§5.  Остроградский-Грин формуласы

219
(6.10) формуласын 
Остроградский-Грин формуласы
 дейді.
Дəлелдеме
. 
 
1
( )
y
x
ϕ
=
 - 
АпВ 
доғасының теңдеуі, ал  
2
( )
y
x
ϕ
=
 
- 
АтВ 
доғасының теңдеуі болсын (29-сурет). Ең алдымен 
∂
∂
∫∫
D
Ð
dxdy
ó
екі еселі интегралын табамыз. Екі еселі интегралды есептеу 
ережесі бойынша 
∂
=
∂
∫∫
D
P
dxdy
ó
( )
( )
2
1
ϕ
ϕ
∂
∂
∫
∫
x
b
a
x
P
dx
dy
y
( )
( )
( )
2
1
,
ϕ
ϕ
=
⋅
=
∫
b
x
x
a
dx P x y
( )
(
)
( )
(
)
2
1
,
,
,
ϕ
ϕ
=
−
∫
∫
b
b
a
a
P x
x dx
P x
x dx
немесе (6.5) формуласына сəйкес
∂
=
∂
∫∫
D
Ð
dxdy
ó
( )
,
−
∫
AmB
P x y dx
( )
,
=
∫
AnB
P x y dx
( )
( )
( )
,
,
,
.
= −
−
= −
∫
∫
∫
BmA
AnB
L
Рx y dx
Рx y dx
Рx y dx
    
 (6.11)
Осыған ұқсас
( )
,
∂
=
∂
∫∫
∫
D
L
Q
dxdy
Q x y dy
x
                 
     (6.12)
болатыны дəлелденеді.
Енді (6.12) теңдігінен (6.11) теңдігін шегерсек, (6.10) 
формуласына келеміз.
Мысал
. 
Остроградский-Грин формуласы көмегімен
(
)
(
)
2
2
2
2
ln
=
+
+ ⋅
+
+
+
∫
L
I
x
y dx
y xy
x
x
y
dy
қисықсызықты интегралын есептеу талап етіледі. Мұндағы
L 
- төбелері 
А
(3, 2), 
B
(6, 2), 
C
(6, 4), 
D
(3, 4) нүктелерінде орналасқан 
тіктөртбұрыш шекарасы. 

220
Шешімі
. 
30-суретте интегралдау бағдары көрсетілген.
∂
=
∂
Q
x
2
2
2
2
1
;


⋅
+
+
⋅

+


y
x
y
y
x
y
2
2
∂
=
∂
+
Ð
y
ó
x
y
болғандықтан, (5.30) формуласы бойынша
(
)
2
2
2
2
2
2
1


+
+


=
−
=


+
+


∫∫
D
y y x
y
y
I
dxdy
x
y
x
y
= 
6
4
2
2
3
2
56.
=
=
∫∫
∫ ∫
D
y dxdy
dx y dy
§6.  Екінші текті қисықсызықты интегралдың 
интегралдау жолынан тəуелсіз болу шарттары
А
(
х
1
, 
у
1
) жəне 
В
(
х
2
, 
у
2
) - 
xOy
 жазықтығында жататын 
D 
байламды
 
облысының кез келген екі нүктесі болсын. 
А
 жəне 
В 
нүктелерін түрлі сызықтармен қосуға болады (31-суретте олар
L
1
,
  L
2
,
  L
3
 
қисықтарымен кескінделген). Осы қисықтардың 
əрқайсысы бойынша 
( )
( )
,
,
=
+
∫
AB
I
P x y dx Q x y dy
интегралының жалпы алғанда өзіндік мəні болады. Егер түрлі 
мүмкін болатын 
АВ
 қисықтары бойынша 
І 
интеграл мəні 
өзгермейтін болса, онда оны интегралдау жол нұсқасына тəуелсіз 
29-сурет                                                   30-сурет

221
дейді. Мұндайда 
І 
интегралы үшін оның бастапқы 
А
(
х
1
, 
у
1
) нүктесі 
мен екінші ұшындағы 
В
(
х
2
, 
у
2
) нүктесін көрсеткен жеткілікті. 
Интегралдың өзі 
( )
( )
2
2
1
1
(
;
)
(
;
)
,
,
=
+
∫
x
y
x y
I
P x y dx Q x y dy
                 
  (6.13)
түрінде жазылады. Қандай шарт орындалғанда екінші текті 
қисықсызықты интеграл интегралдау жолына тəуелсіз болады 
деген сұрақ туындайды. 
                    31-сурет                                            32-сурет
Теорема 6.3.
 
Р
(
x, y
) жəне
  Q
(
x, y
) функциялары өздерінің 
дербес туындыларымен бірге байламды 
D 
облысында үзіліссіз 
болсын. Онда
( )
( )
,
,
=
+
∫
L
I
P x y dx Q x y dy
қисықсызықты интегралы 
D 
облысында интегралдау жолынан 
тəуелсіз болуы үшін осы
 
облыстың əрбір нүктесінде 
    
∂
∂
=
∂
∂
Q
P
x
y
                                   
  (6.14)
шартының орындалуы қажет жəне жеткілікті.
Дəлелдеме.
 
(6.14) шартының жеткілікті болуын дəлелдейік. 
D 
облысында жатқан кез келген тұйық 
АтВпА 
(немесе 
L
) контурын 
қарастырайық. Ол үшін (6.10) Остроградский-Грин формуласы 
орындалады. (6.14) шартына сəйкес 

222
( )
( )
,
,
0
+
=
∫
L
P x y dx Q x y dy
  немесе 
 
0.
+
=
∫
ÀòÂïÀ
P dx Q dy
Қисықсызықты интегралдың қасиеттерін ескеріп
+
=
+
+
+
=
∫
∫
∫
ÀòÂïÀ
ÀòÂ
ÂïÀ
Pdx Qdy
Pdx Qdy
Pdx Qdy
0
=
+
−
+
=
∫
∫
ÀòÂ
ÀïÂ
Pdx Qdy
Pdx Qdy
болатынын, атап айтқанда 
+
=
+
∫
∫
ÀòÂ
ÀïÂ
Pdx Qdy
Pdx Qdy
теңдігіне ие боламыз. Шыққан теңдік қисықсызықты ин-
те гралдың жолдан тəуелсіз екендігін білдіреді. Теореманы 
дəлелдеу барысында
 
∂
∂
=
∂
∂
Q
P
x
y
 
шартының орындалуында, тұйық 
контур бойынша алынған интегралдың нөлге тең болатыны, атап 
айтқанда 
( )
( )
,
,
0
+
=
∫
L
P x y dx Q x y dy
теңдігі шығып отыр. Кері пікір де орынды.
1
-
салдар
. 
Егер (6.14) шарты орындалса, онда интеграласты 
( )
( )
,
,
+
P x y dx Q x y dy
  өрнегі кейбір 
( )
y
x
U
U
,
=
 
функциясының 
толық дифференциалы болып табылады, атап айтқанда 
 
( )
( )
( )
,
,
,
.
Рõ ó dõ Q õ ó dó
dU x y
+
=
              
 
(6.15)
Сонда ((6.13)-ті қараңыз)
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 1
1 1
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
,
,
,
x
y
x
y
x y
x y
I
P x y dx Q x y dy
dU x y
=
+
=
=
∫
∫
( )
2
2
1 1
(
;
)
(
;
)
2
2
1
1
,
(
;
)
( ;
),
x
y
x y
U x y
U x y
U x y
=
=
−
атап айтқанда
( )
( )
2
2
1 1
(
;
)
2
2
1
1
(
;
)
,
,
(
;
)
( ;
).
x
y
x y
P x y dx Q x y dy U x y
U x y
+
=
−
∫
    
(6.16)

223
(6.16) формуласы толық дифференциалдан қисықсызықты 
интеграл үшін жазылған 
жалпылама Ньютон-Лейбниц 
формуласы
 деп аталады.
2
-
салдар
. 
Егер интеграласты 
( )
( )
,
,
P x y dx Q x y dy
+
 өрнегі 
толық дифференциал, ал 
L
 интегралдау жолы тұйық болса, онда 
( )
( )
,
,
0.
L
P x y dx Q x y dy
+
=
∫
1-мысал
. 
(1;1)
(0;0)
I
ydx
xdy
=
+
∫
 
интегралын есептеу талап етіледі.
Шешімі.
 
Мұнда 
P = y,   Q = x,
   
1.
Q
P
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
Олай болса, алдыңғы теоремаға сəйкес, интеграл интегралдау 
жолына тəуелсіз. Интегралдау жолы ретінде 
у = х
 түзуінің 
кесіндісін, я болмаса 
у = х
2
 параболасының доғасын алып, (6.16) 
формуласын пайдалануға болады.
ydx + xdy = d
 (
xy
)
болғандықтан
( )
(1;1)
(1;1)
(0;0)
(0;0)
1 0 1.
I
d xy
xy
=
=
= − =
∫
2-мысал
. 
e
–y
dx
 – (2
y + xe
– y
)
 dy
өрнегі кейбір 
( )
y
x
U
U
,
=
функциясының толық дифференциалы 
болатынына көз жеткізіп, сол функцияны табу талап етіледі.
Шешімі.
 
Көрсетілген өрнек толық дифференциал болу 
шартын (6.14) 
( )
(
)
(
)
;
2
y
y
y
y
å
å
y
xå
å
y
x
−
−
−
−
∂
∂
= −
−
+
= −
∂
∂
теңдіктері қамтамасыз етеді. Олай болса
(
)
( )
2
,
.
ó
ó
å dx
y
xå
dy
dU x y
−
−
−
+
=

224
Толық дифференциал
( )
( )
( )
,
,
,
dU x y
U x y dx
U x y dy
x
y
∂
∂
=
+
∂
∂
түрінде кескінделетіндіктен
( )
( )
(
)
,
,
,
2
y
y
U x y
e
U x y
y
xe
x
y
−
−
∂
∂
=
= −
+
∂
∂
    
   
(6.17)
қатынастары орынды. Теңдеулердің біріншісін 
у-
ті тұрақты деп 
санап
 х 
бойынша интегралдаймыз, мұның өзінде интегралдау 
тұрақтысының орнына тек 
у-
ке тəуелді болып келетін 
φ
(
y
)-ті 
қоямыз:
( )
( )
,
.
y
y
U x y
e dx
xe
y
ϕ
−
−
=
=
+
∫
Табылған өрнекті (5.37) теңдеулерінің екіншісіне қойғаннан 
φ
(
y
)-ті анықтаймыз:
( )
(
)
( )
y
y
xe
y
xe
y
y
ϕ
ϕ
−
−
∂
+
= −
+
=
′
∂
(
)
( )
( )
2
2
;
2 ;
.
y
y
xe
y
y
y
y
C
ϕ
ϕ
−
= −
+
= −
= − +
Сонымен 
( )
2
,
.
ó
U x y
xe
y
C
−
=
−
+

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: