Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

312
1
lim
1
=










≤
−
∑
=
∞
−
ε
ξ
a
n
p
n
i
i
n
,  мұнда  
M
(
ξ
i
)=
a
.          (10.22)
Бұл жағдайда кездейсоқ шамалардың арифметикалық орта 
мəні ықтималдығы бойынша қосылғыштардың математикалық 
күтімдерінің арифметикалық орта мəніне жинақталады дейді.
Мысал
.
 Əдетте кейбір шаманың сандық мəнін анықтағанда 
бірнеше өлшеу жүргізіліп, ізделінді мəн ретінде олардың 
арифметикалық орта мəні алынады. Шынында, əрбір өлшеудің 
нəтижесін 
ξ
1
, ..., 
ξ
n
 
кездейсоқ шамалар ретінде қарастыруға 
болады. Егер өлшеу нəтижелері тəуелсіз болып, олардың 
математикалық күтімдері бірдей, ал олардың дисперсиялары 
бірден-бір тұрақтымен шектелген болса (əдетте практика 
оны растайды), онда Чебышев теоремасына сəйкес 
∑
=
n
i
i
n
1
1
ξ
 
арифметикалық орта мəні ықтималдық бойынша өлшенетін 
шаманың
 
∑
=
n
i
i
n
1
1
ξ
 
түріндегі дəл мəніне жинақталады.
6.3. Бернули теоремасы
 (Чебышев теоремасының салдары). 
Бұл теорема оқиғаның 
υ
(
A
) салыстырмалы жиілігі мен оның 
p
(
A
) ықтималдығы арасындағы байланысты тағайындайды.
n
 тəуелсіз, біртекті сынау жүргізіліп, олардың əрқайсысында 
А
 оқиғасы 
p
(
A
) ықтималдығымен орындалатын болсын (Бернули 
схемасы). Қарастыруға сынау индикаторлары болып келетін
ξ
1
, ..., 
ξ
n
 кездейсоқ шамаларын енгізейік. 
ξ
i
 - екі мəнді ғана – 
і-
сынауда 
А
 оқиғасы пайда болуында 1-ге тең мəнді жəне қарама-
қарсы жағдайда 0-ге тең мəнді қабылдайтынын еске сала кетейік. 
Сəл ертерек 
M
(
ξ
i
) =
p
 жəне 
D
(
ξ
i
) =
pq
 болатыны анықталған. 
Кездейсоқ {
ξ
i
} шамалар тізбегі Чебышев теоремасы шартын 
қанағаттандырады, сондықтан 
1
...
lim
1
n
n
p
p
n
ξ
ξ
ε
→∞


+ +
− ≤
=




.
Соңында 
1
n
i
i
ξ
=
∑
 қосындысы 
n
 сынауда 
А
 оқиғасының пайда болу 
санына тең екенін, олай болса 
∑
=
n
i
i
n
1
1
ξ
 қосындысы жоғарыда 
υ
(
A
) 

313
түрінде белгіленген салыстырмалы жиілік болып табылатынын 
айту ғана қалады.
Сонымен, сынау санының шектеусіз өсуінде 
А
 оқиғасының 
υ
(
A
) салыстырмалы жиілігі, ықтималдығы бойынша оның бір 
сынауда пайда болуының 
p
(
A
) ықтималдығына жинақталады. 
Осы тұжырым 
Бернули теоремасының
 
өзі болып табылады.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: