Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II

249
3
1
( , ( ))
( ,
)
=
Φ =
Φ
=
=
∑
∑
i
i
i
i
i
dif
e
e
e E
3
1
2
3
1
2
3
1
( ,
)
.
=
=
=
+ +
∑
k
i
i
k
i
e a e
a a
a
                     (8.36)
∑
∑
=
=
=
×
=
Φ
×
=
Φ
3
1
3
1
))
(
(
i
i
i
i
i
i
E
e
e
e
Rot
.
)
(
)
(
)
(
3
1
1
2
2
1
3
3
1
1
3
2
2
3
3
2
1
∑
=
−
+
−
+
−
=
×
=
i
k
i
k
i
a
a
e
a
a
e
a
a
e
e
e
a
  (8.37)
Дербес жағдайда бұдан
0
Φ ≡
c
Rot
жəне кез келген аффинор үшін (8.35) қатынасы
Φ =
Φ
k
Rot
Rot
                                (8.38)
теңдігін береді. Сонымен бірге
0
Φ ≡
Div
болуынан 
c
Div
Div
Φ
=
Φ
                                (8.39)
Φ
Div
жəне 
Φ
Rot
 инварианттарының мағынасын механикадан 
табу оңай. Біртұтас ортаның 
δ
+
j
j
i
i
a
 компоненталы 
Φ = + Φ
ɶ
E
 
аффинорымен анықталатын неғұрлым кіші деформациясын 
қарастырайық. Мұнда 
i
j
a
 - неғұрлым кіші шамалар. Төбесі 
координаталардың басында, бірлік 
(
)
1 2 3
=
V
e e e
 көлемді кубты 
қарастырайық. Оның қырларында
, (
1, 2,3)
=
=
i
i
OA
e
i
векторлары жатады.
Аффинордың əсерінен бұл қырлар 
*
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
,
δ
= Φ
=
+
= +
ɶ
i
i
i
i
i
OA
OA
a e
e
a e
*
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
,
δ
= Φ
=
+
= +
ɶ
i
i
i
i
i
OA
OA
a e
e
a e
17–454

250
*
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)
δ
= Φ
=
+
= +
ɶ
i
i
i
i
i
OA
OA
a e
e
a e
қырларына түрленеді (деформацияланады).
Деформацияланған куб көлемі
*
*
*
*
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(
,
,
)
(
)
[2]
=
= +
+
+
+
V
OA OA OA
V
a
a
a V
мұнда [2] белгілеуі - кішілік реті екіден кем болмайтын мүшелерді 
білдіреді. Сонымен, 2-ші ретті кішілерге дейінгі дəлдікпен (атап 
айтқанда, 1-ші ретті кішілер дəлдігімен) анықталады.
.
*
3
3
2
2
1
1
V
V
V
a
a
a
Div
−
=
+
+
=
Φ
                   (8.40)
Демек 
Φ
 аффинорының дивергенциясы 
Φ
+
=
Φ
E
~
 (мұндағы 
Ε
- центраффиндік тепе-теңдік түрленуіне сəйкес бірлік аффинор) 
аффинорымен іске асатын деформация жағдайындағы   
к ө л е м д і к
ұ л ғ а ю   к о э ф ф и ц и е н т і н і ң    б а с т ы    б ө л і г і
   болып 
табылады.
Енді қатты дене координаталар басынан өтетін жəне
k
Rot
Φ
=
ω
2
1
                                      (8.41)
векторына параллель болатын осьті айналсын. Мұндағы
Φ −
j
i
k
a
= −
i
j
a
 компоненталы кейбір қиғаш симметриялы аффинор. 
(8.37) формуласы көмегімен 
=
i
i
r
x e
  радиус-векторына ие 
болатын нүктенің 
v
 сызықтық жылдамдығын есептейік:
1
2
ω
= × =
v
r
Rot
Φ
k
3
1
2
2 1
3 2
1
3
(
)
×
=
+
+
×
=
i
i
i
i
x e
a e
a e
a e
x e
2
1
3
1
1
2
3
2
1
3
2
3
1
2
3
2
1
3
3
1
2
(
)
(
)
(
).
=
+
+
+
+
+
e x a
x a
e x a
x a
e x a
x a
Сонымен (8.26), (8.27) өрнектерін ескеріп,
k
v
Φ
=
                                       (8.42)
болатынын шығарып аламыз. 
Демек кез келген 
( )
Φ
r
 векторлық өрісінің роторы қатты 
дененің екі еселенген бұрыштық жылдамдығы ретінде танылады. 

251
Бұл жағдайда нүктелердің сызықтық жылдамдықтары 
( )
Φ
r
 
аффинорындағы қиғашсимметриялы 
Φ = Φ − Φ
k
c
 бөлігінің век-
торларына тең.
§2. Вектор аргументті функциялардың 
дифференциалдануы. 
grad, div, rot
 инварианттары. 
Скаляр өрісінің бағыт бойынша туындысы
Вектор аргументті кез келген 
)
(
r
F
 функциясына қайта ора-
лайық. Мұндай функция үшін шек жəне үзіліссіздік ұғымдары 
дəл скаляр аргументті вектор-функциядағыдай. Атап айтқанда, 
0
→
r
r
 ұмтылуында 
0
0
0
lim
( )
0
− →
−
=
r r
F r
F
                                (8.43)
болса, 
F
0
 векторын (немесе скалярын) 
( )
F r
  
ф у н к ц и я с ы-
н ы ң    ш е г і
 дейміз. Сонымен, 
0
0
lim ( )
→
=
r
r
F
F r
 жазылуы түсінікті. 
Сол сияқты 
0
0
lim ( )
( )
→
=
r
r
F r
F r
                                 (8.44)
орындалса, 
)
(
r
F
 функциясын 
0
r
 мəнінде   ү з і л і с с і з    дейміз.
)
(
r
F
функциясының дифференциалдануын көп айнымалыға 
тəуелді функциялар теориясына ұқсатып анықтаған ыңғайлы 
(өйткені вектордың берілуі - оның координаталары болып 
келетін үш скалярдың берілуіне əлдес), атап айтқанда, аргумент 
өсімшесінің басты сызықтық бөлігінің бар болуы ұйғарылады.
8.1-анықтама
. Егер 
0
(
)
( )
( )
lim
0
ρ
ρ
λ ρ
ρ
→
+
−
−
=
F r
F r
                       (8.45)
теңдігі орындалатындай сызықтық 
)
(
ρ
λ
 функциясы табылса, 
)
(
r
F
 
д и ф ф е р е н ц и а л д а н а т ы н    ф у н к ц и я 
  делінеді.
Анықтамада 
( )
λ ρ
 функциясының бар болуы ғана ұйғары-
лады. Бұл сызықтық функцияның жалғыз болуы керіден жору 
нəтижесінде дəлелденеді. Атап айтқанда, егер де
0
(
)
( )
( )
lim
0
ρ
ρ
µ ρ
ρ
→
+
−
−
=
F r
F r
                     (8.46)

252
орындалатындай тағы бір 
( )
( )
µ ρ
λ ρ
≠
 функциясы бар болса, онда 
(
)
( )
ρ
+
−
= ∆
F r
F r
F
 деп белгілеп, мынаны аламыз:
0
0
( )
( )
lim
lim
ρ
ρ
λ
µ
λ ρ
µ ρ
ρ
ρ
→
→
− ∆ + ∆ −
−
=
≤
F
F
0
0
lim
lim
.
ρ
ρ
λ
µ
ρ
ρ
→
→
− ∆
∆ −
≤
+
F
F
      
(8.45) жəне (8.46) арқасында
.
0
)
(
)
(
lim
0
=
−
→
ρ
ρ
µ
ρ
λ
ρ
                              (8.47)
Енді 
,
ρ
σ
σ
=
=
t
const
  
болсын.
Əрине,
  t
→
0 ұмтылғанда 
ρ
 нөлге ұмтылып, (8.47) теңдігі 
орындалады. Олай болса
0
0
( )
( )
( )
( )
0
lim
lim
σ
σ
λ σ
µ σ
λ σ
µ σ
σ
σ
→
→
−
−
=
=
t
t
t
                 (8.48)
(мұнда λ жəне 
μ
-дің сызықтығы ескерілген: 
(
)
( )
λ σ
λ σ
=
t
t
)
(8.48) неғұрлым кіші, кез келген 
σ
 векторлары үшін орын-
далғандықтан,
0
)
(
)
(
=
σ
µ
−
σ
λ
теңдігінен 
)
(
)
(
σ
µ
≡
σ
λ
                                    (8.49)
шығады, өйткені сызықтық функциялардың бір-бірімен беттесуі 
үшін олардың аргументінің, ең болмағанда, үш сызықтық тəуелсіз 
мəндерінде беттескені жеткілікті. 
Сонымен, 
( )
ρ
λ
 бар болса, ол жалғыз. Сондықтан оны 
r
 
аргументіндегі 
( )
F r
 функциясының 
дифференциалы
 деп атау 
жəне 
ρ
=
d r
 арқылы белгіленіп,
( )
λ
=
dF
d r
                                   (8.50)

253
жазылуы орынды. Келтірілген дифференциал анықтамасы, əрине, 
=
i
i
r
x e
 векторының 
x
i
 координаталары болып келетін үш скаляр 
аргументті функция дифференциалы анықтамасымен беттеседі.
Расында да, скалярлық функция жағдайында
1
2
3
( )
(
)
( ,
,
)
ϕ
ϕ
=
=
=
i
i
F
r
x e
f x x x
ал векторлық функция жағдайында
1
2
3
( )
( ,
,
) .
= Φ
=
i
i
F
r
X x x x e
Бұл функциялардың дифференциалдары үшін кəдімгі анализ 
ережелері бойынша
3
1
,
ϕ
=
∂
≡
=
=
∂
∑
i
i
i
f
dF
d
df
dx
x
                       (8.51)
3
1
(
)
.
=
∂
≡ Φ =
=
=
∂
∑
i
i
i
k
i
i
i
k
k
X
dF
d
d X e
dX e
e dx
X
           (8.52)
Сызықтық функция градиентінің (8.20) формуласымен 
берілген анықтамасын есімізге түсіріп, (8.21) арқасында мынаны 
аламыз:
 
(
)
(
,
).
λ
λ
=
d r
Grad
d r
                       (8.53)
( )
ϕ
r
скаляр функциясы дифференциалының градиенті сол 
( )
ϕ
r
 
функциясының 
градиенті
 деп аталып, 
gradφ
 арқылы белгіленеді:
(
).
ϕ
λ
ϕ
=
=
def
grad
Grad
Grad d
                  (8.54)
(8.53), (8.50), (8.51) салыстырып жəне 
=
i
i
d r
dx e
                                    (8.55)
теңдігін ескерсе, белгілі 
3
1
ϕ
=
∂
=
∂
∑
i
i
i
f
grad
e
x
                              (8.56)
формуласын шығарып аламыз. Осы формуланың көмегімен 
gradφ
 есептеледі.
Кез келген 
)
(
r
Φ
 функциясының 
div 
жəне 
rot 
(дивергенция жəне 
ротор) инварианттарын енгізу үшін жоғарыдағыға ұқсас вектор 

254
аргументті вектор-функцияның 
Div 
жəне 
Rot
 инварианттары 
қолданылады: 
( )
(
),
Φ
=
Φ
def
div
r
Div d
                           (8.57)
( )
(
).
Φ
=
Φ
def
rot
r
Rot d
                            (8.58)
(8.52), (8.50), (8.26) жəне (8.27) салыстырып,
∂
=
∂
i
i
k
k
X
à
x
                                    (8.59)
болатындығын табамыз. Бұдан жəне (8.36), (8.37) өрнектерден
1
2
3
1
2
3
( )
,
∂
∂
∂
Φ
=
+
+
∂
∂
∂
X
X
X
div
r
x
x
x
                      (8.60)
3
2
1
3
1
2
2
3
3
1
2
1
3
1
2
( )
X
X
X
X
rot
r
e
e
x
x
x
x
X
X
e
x
x
∂
∂
∂
∂




Φ
=
−
+
−
+








∂
∂
∂
∂
∂
∂


+
−




∂
∂
            
(8.61)
есептеу формулалары шығады.
Көптеген жағдайда (8.56), (8.60), (8.61) формулаларын 
gradφ
, 
div
Φ
, 
rot
Φ
 инварианттарының анықтамалары ретінде 
қабылдайды; мұндайда олардың инварианттығының айқындығы 
көрінбейді жəне оны интегралдық формулалармен байланысқан 
талқылау көмегімен дəлелдеуге тура келеді.
Табылған инварианттардың геометриялық мағынасына келетін 
болсақ, егер 
j
i
à
 аффинорының орнына 
k
i
x
X
∂
∂
 аффинорын алсақ, 
онда тараудың басында 
Div 
жəне 
Rot
 инварианттарына берілген 
геометриялық мағыналар 
div
Φ
 жəне 
rot
Φ
 инварианттарына да 
күшін сақтайды; қысқаша, айтылған аффинорларды алмастыру 
жағдайында 
div
Φ
 жəне 
rot
Φ
 инварианттары бастапқы 
Div 
жəне 
Rot
 инварианттарымен мағыналас. Мұндайда, əрине, кеңістіктің 
əрбір нүктесіне өзіндік (локальді) деформациясы мен айналуы 
сай. 

255
gradφ
 əрқашан
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) =
const 
                                (8.62)
«деңгей бетінің» нормаліне параллельдігін атап кеткен жөн. 
Деңгей беті деп барлық нүктелеріндегі 
f 
функциясының (демек 
φ
-дің де) мəні бірдей болатын бетті айтамыз. Шынында да (4.62) 
теңдеуін
ψ ≡
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) –
C
= 0,  (
c 
= 
const
)
 
                 (8.63)
түрінде жазып, (8.63) бетінде орналасқан 
( )
r
r t
=
 сызығын 
қарастырайық. Ондай сызық үшін
f
(
x
1
(
t
),
x
2 
(
t
),
x
3 
(
t
)) –
C
= 0,                         (8.64)
( )
( ) .
i
i
r t
x t e
=
                                    (8.65)
(8.64) тепе-теңдігін дифференциалдап,
0
i
i
i
f
x
x
dt
∂ ∂
⋅
=
∂
∑
                                    (8.66)
болатындығын немесе (8.56)   арқасында
,
0.
dr
grad
dt
ϕ

 =




                               (8.67)
Бұл теңдіктің өзі 
gradφ
 векторының қарастырылып отырған 
нүкте арқылы өтетін деңгей бетінде орналасқан кез келген 
сызығына перпендикуляр екендігін білдіреді, атап айтқанда 
gradφ
 
нормальға параллель. Градиентпен
0
lim
def
s
f
f
e
s
∆ →
∂
∆
=
∂
∆
                                     (8.68)
түрінде анықталатын жəне «б а ғ ы т   б о й ы н ш а   т у ы н -
д ы»  деп аталатын туындысы да тығыз байланысқан. Мұнда 
f
=
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
) , 
e
 бірлік вектор, ал 
s
–
e
бірлік векторын M(
x,y,z
)
нүктесінде жанайтын қисықтың доға ұзындығы. ∆
f
=
df
+ [2] жəне 
(8.51), (8.56) арқасында
df
= (
gradφ
, 
d
r
)                                 (8.69)
болғандықтан,

256
lim
,
,
f
r
dr
grad
grad
e
s
ds
ϕ
ϕ
∂
∆

 

=
=
=

 


 

∂
∆
(
)
,
grad e
ϕ
=
                                    (8.70)
Сондықтан 
φ
 скаляр өрісінің 
e
 бағыты бойынша алынған 
туындысы 
φ 
градиенті мен 
e
 ортының скаляр көбейтіндісіне 
тең немесе градиенттің 
e
 ортына ие болатын оське түсетін 
проекциясына тең:
e
f
np grad
e
ϕ
∂
=
∂
                                 (8.71)

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: