скаляр аргументті
вектор-функция
деп аталып, былай белгіленеді
ā
=
ā
(
t
1
,...,
t
n
) (1.1)
Жалпы
,
n
скаляр аргументті вектор-функция
дегеніміз -
R
n
-
де жататын
Т
облысының
А
векторлар жиынына
бейнеленуі
.
Егер кеңістікте
k
j
i
,
,
векторлық базисі берілсе, онда
ā
векторының координаталарын
x, y, z
арқылы белгілеп,
ā
=
k
z
j
y
i
x
+
+
жіктемесіне келеміз (1-сурет).
1-сурет.
4
Сонымен, (1.1) вектор-функциясының берілуі сол аргу мент-
терге тəуелді 3 скаляр
x = x
(
t
1
,….,
t
n
),
y = y
(
t
1
,….,
t
n
), (1.2)
z = z
(
t
1
,….,
t
n
)
функцияларының берілуіне пара-пар.
Бір жəне екі аргументті скаляр функциялары геометриялық
тұрғыда қарапайым сипатталатындығы мəлім. Сол сияқты
вектор-функцияның да геометриялық талқылауы бар екенін бол-
жау заңды. Ол геометриялық сипатты бір немесе екі аргументті
вектор-функцияның барлық мəндерін кеңістіктің бір нүктесінен
салғаннан алуға болады. Егер де бұл нүктені координаталар басы
деп есептесе, онда вектор-функцияның барлық мəндері
)
(
t
r
r
=
немесе
)
,
(
v
u
r
r
=
радиус-векторлары болады.
Мынадай анықтама енгізген қолайлы.
1.2
-
анықтама. Бір немесе екі аргументті вектор-функция-
ның барлық мəндері болып келетін радиус-векторлар ұшта-
рының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп ата-
лады
.
Аналитикалық геометрияда
бет
деп нүктелерінің декарт ко-
ординаталары
F
(
x, y, z
) = 0 (1.3)
теңдеуін қанағаттандыратын геометриялық орын, ал
сызық
деп
нүктелерінің декарт координаталары сондай
=
=
0
)
,
,
(
2
,
0
)
,
,
(
1
z
y
x
F
z
y
x
F
(1.4)
екі теңдеуді қанағаттандыратын геометриялық орнын атайды.
Дифференциалдық геометрияда сөз етілген ұғымдар үшін
өзгеше анықтамалар алынады.
n
= 1 болғанда, (1.2)
x = x
(
t
),
y = y
(
t
),
z = z
(
t
) (1.5)
түріне келеді.
5
Бұдан
t
параметрінен құтылсақ (егер
t
өзгеру облысында
ондай құтылу мүмкін болса), келбет (1.4) теңдеулер жүйесін
қанағаттандыратын нүктелерден тұратындығын табамыз.
Дəл сол сияқты (1.2)-ден
n
= 2 болғанда екі аргументті вектор-
функция келбеті нүктесінің координаталары үшін мынаны ала-
мыз:
x = x
(
t
1
,
t
2
),
y= y
(
t
1
,
t
2
),
z = z
(
t
1
,
t
2
)
бұдан
t
1
,
t
2
-ны шығарып тастап, (1.3) түріндегі теңдеуге келеміз.
Сонда мынадай негізгі нəтижеге келеміз:
Теорема
1.1.
Бір аргументті вектор-функция келбеті, жалпы
айтқанда,
сызық
, екі аргументті вектор-функция келбеті, жалпы
айтқанда,
бет
(2-сурет).
Қарапайым сызыққа өзімізге белгілі түзу сызық жатады. Оның
теңдеуі аналитикалық геометрияда
l
t
r
r
+
=
0
(1.6)
түрінде жазылады, мұнда
0
r
жəне
l
- тұрақты, ал
r
- айнымалы
вектор. Айнымалы
r
радиус-векторын бір аргументті қарапайым
вектор-функция ретінде қарастыруға болады (3-сурет).
3-сурет 4-сурет
2-сурет
6
Жазықтықтың теңдеуін екі аргументті вектор-функция ар-
қылы жазуға болады. Тұрақты радиус-векторлары
3
2
1
,
,
r
r
r
бо-
латын үш нүкте арқылы өткен жазықтықтың теңдеуі
0
)
,
,
(
=
−
c
b
a
r
(1.7)
түрінде жазылады, мұнда
1
3
1
2
1
,
,
r
r
c
r
r
b
r
a
−
=
−
=
=
(4-сурет).
Бірақ
b
a
r
,
−
, жəне
c
векторларының компланарлық шартын
тек (1.7) түрінде ғана емес, былай да
c
v
b
u
a
r
+
=
−
немесе
c
v
b
u
a
r
+
+
=
(1.8)
түрінде жазуға болады, мұндағы
u
жəне
v
- параметрлер, ал
r
олардың функциясы.
Достарыңызбен бөлісу: |