Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы а. Т. Мусин математика II


§4. Вектор-функция туындысының геометриялық



жүктеу 2,21 Mb.
Pdf просмотр
бет6/111
Дата13.02.2022
өлшемі2,21 Mb.
#35751
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   111
musin at matematika ii lektsiialar testter zhinagy

§4. Вектор-функция туындысының геометриялық 
мағынасы
Үзіліссіз жəне дифференциалдамалы 
( )
t
r
 вектор-функциясын 
жəне оның келбетін қарастырайық. 
t
 аргументінің белгілі мəнінде 
О
 нүктесінен салынған 
( )
t
r
 вектор-функциясының ұшы келбетте
( )
r t
OM
=
болатындай кейбір 
М
 нүктесін береді. 
t
 аргументіне кейбір 
t

 
өсімшесін берсек, 
t
t

+
 мəніне 
(
)
t
t
r

+
 векторы мен келбеттің 
М
1
 нүктесі сəйкес келеді.
(
) ( )
1
1
MM
OM
OM
r t
t
r t

=

=
+

5-cурет                         6-cурет
векторы, яғни 
( )
t
r
 вектор-функциясының өсімшесі 
М
 жəне 
М
1
 
нүктелерін қосатын вектор болып табылады.


15
(
) ( )
t
t
r
t
t
r



+
                               (1.23)
векторы 
1
MM
  векторына параллель, атап айтқанда, хордамен 
бағыттас. Енді 
t

 нөлге ұмтылсын. 
( )
t
r
 вектор-функциясы 
үзіліссіз болғандықтан
(
) ( )
{
}
0
lim
0
=


+


t
r
t
t
r
t
,
яғни 
ММ
1
 хордасының ұзындығы 
0


t
 жағдайында нөлге 
ұмтылады. Демек 
0


t
 болғанда, 
М
1
 нүктесі 
М
 нүктесіне 
ұмтылады. Сондықтан вектор-функция үзіліссіздігі оның 
келбетінің үзіліссіз болуымен сипатталады.
t

 нөлге ұмтылғанда (1.23) векторы 
( )
t
r

 туындысына ұмтылады
ал 
М
1
 нүктесі келбет бойымен 
М
 нүктесіне ұмтылады. 
ММ
1
 
қиюшысы кеңістікте 
М
 нүктесін айнала өзінің шектік орналасуы-
на - 
( )
t
r

 векторына параллель болатын 
MN
 түзуіне ұмтылады 
(6-сурет).
ММ
1
 қиюшысының 
MN
 шектік орналасуы сызықтың 
М 
нүк-
тесіндегі 
жанамасы
 деп аталатыны мəлім. Сонымен төмендегідей 
тұжырым дəлелденді.
Теорема 1.10
.
 Егер 
t
 аргументінің берілген мəнінде 
( )
t
r
 
вектор-функциясының 
( )
t
r

 туындысы бар болып, нөлден 
өзгеше болса, онда ол берілген нүктеде осы функция келбетінің 
жанамасына параллель.
Екі аргументті 
( )
v
u
r
r
,
=
 вектор-функциясының 
u
r


 дербес 
туындысының да қарапайым геометриялық мағынасы бар. Оның 
есептелуі 
0
v
const
v
=
=
 болғанда, бір u айнымалыға тəуелді 
( )
0
,
v
u
r
r
=
 функция келбеті үшін жүреді. Бұл келбет, əрине, 
( )
v
u
r
,
 функция келбеті болып келетін бетте орналасатын кейбір 
L
 сызығы.


16
u
r


 туындысының өзі 
L
 сызығының жанамасына параллель 
(бұл сызықты «
u
» сызығы немесе «
v
 = 
const
 сызығы» деп атайды). 
Осыған ұқсас 
v
r


 туындысы «
v
 сызығының» немесе «
u
 = 
const
 
сызығының» жанамасы болып келеді.
§5. Вектор-функция үшін Тейлор формуласы
T
t
T


0
 аралығында жеткілікті дифференциалданатын 
( )
t
r
r
=
 век тор-функциясын қарастырайық. Оны əрдайым
( ) ( )
( )
( )
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
+
+
=
түрінде жіктеуге болады. Мұнда 
x, y, z
 - 
r
 векторының бекітілген 
k
j
i
,
,
 базисіне қатысты координаталары. 1.9. теоремасы бойынша 
x = x
(
t
), 
y = y
(
t
), 
z =
 
z
(
t
) скаляр функциялары - жеткілікті дəрежеде  
дифференциалданатын функциялар болып келеді. Оларға Тейлор 
формуласын қолданып, мынадай жіктемелерге келеміз:
(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
.....
!
2
1
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
x
n
t
t
x
n
t
t
x
t
t
x
t
x
t
t
x

+


+
+

′′
+


+
=

+


(
) ( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
y
n
t
t
y
n
t
t
y
t
t
y
t
y
t
t
y

+


+
+

′′
+


+
=

+


(
) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
,
!
1
!
1
1
....
!
2
1
*
*
*
1
1
2
n
n
n
n
t
t
z
n
t
t
z
n
t
t
z
t
t
z
t
z
t
t
z

+


+
+

′′
+


+
=

+


мұндағы 
t
*

t
**

t
***
 мəндері 
t
 жəне 
t
t

+
 аралығында жатады, 
жалпы, бір-бірінен өзгеше.
Жазылған теңдіктердің біріншісінің екі жағын 
i
 векторына 
көбейтіп, екіншісінің екі жағын 
j
 векторына көбейтіп, үшінші 
теңдіктің екі жағын 
k
 векторына көбейтіп, шыққан теңдіктерді 
мүшелеп қоссақ


17
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
{
}
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
n
n
n
n
n
n
n
x t
t i
y t
t j
z t
t k
x t i
y t j
z t k
x t i
y t j
z t k
t
x t i
y t j
z t k
t
x
t i
y
t j
z
t k
t
n
x
t i
y
t
j
z
t
k
n
2
1
1
1
1
*
**
***
1
...
2!
1
...
1 !
1
!




+ ∆
+
+ ∆
+
+ ∆
=
+
+
+
+
+
+
∆ +
+
+
∆ +



′′
′′
′′
+
+
+

+

+
+
+
немесе
(
) ( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
n
n
n
n
t
q
n
t
t
r
n
t
t
r
t
t
r
t
r
t
t
r

+


+
+

′′
+

+
=

+


!
1
!
1
1
......
!
2
1
1
1
2
/
   
         (1.24)
теңдігіне келеміз. Мұнда
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
q
x
t i
y
t
j
z
t
k
*
**
***
=
+
+
.      (1.25)
Біздің болжауымыз бойынша, 
x
(
t
), 
y
(
t
), 
z
(
t
) функциялары 
өздерінің туындыларымен бірге 
T
t
T


0
 аралығында үзіліссіз 
болғандықтан, бұл аралықта олар 
t
-ның барлық мəндерінде 
шектеулі келеді. Ал 
n
q
 векторының координаталары кез келген 
t
*

t
**

t
***
 мəндерінде шектеулі болса, бұл вектордың модулі де 
шектеулі шама болып келеді, атап айтқанда 
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
n
n
n
n
n
C
t
z
t
y
t
x
q

+
+
=
2
*
*
*
2
*
*
2
*
]
[
|
|
   (1.26)
Мұнда 
С
n
 cаны - [
T
0

T
] аралығынан алынған кез келген 

жəне 
t
t

+
 мəндеріне бірдей тұрақты оң шама.
Демек (1.24) формуласындағы соңғы мүше модулінің кішілік 
реті 
n
 - нан кем емес. Кəдімгі анализдегі Тейлор формуласынан 
өзгешелігі - 
n
q
 векторы 
( )
t
r
 вектор-функциясының 
[
]
t
t
t

+
,
 
аралығында жататын кейбір 
t
0
 мəнінде есептелген 
n
 -ші ретті 
туындысы болмайды.
2–454


18
§6. Вектор-функция дифференциалы
Вектор-функция дифференциалы ұғымын енгізу үшін 
( )
t
r
 
вектор-функциясын қарастырып, ол үшін 
n
 = 2 болғанда Тейлор 
формуласын жазайық:
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r

+


+
=

+
Мұнан
(
) ( )
( )
2
2
2
t
q
t
t
r
t
r
t
t
r
r

+


=


+
=

            (1.27)
Бұл формуланың қызық геометриялық мағынасы бар.
(
) ( )
t
r
t
t
r
r


+
=

 векторы берілген 
М
 нүктесін 
( )
t
r
 вектор-
функциясы келбетінің жақын 
М
1
 нүктесімен қосатын 
1
MM
 
векторымен беттеседі. 
( )
t
t
r
M
M


=

 векторы келбеттің 
М
 
нүктесіндегі жанамасына параллель жəне 
( )
t
r
 вектор-функ циясы 
өсімшесінің «сызықтық бөлігі» болады (7-сурет). 
2
2
2
1
/
t
q
M
M

=
 
векторы - шексіз кіші вектор. Оның модулі - аргументтің Δ
t
 
өсімшесімен салыстырғанда - шексіз кіші шама.
Сонымен, келбеттің жақын нүктелерін қосатын 
1
MM
  век-
торы жанамамен бағытталған жəне 
t
 аргументінің өсімшесіне 
пропорционал 
M
M

 векторы мен Δ
t
-мен салыстырғанда модулі 
жоғары ретті шексіз кіші шама болатын 
1
M
M

 векторының 
қосындысына тең.
1.6-анықтама. 
( )
t
t
r
M
M


=

 векторы 
( )
t
r
 вектор-функ-
циясы 
r

 өсімшесінің басты сызықтық бөлігі немесе 
( )
t
r
 
вектор-функциясының дифференциалы деп аталады
.
r
 вектор-функциясы дифференциалын 
r
d
 арқылы белгілейді. 
Анықтама бойынша


19
( )
dr
r t dt
= ′
,                                (1.28)
мұнда 
t
 аргументінің 
dt
 дифференциалы, əдеттегідей оның 
өсімшесімен беттеседі. Бұдан 
( )
dr
r t
dt
=

 
белгілеуінің мағынасы ашылады: 
( )
t
r

 туындысы 
d
r
 дифферен-
циалын 
1
dt
 скалярға көбейткенге тең.

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   111




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау