Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

286
болады. (9.19), (9.20)   
λ
 = 
пр
  жəне теру санының формуласын 
ескеріп, түрлендірулер жүргізсек 
=
−
=
=
−
−
k
n
k
k
n
k
k
n
n
q
p
k
n
k
n
q
p
C
k
p
)!
(
!
!
)
(
=
⋅
+
−
−
⋅
−
=
−
k
n
k
q
p
k
k
n
n
n
n
!
)
1
)...(
2
(
)
1
(
1
1
2
1
1
(
) (
)...(
)
!
n
k
k
k
n n
n
n
k
n
n
k
n
λ
λ
λ


−




− ⋅
−
− +
=
⋅
⋅
=


−




     
(9.21)
1
1
2
1
1
...
!
n
k
k
n
n n
n
n
k
n
n
n
n
k
n
λ
λ
λ
λ
λ






−








−
−
− +
= ⋅
⋅
⋅
×
=


−




1
1
2
1
1 1
1
1
1
...
!
n
k
k
n
k
n
n
n
k
n
λ
λ
λ
λ
λ






−








−

 



=
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
⋅

 




 





−




 
теңдіктеріне келеміз.
(9.21) қатынасының оң жағындығы алғашқы 
k
 көбейткі-
шінің 
∞
→
n
 дағы көбейтіндісінің шегі 1-ге тең, 
!
k
k
λ
 өрнегі 
n
-ге 
тəуелсіз, ал соңғы бөлшекті түрлендіргеннен 
1
1
lim
lim
n
n
n
n
e
n
n
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
→∞
→∞








−
=
−
=












, 
сонымен бірге 

287
1
1
lim
=





 −
∞
→
k
n
n
λ
 
болатыны ескерілсе,
 
,
!
)
(
lim
λ
λ
−
∞
→
=
e
k
k
p
k
n
n
 
демек (9.19) формуласы келіп шығатындығына көз жеткіземіз. 
Бұл формула 
k 
= 0, 1, 2,... мəндерін
 
λ
λ
−
e
k
k
!
 
ықтималдықтарымен 
қабылдайтын 
λ
 параметрлі 
пуассон шамасы
 үшін 
ықти-
малдықтардың үлестірімін
 
береді. Бұл үлестірімнің өзіндік 
мағынасы бар жəне төменде оған ораламыз. 
А
-ның 
m
 реттен аспайтындай пайда болу оқиғасының 
ықтималдығы
∑
=
−
⋅
≈
≤
m
k
k
k
e
m
k
p
0
!
)
(
λ
λ
                           
(9.22)
формуласы бойынша есептелетіні айқын. 
Мысал.
 Құрылыс материалдарын тасымалдауда бұйымның 
2,5%  зақым келетіні белгілі. 200 бұйым арасында 
а) дəл 4 бұйымға; б) саны 6-дан аспайтын бұйымға зақым келу 
ықтималдығы қандай? 
Шешімі
: Бұйымға зақым келу ықтималдығы 
p = 
0.025
 
өте 
кіші сан болып, ал 
n
 саны үлкен (
n = 
200
)
 жəне 
λ
 = 
пр
 = 5 < 10 
болғандықтан, 2 кестесін пайдалана отырып, Пуасонның (9.18)
 
жəне
 
(9.21) формулаларын қолдануымызға болады. Сонда 
;
1755
,
0
!
4
5
!
)
4
(
5
4
200
=
=
≈
−
−
e
e
k
P
k
λ
λ
.
7622
,
0
!
5
!
)
6
(
6
0
5
0
200
=
∑
=
∑
≈
≤
=
−
=
−
k
k
m
k
k
k
e
k
e
k
P
λ
λ
12.2.
 
Муавр-Лапластың локальді жəне интегралды 
формулалары
Жеткілікті үлкен 
n
 жəне аса кіші болмайтын 
p
 жəне
 q 
үшін 
Пуассон формуласы əжептəуір қателік байқатады жəне мұндайда 
Бернулли формуласынан шекке көшу жəне 
n
!-ді есептегенде 

288
Стирлингтің формуласын қолдану арқылы 
Муавр-Лаплас 
формуласы
 деп аталатын
1
( )
( ),
n
p k
x
npq
ϕ
≈
⋅
мұндағы  
 
nqp
np
k
x
e
x
x
−
=
⋅
=
−
,
2
1
)
(
2
2
π
ϕ
   
(9.23)
түріндегі тағы бір жуықтауды пайдалануға болады. Осы 
формуладағы 
)
(
x
ϕ
 функция мəндері 3-кестеге тізілген (кесте – 
оқу материалының соңында), айта кету керек - 
)
(
x
ϕ
 функциясы 
жұп болғандықтан, 
))
(
)
(
(
x
x
ϕ
ϕ
=
−
 оның мəндерінің кестесі 
0
≥
x
 үшін ғана құрылған. Алдыңғы тармақтағыдай саны 
n
 
рет қайталанатын жəне əрқайсысында 
А
 оқиғасының пайда 
болу ықтималдығы тұрақты 
р-
ға тең сынау жүргізілсін. Осы 
n
 
тəуелсіз сынауда 
А
 оқиғасының 
1
k
-ден кем емес жəне 
2
k
-ден 
артпайтындай орындалатындығының ықтималдығы болып 
келетін 
)
(
2
1
k
k
k
p
n
≤
≤
 санын қалай есептейміз? Қызықтыратын 
ықтималдық (9.18)
 
формуласынан шекке көшу арқасында 
1
2
(
)
n
p k
k
k
≤ ≤
=
 
Ф
(
x
2
) – 
Ф
(
x
1
)                 (9.24)
түріндегі 
Муавр-Лапластың формуласы
 деп аталатын формулаға 
айналған қатынастан табылады. 
Мұндағы
 
1
2
1
2
;
;
k
np
k
np
x
x
nqp
nqp
−
−
=
=
   
Ф
(
x
)
2
2
0
1
2
,
t
x
e dt
π
−
=
∫
ал айырым анықталған интегралға айналады.
 
)
(
x
ϕ
-тің интегралы болып келетін 
Ф
(
x
)-ті 
Лаплас функциясы
 
дейді. Бұл интеграл элементар функциялары арқылы өрнектеле 
алмайды. 
Ф(x) 
Лаплас функциясы 
Ф
(
-x
)
 = - Ф
(
x
)
 
болғандықтан, 
тақ функция жəне өзінің 0,5-ке тең асимптоталық мəніне шапшаң 
жақындайды, сондықтан оның мəндер кестесі (2-кесте) 
5
0
<
≤
x
 
мəндері үшін жасалған. Аргументтің үлкен мəндері үшін үлкен 
дəлдікпен 0,5 деп алуға болады.
Мысал.
 Мейрамханаға кірген мейманның тапсырыс беру 
ықтималдығы 0,8-ге тең. Келген 100 мейманның ең болмағанда 
75-і тапсырыс беретіндігінің ықтималдығын табу керек.

289
Шешімі.
 
n=
100 үлкен шама, ал 
р = 
0,8
 
жəне 
q = 
0,2
 
аса кіші 
болмайтындықтан, Муавр-Лапластың локальді жəне одан соң 
интегралды формулаларын қолданамыз.
≥
=
≤ ≤
≈
100
100
(
75)
(75
100)
P
k
P
k
 
Ф
(
x
2
) – 
Ф
(
x
1
) =
=
Ф
 


−
⋅
−


⋅
⋅


100 100 0,8
100 0,8 0,2
Ô
 
Ф 
−
⋅


=




⋅
⋅
75 100 0.8
100 0.8 0.2
= 
Ф
(5) – 
Ф
(–1.2) = 
Ф
(5) + 
Ф
(1.2) = 0,5 + 0,385 = 0,885.
Мысал
. 
n
 сынаудың əрқайсысында оң нəтиженің пайда болу 
ықтималдығы - 0,8. Қанша сынақ өткізгенде 0,9 ықтималдығы бар 
сеніммен оның кем дегенде 75-і оң нəтижеге қол жеткізетіндігін 
күтуге болады.
Шешімі
.
 Шарт бойынша 
p 
= 0,8, 
q 
= 0,2, 
k
1
=75
, k
2
=n
; 
P
n
(75; 
n
) = 0.9.
 Лапластың интегралдық теоремасын колданамыз.
(
)
( )
Φ
Φ
Φ
Φ




−
−
=
−
=
−












//
/
2
1
1
2
;
(
)
n
k
np
k
np
P k k
x
x
npq
npq
формуласына есептің шартындағы мəндерді қойғаннан
0.9
Φ
Φ




−
−
=
−




⋅
⋅
⋅
⋅




0,8
75 0,8
9
0,8 0,2
0,8 0,2
n
n
n
n
n
немесе
0.9 
Φ
Φ




−
=
−








75 0,8
9
2
0,4
n
n
n
теңдеуіне келеміз. Сынау саны 
n 
≥ 75 болғандықтан, 


≥
≈




75
4.33
2
2
n
. Лаплас функциясы өспелі жəне 
Ф
(4)
5
.
0
≅
 
болғандықтан 
Ф
5
.
0
2
=






n
 деп ұйғаруымызға болады.
Демек  
Бұдан 
Φ


−
=
− 



75 0,8
0.9
0,5
.
0,4
n
n

290
Φ


−
= −




75 0,8
0.4
0,4
n
n
                                   
 (*)
2-кесте бойынша 
Ф
(1,28) = -0.4 болатынын табамыз. Осыдан 
жəне (*)-дан, Лаплас функциясының тақ екенін ескеріп 
−
= −
75 0,8
1,28
0,4
n
n
теңдеуін аламыз. Осы теңдеуді, мəселен, 
t
n
=
 айнымалысын 
енгізу арқылы квадрат теңдеуге айналдырып шешу нəтижесінде 
=
=
10
t
n
, ал одан ізделінді сынау санын 
n
 = 100 түрінде 
табамыз. 
12.3. Пуассон үлестірімі
k
 мəнін
 
λ
λ
−
≈
e
k
k
p
k
n
!
)
(
; мұнда 
(
)
0
>
λ
 ықтималдығымен
 
қабылдайтын кездейсоқ  ξ  шамасын, атап айтқанда  ξ  кездейсоқ 
шамасы 0, 1, 2, ..., 
n
, ... мəндерін қабылдасa жəне бұл мəндердің 
қабылдау ықтималдығы жоғарыдағыдай 
λ
λ
−
≈
e
k
k
p
k
n
!
)
(
  болса,
онда ξ-ді 
Пуассон заңы бойынша үлестірілген
 
деп атайды. 
Пуассонның үлестіру заңын кейде сирек оқиғалар заңы дейді (бұл 
үлестірім 
p-
ның кіші мəнінде Бернулли нұсқасына (схемасына) 
сəйкес екенін еске сала кетейік). 
Мысал
.
 Ағаш өңдеу орны сауда орталығына 5000 дайын бұ-
йым жөнелтті. Тасымалдауда бұйымға зақым келу ықтималдығы 
0,0002 болса, орталыққа 3 жарамсыз бұйым келуінің ықтималдығы 
қандай болмақ? 
 Шешуі
.
 Есептің шарты бойынша 
n 
= 5000, 
k 
= 3. Сонда
λ
 = 
пр
1
0002
,
0
5000
=
⋅
=
. Ізделінді ықтималдық Пуассон форму-
ласы бойынша 
( )
1
5000
1
3
0,06.
!
3!
6
k
e
e
P
k
e
λ
λ
−
−
⋅
=
=
=
≈
Мысал
.
 Баспадан шыққан оқулық таралымы - 100000 дана. 
Оқулық беттерінің дұрыстап терілмеуінің ықтималдығы - 

291
0,0001. Таралым ішінде тура 5 кітаптың жарамсыз болуының 
ықтималдығы қандай?
Шешімі.
 Шарт бойынша 
n
 = 100000, 
p
 = 0,0001, 
k
 = 5. 
Кітаптардың дұрыс терілмеуі оқиғалары тəуелсіз, 
n
 саны үлкен,
ал 
p
 ықтималдығы өте кіші болғандықтан,
 
λ
λ
−
≈
e
k
k
p
k
n
!
)
(
 
Пуассон үлестірімін қолданамыз. 
λ
  мəнін табайық: 
λ
 = 
np =
=100000·0,0001=10. Ізделінді ықтималдық 
5
10
5
100000
10
10 0,000045
(5)
0,0375.
5!
120
e
P
−
⋅
⋅
=
=
=
Мысал.
 Автоматты телефон станциясына (АТС) сағатына 
орта есеппен 300 қонырау шалынады. Кез келген бір минутта 
станцияға дəл 2 қоңырау қабылданатындығының ықтималдығы 
қандай?
Шешімі
. АТС минутына орта есеппен 300/60=5 шақыру 
қабылдайды, демек 
λ
 = 5. Сондықтан 
5
2
5
(2)
5 / 2! 25 / 2
0,09.
P
e
e
−
=
⋅
=
≈
12.4. Қарапайым оқиғалар ағыны
9.3-анықтама
. Кездейсоқ уақыт аралығында пайда болатын 
оқиғалар тізбегін 
оқиғалар ағыны
 дейміз.
Оның мысалдарына:
1) АТС-қа түсетін қоңыраулар; 
2) əуежайға келіп қонатын ұшақтар; 
3) жедел жəрдем станциясына келіп түсетін шақырулар т.с.с 
жатады.
Оқиғалар ағымы төмендегідей қасиеттермен сипатталады: 
1) тұрақтылық; 2) жалғасудын жоқтығы; 3) қарапайымдылық.
 Тұрақтылық қасиетті
 былайша түсінеміз: саны 
k
 болатын 
оқиғалардың кез келген уақыт аралығындағы орындалу 
ықтималдығы 
k
 саны мен 
t
 уақыт аралығының ұзақтығына ғана 
тəуелді болады, яғни əрбір бірдей уақыт аралығындағы түсетін 
шақырулар (қоңыраулар) санының ықтималдықтары өзара тең 
болады. 

292
Мысал.
 Ұзақтығы 
t
 = 6 уақыт бірлігіне тең болатын (1; 7), 
(10;16), (21;27) т.с.с. аралықтарда саны - 
k
 оқиғалардың пайда 
болуы ықтималдықтары өзара тең болады. Яғни, тұрақтылық 
қасиетіне ие болатын ағында, ұзақтығы 
t
 уақыт аралығында 
k
 
оқиғасының пайда болу ықтималдығы 
k
 мен 
t
-ға тəуелді функция 
болады: 
p = p 
(
k, t
).
Жалғасудың жоқтығы
 касиетін төмендегідей түсінеміз: 
k
 оқиғаларының ықтималдықтары алдында өткен уақыттағы 
оқиғалардың пайда болу-болмауына тəуелсіз.
Қарапайымдылық қасиетті
 былайша түсінеміз: аз уақыт 
аралығында бір-ақ оқиға немесе, ең көп дегенде, бір ғана оқиға 
орындалса, оны қарапайымдылық қасиеті бар оқиға дейміз.
Осындай қасиеттері бар ағынды 
қарапайым
 немесе 
Пуассондық оқиғалар ағыны 
дейміз.
Ағынның қарқыны
 деп бірлік уақыт аралығында пайда 
болатын оқиғалардың орташа саны - 
λ
-ны атаймыз. Егер ағынның 
қарқыны белгілі болса, онда 
t
 уақыт аралығындағы  қарапайым 
k
 оқиғаларының пайда болу ықтималдығын
 
!
)
(
)
(
k
e
t
k
P
t
k
t
λ
λ
−
=
түріндегі Пуассон формуласымен есептеуге болады. Бұл формула 
үшін, қарапайым ағынның жоғарыда сөз етілген қасиеттерінің 
үшеуі де орындалады. Расында:
1. Берілген λ қарқыны бойынша P
t 
(k) ықтималдығы тек 
t мен k-ға тəуелді болатыны формуладан көрініп тұр - бұл 
тұрақтылық қасиетінің орындалу белгісі.
2. Формулада t-ға дейнгі уақыт аралығында пайда болған 
оқиға туралы шартты ықтималдықтан хабар жоқ, олай болса 
жалғасудың жоқтығы қасиеті де орындалып отыр.
3. Енді  қарапайымдылық  қасиетінің  орындалатындығын 
көрсетейік. Формулаға 
k
 = 0, 
k
 = 1 мəндерін қойсақ, оқиғаның 
орындалмайтындығының жəне бір рет орындалатындығының 
ықтималдығын табамыз:
0
1
(
)
(
)
(0)
,
(1)
.
0!
1!
t
t
t
t
t
t
t e
t e
P
e
P
te
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
=
=
 
Оқиғаның 1-реттен арта пайда болуының ықтималдығы 
былайша есептеледі:
[
]
(
1) 1
(0)
(1)
1 (
).
t
t
t
t
t
P k
P
P
e
te
λ
λ
λ
−
−
> = −
+
= −
+

293
Ал 
2
3
(
)
(
)
1
...
2!
3!
t
t
t
e
t
λ
λ
λ
λ
−
= −
+
−
+
болғандықтан, 
2
3
(
)
(
)
(
1)
...
2
3
t
t
t
P k
λ
λ
> =
−
+
Енді 
P
t
(1) мен 
P
t
(
k
 > 1) ықтималдықтарын салыстырсақ, 
t-
ның кіші мəнінде 
P
t
(
k
 > 1) ықтималдылығының мəні жоқ десе 
де болғандай. Сонымен, Пуассоннын формуласы қарапайым 
оқиғалар ағынының математикалық моделі болып саналады.
Мысал.
 АТС-қа 1 минутта түсетін қоныраулардың орташа 
саны 2-ге тең болса, 5 минутта шалынатын қоңырау саны:
а) екіге тең (
k
=2);
б) екіден кем (
k
<2);
в) екеуден кем емес 
)
2
(
≥
k
 болатындығының ықтималдығын 
табу керек (шалынған қоңыраулар қарапайым деп есептелсін).
Шешімі.
   
Есептің  шарты  бойынша  
λ
 = 2, 
t 
= 5, 
k
 = 2. 
!
)
(
)
(
k
e
t
k
P
t
k
t
λ
λ
−
=
 формуласы бойынша 
)
2
(
5
P
-ні есептейік:
2
10
5
(2 5)
100 0,000045
(2)
0,00225.
2!
2
e
P
−
⋅
⋅
=
=
=
Бұл оқиға орындалмайды десе де болады.
б)  
0
5
5
5
(
)
(
2)
(0)
(1)
0!
1!
t
t
t
e
t e
P k
P
P
λ
λ
λ
λ
−
−
⋅
⋅
<
=
+
=
+
=
 
2 5
10
2 5
10
2 5
10
0,000495.
1!
1!
e
e
e
e
− ⋅
−
− ⋅
−
⋅
=
+
=
+
=
в) «Қоңырау шалу саны екіден кем» оқиғасы мен 
«қоңырау шалу саны екіден кем емес» оқиғасы қарама-қарсы 
оқиғалар болғандықтан, 5 минутта екеуден кем емес қонырау 
болатындығының ықтималдығы 
5
5
(
2) 1
(
2) 1 0,000495
0,999505.
P k
P k
≥
= −
<
= −
=
Бұл нəтиже оқиғаның ақиқаттығын көрсетеді.

294
Х тарау.
  
КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: