§3. Екінші текті беттік интеграл
3.1.
Негізгі ұғымдар
Екінші текті беттік интеграл екінші текті қисықсызықты
интегралға ұқсас салынады. Екі жақты бет берілсін (ондай
бетке жазықтық, эллипсоид жəне
Оху, Оуz, Оуz
координаталық
жазықтығының кейбір
D
облысында
)
,
(
),
,
(
),
,
(
/
/
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
функциялары үзіліссіз болатындай
)
,
(
y
x
f
z
=
теңдеулі
кез келген бет жатады). Мұндай бетті шекарасынан өтпей
айналғанда оның нормалінің бағыты өзгермейді. Біржақты
бет мысалына, төмендегідей,
ABCD
тіктөртбұрышының
AB
жəне
CD
қабырғаларын,
A
мен
C
жəне
B
мен
D
беттесетіндей
желімдегеннен шығатын (34-сурет) бетті жатқызуға болады.
Мұндай бетті
Мебиус жапырағы
дейді.
232
33-сурет 34-сурет
Əрі қарай
Oxyz
кеңістігінде қарастырылатын екіжақты
S
бетінің нүктелерінде үзіліссіз ƒ(
x,y,z
) функциясы анықтал-
ған болсын. Беттің алынған жағын (мұндайда бет
ориен-
тир ленген
делінеді)
S
i
(
i
= 1,2,….,
n
) бөліктеріне бөлшектеп,
оларды координаталық жазықтықтарға проекциялаймыз. Мұның
өзінде беттің алынған жағындағы
п
нормалі
Oz
осімен сүйір
бұрыш жасағанда (cos
g
i
> 0 болғанда) D
s
i
проекция ауданын
«плюс» таңбасымен, ал беттің екінші жағы үшін (немесе
cos
g
i
< 0 болуында)
«минус» таңбасымен аламыз.
Осы жағдайда интегралдық қосынды
∑
∆
⋅
=
n
i
i
i
i
i
z
y
x
f
1
)
,
,
(
σ
(7.7)
түрінде жазылады. Мұндағы
Oxy
i
i
S
)
(
=
∆
σ
-
xOy
жазықтығына
түскен
S
i
бөлігі проекциясының ауданы. (7.7) интегралдық
қосындысының
0
max
1
→
=
≤
≤
i
n
i
d
λ
шартында шегі бар болып жəне ол
шек не
S
бетінің
S
i
(
i
=1,2,….,
n
) бөліктеріне бөлшектену тəсіліне,
не
i
i
S
M
∈
нүктелерінің алынуына тəуелсіз болса, онда аталған
шекті
х
жəне
у
айнымалылары бойынша беттің көрсетілген
жағына сəйкес ƒ(
x,y,z
) функциясынан алынған
екінші текті
беттік интеграл
дейді де
( , , )
S
f x y z dxdy
∫∫
арқылы белгілейді. Сонымен, анықтама бойынша
0
1
( , , )
lim
( ,
, )
.
n
i
i
i
i
i
S
ï
f x y z dxdy
f x y z
λ
σ
→
=
→∞
=
⋅ ∆
∑
∫∫
233
Айтқанға ұқсас
z
жəне
у,
сол сияқты
z
жəне
х
айнымалылары
бойынша ƒ(
x,y,z
) функциясынан алынған
екінші текті беттік
интегралдар
анықталады:
0
1
( , , )
lim
( ,
, ) ( )
.
n
i
i
i
i Oyz
i
S
ï
f x y z dydz
f x y z
S
λ
→
=
→∞
=
⋅
∑
∫∫
0
1
( , , )
lim
( ,
, ) ( )
.
n
i
i
i
i Oxz
i
S
ï
f x y z dxdz
f x y z
S
λ
→
=
→∞
=
⋅
∑
∫∫
Екінші текті беттік интегралдың жалпы түрі
( , , )
( , , )
( , , )
S
Ð x y z dydz Q x y z dxdz
R x y z dxdy
+
+
=
∫∫
( , , )
( , , )
( , , )
,
S
S
S
Ð x y z dydz
Q x y z dxdz
R x y z dxdy
=
+
+
∫∫
∫∫
∫∫
Мұндағы,
P, Q, R –
екіжақты
S
бетінің нүктелерінде
анықталған үзіліссіз функциялар. Айта кету керек, егер
S -
тұйық
бет болса, онда сыртқы жағы бойынша алынған беттік интеграл
S
+
∫∫
арқылы, ал ішкі жағы бойынша алынған беттік интеграл
S
−
∫∫
түрінде белгіленеді.
Екінші текті беттік интегралдың анықтамасынан оның
төмендегідей қасиеттері болатыны туындайды.
1. Екінші текті беттік интеграл беттің алынған жағы өзгеруіне
сəйкес таңбасын өзгертеді;
2. Тұрақты көбейткішті беттік интеграл белгісінің сыртына
шығаруға болады;
3. Функциялар қосындысынан алынған беттік интеграл сəйкес
қосылғыштардан алынған интегралдардың қосындысына тең;
4. Егер
S
беті
2
1
S
S
S
∪
=
болатындай ортақ шекаралы
2
1
,
S
S
бөліктеріне бөлінсе, онда тұтас
S
беті бойынша алынған екінші
текті беттік интеграл оның
2
1
,
S
S
бөліктері бойынша алынған
интегралдардың қосындысына тең (аддитивтік қасиет).
5. Егер
3
2
1
,
,
S
S
S
цилиндрлік беттерінің жасаушылары
сəйкесінше
Оz, Ох
,
Оу
осьтеріне параллель болса, онда
1
2
3
( , , )
( , , )
( , , )
0.
S
S
S
R x y z dxdy
P x y z dydz
Q x y z dxdz
=
=
=
∫∫
∫∫
∫∫
234
3.2.
Екінші текті беттік интегралды
екі еселі интегралға келтіру
)
,
,
(
z
y
x
R
функциясы
)
,
(
y
x
z
z
=
тендеуімен берілген
S
бетінің
барлық нүктелерінде үзіліссіз болсын, мұнда
)
,
(
y
x
z
-
S
бетінің
xOy
жазықтығына түскен проекциясы болып келетін
D
(немесе
D
ху
) облысында үзіліссіз функция.
х
жəне
у
айнымалылары бойынша алынған екінші текті беттік
интеграл
( , , )
( , , ( , ))
S
D
R x y z dxdy
R x y z x y dxdy
=
∫∫
∫∫
(7.8)
формуласы бойынша екі еселі интеграл арқылы өрнектеледі.
Беттің екінші (төменгі) жағы алынуында, шыққан екі еселі
интегралды «минус» таңбасымен аламыз. Жалпы екі жағдайды
( , , )
( , , ( , ))
S
D
R x y z dxdy
R x y z x y dxdy
= ±
∫∫
∫∫
(7.9)
түрінде біріктіреді. Осыған ұқсас
( , , )
( , ( , ), )
xz
S
D
Q x y z dxdz
Q x y x z z dxdz
= ±
∫∫
∫∫
(7.10)
( , , )
)
( ( , ), , )
,
yz
S
D
P x y z dydz
P x y z y z dydz
= ±
∫∫
∫∫
(7.11)
мұнда
D
xz
жəне
D
yz
-
S
бетінің сəйкес
xOz
жəне
zOy
жазықтықта -
рына түскен проекциялары (олар тұйық облыстар). (7.10)
формуласында бет
y = y
(
x, z
) тендеуімен, ал (7.11) формуласында
бет
x = x
(
y, z
) тендеуімен берілген. Интеграл алдындағы таңбалар
S
бетінің ориентациясына байланысты алынады (мəселен, (7.10)
формуласында «плюс» таңбасы бет нормалі
Oz
осімен сүйір
бұрыш жасағанда, ал «минус» таңбасы – доғал бұрыш жасағанда
қойылады. Жалпы нұсқалы екінші текті беттік интегралды
есептеу үшін
S
бетін координаталық жазықтықтардың үшеуіне де
проекциялап, (7.9) - (7.11) формулаларын қолданады. Мұндайда
( , , )
( , , )
( , , )
S
D
Ð x y z dydz Q x y z dxdz
R x y z dxdy
+
+
= ±
∫∫
( )
( )
(
,
, , )
( ,
,
, )
( , , ( , ))
).
yz
xz
xy
D
D
D
Ð x y z y z dydz
Q x y x z z dxdz
R x y z x y dxdy
±
±
±
∫∫
∫∫
∫∫
235
Ескерту.
cos
,
cos
,
cos
dxdy
ds
dxdz
ds
dydz
ds
γ
β
α
=
⋅
=
⋅
=
⋅
теңдік тері -
нің əділдігіне көз жеткізу қиын емес, мұндағы
ds
-
S
бетінің
аудан элементі,
γ
β
α
cos
,
cos
,
cos
-
S
бетінің алынған жағындағы
п
нормалі векторының бағыттаушы косинустары.
Бірінші текті жəне екінші текті беттік интегралдар
( , , )
( , , )
( , , )
S
Ð x y z dydz Q x y z dxdz
R x y z dxdy
+
+
=
∫∫
(
)
cos
cos
cos
S
Ð
Q
R
ds
α
β
γ
=
+
+
∫∫
қатынасымен байланысады.
Мысал
.
1
5
S
I
xdydz
zdxdz
dxdy
= −
+
+
∫∫
екінші текті беттік
интегралын 2
x
– 3
y
+
z
= 6
жазықтығының
IV
октантта орналасқан
бөлігінің үстіңгі жағы бойынша есептеу талап етіледі.
35-суретте_берілген_жазықтық_бөлігі_кескінделген._Беттің_көр_-_сетілген_жағына_сəйкес__п'>Шешімі.
35-суретте
берілген жазықтық бөлігі
кескінделген. Беттің көр
-
сетілген жағына сəйкес
п
нормалі
Oу
осімен доғал
бұрыш жасап,
Ох
жəне
Oz
осьтерімен сүйір бұрыш
жасайды. Олай болуын
жазықтықтың
п
= (2, -3, 1)
нормаль векторының ба-
ғыт таушы
косинустары
көрсетеді:
2
3
4 9 1
14;
cos
0,
cos
0,
14
14
ï
α
β
=
+ + =
=
>
= −
<
1
cos
0.
14
γ
=
>
Сондықтан (7.9) жəне (7.11) формулаларындағы екі еселі
интеграл алдында «плюс» таңбасы, ал (7.10) формуласында
«минус» таңбасы қойылады. Демек
35-сурет
236
1
3
3
5
)
2
2
yz
xz
xy
D
D
D
z
I
y
dydz
zdxdz
dxdy
= +
− −
+
−
+
=
∫∫
∫∫
∫∫
3
6
0
3
6 2
2
0
0
0
3
1
3
5
2 3
9.
2
2
2
y
x
z
dy
y
dz
dx
zdz
+
−
−
=
− −
+
−
+ ⋅ ⋅ ⋅ = −
∫
∫
∫
∫
Достарыңызбен бөлісу: |
