§4. Вектор-функция туындысының геометриялық
мағынасы
Үзіліссіз жəне дифференциалдамалы
( )
t
r
вектор-функциясын
жəне оның келбетін қарастырайық.
t
аргументінің белгілі мəнінде
О
нүктесінен салынған
( )
t
r
вектор-функциясының ұшы келбетте
( )
r t
OM
=
болатындай кейбір
М
нүктесін береді.
t
аргументіне кейбір
t
∆
өсімшесін берсек,
t
t
∆
+
мəніне
(
)
t
t
r
∆
+
векторы мен келбеттің
М
1
нүктесі сəйкес келеді.
(
) ( )
1
1
MM
OM
OM
r t
t
r t
∆
=
−
=
+
−
5-cурет 6-cурет
векторы, яғни
( )
t
r
вектор-функциясының өсімшесі
М
жəне
М
1
нүктелерін қосатын вектор болып табылады.
15
(
) ( )
t
t
r
t
t
r
∆
−
∆
+
(1.23)
векторы
1
MM
векторына параллель, атап айтқанда, хордамен
бағыттас. Енді
t
∆
нөлге ұмтылсын.
( )
t
r
вектор-функциясы
үзіліссіз болғандықтан
(
) ( )
{
}
0
lim
0
=
−
∆
+
→
∆
t
r
t
t
r
t
,
яғни
ММ
1
хордасының ұзындығы
0
→
∆
t
жағдайында нөлге
ұмтылады. Демек
0
→
∆
t
болғанда,
М
1
нүктесі
М
нүктесіне
ұмтылады. Сондықтан вектор-функция үзіліссіздігі оның
келбетінің үзіліссіз болуымен сипатталады.
t
∆
нөлге ұмтылғанда (1.23) векторы
( )
t
r
′
туындысына ұмтылады,
ал
М
1
нүктесі келбет бойымен
М
нүктесіне ұмтылады.
ММ
1
қиюшысы кеңістікте
М
нүктесін айнала өзінің шектік орналасуы-
на -
( )
t
r
′
векторына параллель болатын
MN
түзуіне ұмтылады
(6-сурет).
ММ
1
қиюшысының
MN
шектік орналасуы сызықтың
М
нүк-
тесіндегі
жанамасы
деп аталатыны мəлім. Сонымен төмендегідей
тұжырым дəлелденді.
Теорема 1.10
.
Егер
t
аргументінің берілген мəнінде
( )
t
r
вектор-функциясының
( )
t
r
′
туындысы бар болып, нөлден
өзгеше болса, онда ол берілген нүктеде осы функция келбетінің
жанамасына параллель.
Екі аргументті
( )
v
u
r
r
,
=
вектор-функциясының
u
r
∂
∂
дербес
туындысының да қарапайым геометриялық мағынасы бар. Оның
есептелуі
0
v
const
v
=
=
болғанда, бір u айнымалыға тəуелді
( )
0
,
v
u
r
r
=
функция келбеті үшін жүреді. Бұл келбет, əрине,
( )
v
u
r
,
функция келбеті болып келетін бетте орналасатын кейбір
L
сызығы.
16
u
r
∂
∂
туындысының өзі
L
сызығының жанамасына параллель
(бұл сызықты «
u
» сызығы немесе «
v
=
const
сызығы» деп атайды).
Осыған ұқсас
v
r
∂
∂
туындысы «
v
сызығының» немесе «
u
=
const
сызығының» жанамасы болып келеді.
§5. Вектор-функция үшін Тейлор формуласы
T
t
T
≤
≤
0
аралығында жеткілікті дифференциалданатын
( )
t
r
r
=
век тор-функциясын қарастырайық. Оны əрдайым
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
түрінде жіктеуге болады. Мұнда
x, y, z
-
r
векторының бекітілген
k
j
i
,
,
базисіне қатысты координаталары. 1.9. теоремасы бойынша
x = x
(
t
),
y = y
(
t
),
z =
z
(
t
) скаляр функциялары - жеткілікті дəрежеде
дифференциалданатын функциялар болып келеді. Оларға Тейлор
формуласын қолданып, мынадай жіктемелерге келеміз:
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
.....
!
2
1
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
x
n
t
t
x
n
t
t
x
t
t
x
t
x
t
t
x
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
(
) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
y
n
t
t
y
n
t
t
y
t
t
y
t
y
t
t
y
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
z
n
t
t
z
n
t
t
z
t
t
z
t
z
t
t
z
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
′
+
=
∆
+
−
−
мұндағы
t
*
,
t
**
,
t
***
мəндері
t
жəне
t
t
∆
+
аралығында жатады,
жалпы, бір-бірінен өзгеше.
Жазылған теңдіктердің біріншісінің екі жағын
i
векторына
көбейтіп, екіншісінің екі жағын
j
векторына көбейтіп, үшінші
теңдіктің екі жағын
k
векторына көбейтіп, шыққан теңдіктерді
мүшелеп қоссақ
17
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
n
n
n
n
n
n
n
x t
t i
y t
t j
z t
t k
x t i
y t j
z t k
x t i
y t j
z t k
t
x t i
y t j
z t k
t
x
t i
y
t j
z
t k
t
n
x
t i
y
t
j
z
t
k
n
2
1
1
1
1
*
**
***
1
...
2!
1
...
1 !
1
!
−
−
−
−
+ ∆
+
+ ∆
+
+ ∆
=
+
+
+
+
+
+
∆ +
+
+
∆ +
′
′
′
′′
′′
′′
+
+
+
∆
+
−
+
+
+
немесе
(
) ( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
n
n
n
n
t
q
n
t
t
r
n
t
t
r
t
t
r
t
r
t
t
r
∆
+
∆
−
+
+
∆
′′
+
∆
+
=
∆
+
−
−
!
1
!
1
1
......
!
2
1
1
1
2
/
(1.24)
теңдігіне келеміз. Мұнда
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
q
x
t i
y
t
j
z
t
k
*
**
***
=
+
+
. (1.25)
Біздің болжауымыз бойынша,
x
(
t
),
y
(
t
),
z
(
t
) функциялары
өздерінің туындыларымен бірге
T
t
T
≤
≤
0
аралығында үзіліссіз
болғандықтан, бұл аралықта олар
t
-ның барлық мəндерінде
шектеулі келеді. Ал
n
q
векторының координаталары кез келген
t
*
,
t
**
,
t
***
мəндерінде шектеулі болса, бұл вектордың модулі де
шектеулі шама болып келеді, атап айтқанда
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
n
n
n
n
n
C
t
z
t
y
t
x
q
≤
+
+
=
2
*
*
*
2
*
*
2
*
]
[
|
|
(1.26)
Мұнда
С
n
cаны - [
T
0
,
T
] аралығынан алынған кез келген
t
жəне
t
t
∆
+
мəндеріне бірдей тұрақты оң шама.
Демек (1.24) формуласындағы соңғы мүше модулінің кішілік
реті
n
- нан кем емес. Кəдімгі анализдегі Тейлор формуласынан
өзгешелігі -
n
q
векторы
( )
t
r
вектор-функциясының
[
]
t
t
t
∆
+
,
аралығында жататын кейбір
t
0
мəнінде есептелген
n
-ші ретті
туындысы болмайды.
2–454
18
§6. Вектор-функция дифференциалы
Вектор-функция дифференциалы ұғымын енгізу үшін
( )
t
r
вектор-функциясын қарастырып, ол үшін
n
= 2 болғанда Тейлор
формуласын жазайық:
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
∆
+
∆
′
+
=
∆
+
Мұнан
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
r
∆
+
∆
′
=
−
∆
+
=
∆
(1.27)
Бұл формуланың қызық геометриялық мағынасы бар.
(
) ( )
t
r
t
t
r
r
−
∆
+
=
∆
векторы берілген
М
нүктесін
( )
t
r
вектор-
функциясы келбетінің жақын
М
1
нүктесімен қосатын
1
MM
векторымен беттеседі.
( )
t
t
r
M
M
∆
′
=
′
векторы келбеттің
М
нүктесіндегі жанамасына параллель жəне
( )
t
r
вектор-функ циясы
өсімшесінің «сызықтық бөлігі» болады (7-сурет).
2
2
2
1
/
t
q
M
M
∆
=
векторы - шексіз кіші вектор. Оның модулі - аргументтің Δ
t
өсімшесімен салыстырғанда - шексіз кіші шама.
Сонымен, келбеттің жақын нүктелерін қосатын
1
MM
век-
торы жанамамен бағытталған жəне
t
аргументінің өсімшесіне
пропорционал
M
M
′
векторы мен Δ
t
-мен салыстырғанда модулі
жоғары ретті шексіз кіші шама болатын
1
M
M
′
векторының
қосындысына тең.
1.6-анықтама.
( )
t
t
r
M
M
∆
′
=
′
векторы
( )
t
r
вектор-функ-
циясы
r
∆
өсімшесінің басты сызықтық бөлігі немесе
( )
t
r
вектор-функциясының дифференциалы деп аталады
.
r
вектор-функциясы дифференциалын
r
d
арқылы белгілейді.
Анықтама бойынша
19
( )
dr
r t dt
= ′
, (1.28)
мұнда
t
аргументінің
dt
дифференциалы, əдеттегідей оның
өсімшесімен беттеседі. Бұдан
( )
dr
r t
dt
=
′
белгілеуінің мағынасы ашылады:
( )
t
r
′
туындысы
d
r
дифферен-
циалын
1
dt
скалярға көбейткенге тең.
Достарыңызбен бөлісу: |