η
).
болатынына, атап айтқанда шектеулі саны бар тəуелсіз кездейсоқ 

305
шамалардың қосындысының дисперсиясы қосылғыштардың 
дисперсияларының қосындысына тең екенін көреміз.
Кездейсоқ шаманың дисперсиясының өлшемділігі сол кез-
дейсоқ шаманың өлшемділігінің квадратына тең болғандықтан, 
бірқатар жағдайда 
дисперсияның түбірін
 қолданған ыңғайлы. Бұл 
сипаттаманың өлшемділігі кездейсоқ шаманың өлшемділігіндей 
жəне оны 
орташа квадраттық ауытқу
 
деп 
σ
(
ξ
) арқылы 
белгілейді. Сонымен,
( )
( ).
D
σ ξ
ξ
=
                                 (10.14)
Алдыңғы графиктерге оралып (43-сурет), барлық мəндері 
орта мəннен 2-ге тең қашықтықта орналасқан 4-ші үлестірім 
үшін 
σ
= 2тең екенін айта кетейік. Дисперсия қасиеттерінен 
орташа квадраттық ауытқудың төмендегідей қасиеттері тікелей 
шығады:
σ
(
c
) = 0; 
σ
(
c·ξ
) = |
c
|
σ
(
ξ
).
Үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін математикалық күтілім
( )
( )
,
M
xf x dx
ξ
∞
−∞
=
∫
                            (10.15)
формуласы бойынша, ал дисперсия
2
2
2
( )
(
( ))
( )
( )
( )
D
x M
f x dx
x f x dx M
ξ
ξ
ξ
∞
∞
−∞
−∞
=
−
=
−
∫
∫
    (10.16)
түрінде анықталады.
 Дискретті кездейсоқ шамалар үшін келтірілген талқыламаның 
бəрі үзіліссіз шамалар үшін де өз күшін сақтайды. Кездейсоқ 
шамалардың кейбір аса маңызды үлестірімдерін қарасытырып, 
олардың сандық сипаттамаларын табайық.
§5.
 
Кейбір үлестірім заңдары мен олардың сандық 
сипаттамалары
5.1. Биномиалды үлестірім
Бұл үлестірімге Бернулли схемасы келтіреді: əрбір сынауда 
А 
оқиғасы 
р(А)=р
 ықтималдығымен, ал оған қарама-қарсы 
оқиға 
p
(
Ā
) = 1–
p
=
q
 ықтималдығымен пайда болатын 
n
 тəуелсіз 
біртекті сынау жүргізілсін. Сынауда 
А
 оқиғасы пайда болғанда 
1 мəнін қабылдайтын, ал пайда болмағанда 0 мəнін қабылдайтын 

306
ζ
 кездейсоқ шамасын қарастырайық. (
ζ
-ны 
А оқиғасының 
индикаторы
 дейміз).
M
(
ζ
) =1
·p 
+ 0
·q
; 
D
(
ζ
) = (1 –
p
) 2
·p
= (0 –
p
) 2
·q
=
pq
x
1
0
p
p
q
Енді 
n
 сынауда 
А
 оқиғасының пайда болу санына тең дискретті 
ξ 
кездейсоқ шамасын қарастырайық. 
ξ
-дің мүмкін мəндері 0-ден 
n
-ге дейінгі барлық бүтін сандар болып келеді, ал 
ξ
-дың 
m
 мəнін 
қабылдау ықтималдығы
(
)
m
m
n m
n
p
m
Ñ
p
q
ξ
−
=
=
⋅
⋅
                       (10.17)
Бернулли формуласымен анықталады. Математикалық күтілім мен 
дисперсияны есептеу үшін 
∑
=
−
n
i
i
1
ζ
ξ
 
теңдігін қолданамыз, мұнда 
ζ
i 
тəуелсіз жəне келтірілген кестемен берілген бірдей үлестірімге 
ие болады. 
ζ
k
-ның тəуелсіздігін ескеріп жəне математикалық 
күтілім мен дисперсияның қасиеттерін пайдаланып, соңғыларын
∑
⋅
=
=
∑
=
=
=
n
k
k
n
k
k
p
n
M
M
M
1
1
,
)
(
)
(
)
(
ζ
ζ
ξ
  
∑
∑
⋅
⋅
=
=
=
=
=
n
k
n
k
k
K
q
p
n
D
D
D
1
1
)
(
)
(
)
(
ζ
ζ
ξ
            (10.18)
түрінде табамыз.
5.2.
 
Пуассон үлестірімі
Мүмкін мəндері барлық теріс емес (0, 1, 2, ...,) сандар болып 
келетін дискретті кездейсоқ шама 
Пуассон заңы бойынша 
үлестірілген
 деп аталады. 
ξ 
кездейсоқ шамасының 
т
 мəнін 
қабылдау ықтималдығы
(
)
!
m
P
m
e
m
λ
λ
ξ
−
=
=
                               
(10.19)
Пуассон формуласымен анықталады. Жоғарыда айтылғандай 
бұл заңға Бернулли схемасында шекке көшу (
n
→ ∞, 
пр
=
λ
) 
нəтижесінде қол жеткізіледі. Бұл заңға қарапайым, стационар 

307
(Пуассондық) ағын жөніндегі жəне т.б. есептер келтіреді. 
Мөлшерлеу шартын тексерейік:
(
)
0
0
0
1.
!
!
m
m
m
m
m
p
m
e
e
e
e
m
m
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ξ
∞
∞
∞
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
⋅
=
∑
∑
∑
Мұнда анализде табылған
 
0
!
m
x
m
x
e
m
∞
=
=
∑
 
формуласын қолдандық. 
Осыған ұқсас 
( )
0
0
.
!
!
m
m
m
m
m
M
e
e
m
m
λ
λ
λ
λ
ξ
λ
λ
∞
∞
−
−
=
=
=
=
=
∑
∑
Бұдан Пуассондық үлестіру заңына еніп отырған  
λ 
пара-
метрінің ықтималдықтық мағынасы туындап отыр: 
λ 
параметрі 
кездейсоқ шаманың математикалық күтіліміне тең.
Осыдан сəл күрделілеу есептеу нəтижесінде 
D
(
ξ
) = 
λ
 болатыны 
шығады. Сонымен, осы үлестірімнің математикалық күтілімі 
мен дисперсиясы бірдей, атап айтқанда ол жалғыз параметрмен 
анықталады, онысы бірқатар жағдайда сөзсіз маңызды.
5.3. Нормаль үлестірім
Гаусс үлестірімі
 деп аталатын нормаль үлестірім 
ықтималдықтар теориясы мен оның қолданбаларындағы орны 
ерекше. Практикада жиі кездесетін үлестіру заңы. Белгілі 
шарттардың орындалуында бұл заңға əрқайсысының кез келген 
үлестірімі болатын кездейсоқ шамалардың үлкен тобы бағынады. 
Осылайша биномиалды үлестірімді зерттеуде, Бернулли 
схемасында қарастырылған 
А
 оқиғасының пайда болу санын, 
индикаторлардың қосындысы түрінде кескіндеуге болатынын 
қолдандық. Осыны пайдаланып, 
n
→ ∞  -  да
 
биномиалды үлестірім 
нормаль үлестірімге тез
 
жақындайтынын көрсетуге болады. 
Муавр-Лапластың интегралдық теоремасының маңызы осында 
жатыр.
Ықтималдық тығыздығы 
( )
(
)
2
2
2
1
2
x a
f x
e
σ
σ π
−
−
=
                             
(10.20)
функциясымен
 
кескінделген үзіліссіз кездейсоқ шаманы
 
нормаль 

308
үлестірілген
; ал 
ƒ(x) 
функциясының өзін 
нормаль үлестірімнің 
ықтималдық тығыздығы
 дейді. Екінші бір маңызды
( )
(
)
2
2
2
1
2
x a
x
F x
e
dx
σ
σ π
−
−
−∞
=
∫
функциясы 
нормаль үлестірім функциясы
 деп аталады. 
Ықтималдық тығыздығы мен үлестірім функциясының графиктері 
44-суретінде кескінделген. Ықтималдықтың тығыздығы графигі 
x = a
 түзуіне симметриялы,  максимал мəні 
x = a 
болғанда 
max
1
2
f
σ π
=
-
ге тең. (8.4) мөлшерлеу шарты орындалады.
44-сурет
Нормаль үлестіруді анықтайтын параметрлер (кейде 
N
(
а
,
σ
) 
жазылуы қолданылады)
 
математикалық күтілім 
а
 мен 
σ
 орташа 
квадраттық ауытқу болып
 
табылады.
 
а
 параметрінің өзгеруі
 ƒ(x) 
графигінің 
Oх
 осі бағытында 
параллель көшуіне келтіреді. 
σ
 параметрінің осы графикке қалай 
əсер ететінін анықтау үшін, 
σ
-ның кемуінде 
f
max
-ның өсетінін 
байқаймыз. 
Сонымен, 
а
 шамасының өзгеруi нормаль қисығын өзгертпейдi, 
тек оның  
Ох
 осi бойымен ығысуына əсер етедi. Егер 
а
 шамасы 
өссе, онда қисық оңға ығысады, ал егер 
а 
шамасы кемiсе, солға 
қарай ығысады. 
σ 
орташа квадраттық ауытқуы өскен сайын 
нормаль қисығының ординатасы кемидi, ал қисықтың өзi 
Ох
 
осiне сығылады, 
σ 
кеміген сайын нормаль қисығы 
Оу
 осiнің оң 
бағытына параллель
 
бағытта созылады. Ықтималдық тығыздығы 
графигi мен 
Ох 
осi шектейтiн фигура ауданы 1-ге тең, олай болса 
σ
 азайғанда, гаусс қисығы 
х=а
 түзуiнен алшақтағанда, 
Ох
 осiне 

309
жылдам жақындап, ал 
х=а
 мəнiне жақындағанда күрт өседi. Орта 
мəнi нөлге тең жəне 1-ге тең орташа квадраттық ауытқуына ие 
болатын 
ξ ~ N
(0, 1) шамасын 
стандартты нормаль шама
 дейдi. 
Оның ықтималдық тығыздығы мен үлестiрiм функциясы
( )
2
2
2
2
1
1
;
( )
2
2
x
t
x
f x
e
F x
e dt
ξ
π
π
−
−
−∞
=
=
∫
формулаларымен берiледi.
 Үлестiру функциясының интегралы элементар функциялар 
арқылы өрнектеле алмайды, алайда оның маңыздылығын ескере 
отырып,  оған арналып кестелер құрылған. Кестелердi қолданарда 
мұқият болған жөн, өйткенi көбiнесе 
F
(
х
)
 
арқылы, төменгі шегі
не –
х
-ке немесе 0-ге тең интеграл белгiленедi (жəне сондай функция 
үшiн кестелер жасалады), атап айтқанда 
Ф
(
х
) функциясымен 
шатастырады. 
f
(
х
) функциясының 0-ге қатысты симметриялы 
болатындықтан 
F
(
х
) пен 
Ф
(
х
)
-
тiң мəндерiн тек оң 
х
-тер үшiн берсе 
де жеткiлiкi. Үш функцияның үшеуi де олардың кез келген бiреуi 
арқылы қалған екеуiнің мəндерiн табуға болатындай қарапайым 
қатынастармен байланысқан. Анализдегі белгiлi 
( )
( )
( )
b
c
b
à
a
c
f t dt
f t dt
f t dt
=
+
∫
∫
∫
қатынасы арқылы жəне 
f
(
х
)
-
тiң 0-ге қатысты симметриялы 
болуынан
}
{
2
2
2
2
0
1
2
2 ( );
2
2
t
t
x
x
x
P
x
x
e dt
x dt
x
ξ
Φ
π
π
−
−
−
− < <
=
=
=
∫
∫
Ф
(
∞
)
=
0,5; 
 Ф
(
–х
)
=-Ф
(
х
)
;  Ф
(
–∞
)
=
-0,5
;  F
(
∞
)
=
1;
  F
(
–∞
)
=
0;
}
{
2
0
2
0
1
0,5
( );
2
t
x
x
P
x
e dt
x
ξ
Φ
π
−
−∞
−∞
<
=
= + =
+
∫
∫ ∫
}
{
2
2
1
0,5
( ).
2
t
x
x
P
x
e dt
x
ξ
Φ
π
∞
∞
−
−∞
∞
<
=
= − =
+
∫
∫ ∫
ξ ~ N
(0, 1)
, η ~ N
(
а, σ
)
 
шамаларының қандайын алсақ та, кез 
келген интервалға түсу ықтималдығы 
Ф(х)
 арқылы өрнектелуi 

310
мүмкiн, атап айтқанда кестелер көмегiмен есептелуiне болады. 
Соны көрсетейiк:
)
(
2
2
1
2
t
B
A
P A
B
e dt
ξ
π
−
≤ ≤
=
=
∫
Ф
(
B
)
 – Ф
(
A
);
)
( )
2
2
2
2
2
1
1
(
2
2
B a
t a
y
B
A a
A
P A
B
e
dt
e
dy
σ
σ
σ
η
σ π
π
−
−
−
−
−
≤ ≤
=
=
=
∫
∫
.
B a
A a
Φ
Φ
σ
σ
−
−




=
−








(Мұнда 
,
t a
dt
y dy
σ
σ
−
=
=
 түрiнде айнымалыларды ауыстыр-
дық). Табылған қатынасты пайдаланып, үш 
σ 
ережесi деп аталған 
ереженi шығарып алайық. Ол үшiн есептеулер арқасында 
(
3 )
(
3
3 )
p
a
p a
a
ξ
σ
σ ξ
σ
− ≤
=
−
≤ ≤ +
=
3
3
a
a
a
a
σ
σ
σ
σ
+
−
−
−




= Φ
− Φ
=








(3)
( 3)
2 (3)
2 0, 49865
0,9973.
= Φ
− Φ − = Φ
= ⋅
=
мəнін табамыз. Демек нормаль үлестірілген шаманың қабыл-
дайтын мəні оның орта мəнінен модуль бойынша өзгешелігі 3σ-дан 
артпайтыны іс жүзінде шындыққа жақын, басқаша айтқанда, 
осы интервалдан тыс жатқан мəнді қабылдауы практика жүзінде 
мүмкін емес. Осы жайт түрлі қолданбаларда кең қолданыс табады.
Осыған ұқсас |
ξ – a
| ≤ 
σ
, |
ξ – a
| ≤ 2
σ
 интервалдарына түсу ықти-
малдықтарын табамыз.
p
(|
ξ – a
| ≤ 
σ)=
2
Ф
(1) = 0,6826, 
p
(|
ξ – a
| ≤ 2
σ)=
=
2
Ф
(2) = 0,9544.
Мысал
. Құмшекерді қаптау жүйелі түрде айтарлықтай қатесіз 
жүргізіледі. Кездейсоқ қателердің орташа квадраттық ауытқуы 
σ
 = 200 г болатын нормаль заңға бағынады. Қаптау абсолюттік 
шамасы бойынша 100 граммнан артпайтын қателікпен жүр-
гізілуінің ықтималдығын табыңыз.

311
Шешімі.
 
Есепте өлшеу қателігін кескіндейтін 
ξ – a
 кездейсоқ 
шамасы қарастырылады, мұндағы 
ξ
 - қант қабы салмағының 
кездейсоқ мəні, 
a
 - математикалық күтілім болып келген қант 
қабы салмағының нормативті мəні. 
p
(|
ξ – a
|<100) ықтималдығын 
есептеу талап етіледі.
p
(|
ξ – a
| < 100) = 
p
(
a–
100 <
ξ
100) =
100
100
100
2
2
(0,5)
0,383.
200
a
a
a
a
Φ
Φ
Φ
Φ
σ
σ
+
−
−
−






=
−
= ⋅
= ⋅
=












Мұнда алдыңғы формула қолданылып, 
a
= 0, σ = 200 мəндері, 
одан соң Ф(
х
) функциясының кестесі бойынша 
Ф
(0,5) = 0,1915 
мəні алынған.
Нормаль үлестірімнің тағы бір маңызды қасиеті оның 
өндірілетіндігінде, атап айтқанда нормаль шамалардың қосын-
дысы мен айырымы да нормаль шама.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: