§5. Бірнеше айнымалыға тəуелді функциялардың дербес

29
Сондай-ақ 
x
-пен  
z
 -ті тұрақты, ал 
y
-ті айнымалы деп санап,
у
0
0
0
0
0
0
у 0
у 0
U
f ( x , y
у, z )
f ( x , y , z )
lim
lim
у
у
∆
∆
∆
∆
∆
∆
→
→
+
−
=
шегін қарастыруға болады. 
Бұл шекті 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 
нүкте сіндегі 
y 
бойынша алынған 
дербес туындысы
 деп атайды.
Бeрілген 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
z
 бойынша алынған 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесіндегі дербес туындысы да осылай анық-
талады. Дербес туындыны есептеудің жай туындыны есептеуден 
айтарлықтай айырмашылығы жоқ.
Мысалдар
: 1) 
z
x
xy
y
2
2
3
2
=
−
+
 функциясы берілсін. Онда 
бұл функцияның дербес туындылары
z
z
x
y
xy
y
x
y
2
2
2
2 ,
4
3 .
∂
∂
=
−
= −
+
∂
∂
Бұлардың біріншісі  
const
y
=
 болғандағы, ал екіншісі
const
x
=
 болғандағы дəрежелік функцияның туындысы.
2) Егер 
x
z
arctg
y
=
 болса, онда 
z
y
z
xy
y
x
x
y
y
2
2
2
,
4
3
∂
∂
=
= −
+
∂
+
∂
 
3) 
x
U
x
y
z
2
2
2
=
+
+
 функциясы үшін
(
)
(
)
(
)
U
x
y
z
U
xy
U
xz
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
∂
− +
+
∂
−
∂
−
=
=
=
∂
∂
∂
+
+
+
+
+
+
 
5.2.
 
Екі айнымалыға тəуелді функцияның
 
дербес 
туындыларының геометриялық мағынасы
z
f ( x, y )
=
 функция графигі кейбір бет болып табыла-
тыны белгілі. 
0
z
f ( x, y )
=
 функция графигі осы 
z
f ( x, y )
=
 
бетінің 
0
у
y
=
 жазықтығымен қиылысу сызығы болып 
келеді. Бір айнымалыға тəуелді функция туындысының 

30
геометриялық мағынасына сүйене, 
/
х
0
0
f ( x , y ) tg
α
=
 екенін 
тұжырымдаймыз, мұндағы 
α
 - 
Ох
 осі мен 
0
z
f ( x, y )
=
 қисығына 
(
)
0
0
0
0
0
М x , y f ( x , y )
 нүктесінде жүргізілген жанама арасындағы 
бұрыш (12-сурет). Сол сияқты 
/
y
0
0
f ( x , y ) tg
β
=
.
12-сурет.                                 13-сурет.
5.3.
 
Дербес дифференциалдар
Бeрілген 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының кез келген бір 
аргументі бойынша нүктедегі дербес туындысы мен сол 
аргументтің өсімшесінің көбейтіндісі функцияның 
дербес диф-
ференциалы
 деп аталады жəне былай белгіленеді: 
x
z
U
U
d U
x, d U
z
x
z
∆
∆
∂
∂
=
=
∂
∂
Егер тəуелсіз айнымалы 
х
-тің 
dx
 дифференциалын 
x
∆
 
өсімшесі деп түсінетін болсақ, онда 
x
U
d U
dx,
x
∂
=
∂
  сол сияқты 
y
z
U
U
d U
dy, d U
dz
y
z
∂
∂
=
=
∂
∂
 түрінде жазылады.

31
§6. Көп айнымалыға тəуелді функцияның толық өсімшесі, 
толық дифференциалы жəне дифференциалдану шарты
Егер тəуелсіз айнымалылардың 
0
0
0
х
x , у
y , z
z
=
=
=
 мəн-
деріне сəйкес 
x, у, z
∆ ∆ ∆
 өсімшелерін берсек, онда 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясы да 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
f ( x , y , z )
f ( x
x, y
у, z
z )
f ( x , y , z )
∆
∆
∆
∆
∆
=
=
+
+
+
−
 (2.1)
түріндегі өсімшеге ие болады. Берілген функцияның осы өсім-
шесін оның 
толық өсімшесі
 деп атайды.
Теорема
 
2.1.
 
Егер 
/
/
/
х
y
z
f ( x, y, z ), f ( x, y, z ), f ( x, y, z )
 дер-
бес туындылар 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесі мен оның кейбір 
0
U ( М )
δ
 
маңайында бар болып жəне осы нүктеде (
x, y, z
-тің функ-
циясы ретінде) үзіліссіз болса, онда берілген 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясының толық өсімшесі 
/
/
/
х
0
0
0
y
0
0
0
z
0
0
0
U
f ( x , y , z ) х
f ( x , y , z ) у
f ( x , y , z ) z
х
у
z
∆
∆
∆
∆
α∆
β∆
γ∆
=
+
+
+
+
+
түрінде жазылады. Мұндағы 
, ,
α β γ
 шамалары 
х, у, z
∆ ∆ ∆
 
өсімшелеріне тəуелді жəне 
х
0, у
0, z
0
∆
∆
∆
→
→
→
-да 
, ,
α β γ
 
шамалары да 0-ге ұмтылады.
Теорема
 
2.2.
 Егер 
Q
 облысында берілген 
U
f ( x, y, z )
=
 
функциясының сол облыстағы 
(
)
0
0
0
x , y , z
Q
∈
 мен 
0
0
0
( x
x, y
у, z
z ) Q
∆
∆
∆
+
+
+
∈
 нүктелері үшін толық өсімшесі
0
0
0
U
f ( x , y , z )
∆
∆
=
=
Аdх Вdy Сdz 0( )
ρ
+
+
+
                   (2.2)
түрінде жазылатын болса, (
A, B, C
 - тұрақтылар, 
2
2
2
x
y
z
ρ
∆
∆
∆
=
+
+
) берілген функцияның 
0
0
0
( x , y , z )
 
нүктесінде дербес туындылары бар болады.
2.13
-
анықтама
. 
Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының толық 
өсімшесі (2.1) немесе (2.2) формулаларының бірімен өрнектелетін 
болса, ол функция 
0
0
0
( x , y , z )
 нүктесінде 
дифференциалдана-
тын функция
 деп аталады. Сонымен, бірге берілген функцияның 
толық өсімшесінің 
/
/
/
х
y
z
U
х U
у U
z
∆
∆
∆
+
+
түріндегі басты сызықты бөлігі оның 
толық дифференциалы
 
деп аталады да, 
du
 немесе 
0
0
0
df ( x , y , z )
 түрінде белгіленеді.

32
Сонымен, үзіліссіз дербес туындылары бар кез келген көп 
аргументті функциялар дифференциалданатын функция бо ла ды.
x, y, z
 аргументтерінің өсімшелері олар үшін əрі дифферен-
циалдар болатынын ескерсек, 
f ( x, y, z )
 функциясының толық 
дифференциалы 
/
/
/
х
y
z
dU
U dх U dу U dz
=
+
+
немесе 
/
/
/
0
0
0
х
0
0
0
y
0
0
0
z
0
0
0
df ( x , y , z )
f ( x , y , z )dх
f ( x , y , z )dу
f ( x , y , z )dz
=
+
+
түрінде жазылады. Яғни, көп аргументті функцияның толық диф-
ференциалы оның дербес дифференциалдарының қосынды сына 
тең.
Екі айнымалыға тəуелді 
z
f ( x, y )
=
 функциясының толық 
дифференциалы айтқанға сəйкес 
z
z
dz
dx
dy
х
y
∂
∂
=
+
∂
∂
                                 (2.3)
түріндегідей жазылады.
1
-
мысал
. Берілген 
xy
z
е
=
 функциясының толық дифференци-
алы 
dz
-ті табу керек болсын. Бұл функцияның дербес туындыла-
ры 
/
xy
/
xy
х
у
z
у е , z
x е .
= ⋅
= ⋅
 Демек 
xy
xy
dz
у е dx x е dy.
= ⋅
+ ⋅
2
-
мысал
. 
x
z
ln tg
y
=
 функциясының толық дифференциалын 
табайық.
Шешімі:
z
z
x
x
x
x
x
x
x
x
х
y
y
y
tg
y
tg
y
y
y
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
,
2
2
cos
sin
cos
sin


∂
∂
=
⋅
⋅ =
=
⋅
⋅ −
= −


∂
∂


болғандықтан, 
x
dz
dx
dy
x
x
y
y
y
y
2
2
2
2
2
sin
sin
=
−
.
Теорема
 
2.3.
 
Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясы 
Q
 ашық 
облысының кез келген нүктесінде дифференциалданатын, ал 

33
x
( t ), y
( t ), z
( t ),
ϕ
ψ
θ
=
=
=
 
( )
t
a,b
∈
 функцияларының мəндері 
Q 
облысында жататын жəне олар 
t
 аргументі бойынша дифферен-
циалданатын болса, онда 
U
f ( ( t ), ( t ), ( t ))
ϕ
ψ
θ
=
 күрделі функ-
циясы 
t
 аргументi бойынша дифференциалданады жəне оның ту-
ындысы 
dU
U dx
U dy
U dz
dt
х dt
y dt
z dt
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
                  (2.4)
формуласымен анықталады.
Дəлелдеу
. 
t
 тəуелсіз айнымалыға өсімше берсек, онда 
x, y
 
жəне 
z
 –те сəйкес 
х, у
∆ ∆
 жəне 
z
∆
 өсімшелерін, ал 
u
 функциясы 
u
∆
 өсімшесін иемденеді. Сондықтан 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясы 
М( x, y, z )
 нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан,
/
/
/
х
y
z
dU
U
х U
у U
z
х
у
z
∆
∆
∆
α∆
β∆
γ∆
=
+
+
+
+
+
кескінделуі орынды. Мұнда 
х, у, z
0
∆ ∆ ∆
→
 жағдайында 
, ,
0.
α β γ →
 Тендіктің екі жағын 
t
∆
-ға бөліп, онан соң 
t
0
∆
→
-да 
шекке көшсек,
х
y
z
t
t
t
t
U
x
y
z
U
U
U
t
t
t
t
/
/
/
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆
∆
∆
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
∆
∆
∆
∆
t
t
t
x
y
z
t
t
t
0
0
0
lim
lim
lim
.
α
β
γ
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆
∆
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∆
∆
∆
Ал бұдан
dU
U dx
U dy
U dz
dt
х dt
y dt
z dt
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
себебі
t
t
t
x
dx
y
dy
z
dz
t
dt
t
dt
t
dt
0
0
0
lim
, lim
, lim
.
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆
∆
=
=
=
∆
∆
∆
Сонымен бірге, 
( t ), ( t ), ( t )
ϕ
ψ
θ
 функциялары 
t
 нүктесінде 
дифференциалданатын функциялар болғандықтан, бұл нүктеде 
олар үзіліссіз, демек 
t
0
∆
→
 –да 
х, у, z
0
∆ ∆ ∆
→
. Сондықтан 
t
0
∆
→
-да 
х,
у,
z
0.
α∆ β∆ γ∆
→
 
Мысал
.
 
2
x
z
x sin , x 1 3t, y
1 t
y
=
= +
=
+
 болсын.
3–454

34
Сонда 
2
2
2
dz
z dx
z dy
x
x
x
x
t
x
3 sin
cos
cos .
dt
х dt
y dt
y
y
y
y
y
1 t
∂
∂
=
+
=
+
−
∂
∂
+






Егер 
U
f ( x, y, z )
=
 функциясының 
x, y, z
 аргументтері 
өз алдына 
t,
θ
 екі айнымалыға тəуелді болып жəне осы 
( )
( )
( )
х
х t,
, у
у t,
, z
z t,
θ
θ
θ
=
=
=
 функцияларының 
t,
θ
 
аргументтері бойынша алынған туындылары бар деп 
ұйғарсақ, онда 
( )
( ) ( ) ( )
U
f t,
f ( x t,
, у t,
, z t,
)
θ
θ
θ
θ
=
=
 күрделі 
функциясының 
t
 жəне 
θ
 тəуелсіз айнымалылары бойынша 
алынған дербес туындылары 
U
U x
U y
U z
U
U x
U y
U z
;
t
х
t
y
t
z
t
х
y
z
θ
θ
θ
θ
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
+
=
+
+
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
  (2.5)
түріндегідей өрнектеледі:
1
-
мысал
. 
2
2
u
z
x y , x u v, y
.
v
=
= +
=
 Сонда алдыңғы форму-
лалар бойынша
2
2
2
2
2
z
z x
z y
1
z
z x
z y
u
2xy
2 yx
,
2xy
2 yx
.
u
х u
y u
v
v
х v
y v
v
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
=
+
⋅
=
+
=
+
⋅ −
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂






2
-
мысал
. Егер 
2
2
z
x
y , x
u cos v, y
и sin v
=
−
=
=
болса, онда 
(2.5) формулалары бойынша
z
z
2x cos v 2 y sin v,
2xи sin v 2 yu cos v.
u
v
∂
∂
=
−
= −
−
∂
∂

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: