§7. Толық дифференциалды жуықтап есептеуде қолдану

35
түрінде көшіріп жазуға болады. (2.7) теңдігін жуықталған есеп-
теулерде қолданады. 
Мысал
.
 
3,01
1,02
 өрнегінің жуықталған мəнін табу талап етіледі. 
Шешімі. 
y
z
x
=
 функциясын қарастырамыз. Сонда 
(
)
у
у
3,01
1,02
x
х
,
∆
∆
+
=
+
 мұнда 
х 1, х 0,02, y
3, у 0,01.
∆
∆
=
=
=
=
 
(2.7) форму ласын пайдаланайық. Алдын ала 
/
х
z
 жəне 
/
y
z
 дербес 
туындыларын табамыз:
( )
( )
/
/
/
y
y 1
/
y
y
х
у
х
у
z
x
у x
, z
x
x ln x.
−
=
= ⋅
=
=
⋅
Демек 
3,01
3
3 1
3
1,02
1
3 1
0,02 1 ln 1 0,01,
−
≈ + ⋅
⋅
+ ⋅
⋅
 атап айтқанда 
3,01
1,02
1,06.
≈
 Салыстыру үшін осы өрнектің микрокалькулятор-
да есептелген мəні - 
3,01
1,02
1,061418168.
≈
§8. Толық дифференциал нұсқасының инварианттылығы
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданып, 
толық дифференциалдың 
инварианттылық қасиетке
 ие бо-
латынын көрсетуге болады. Атап айтқанда, 
z
f ( x, y )
=
 функ-
циясының толық дифференциалы оның аргументтері айныма-
лы немесе тəуелсіз айнымалылардың функциялары болуына 
қарамастан түрін өзгертпейді.
Шынында, 
z
f ( x, y )
=
 болсын, мұнда 
х 
пен
 у
 - тəуелсіз айны-
малылар. Онда (1-ретті немесе толық дифференциал)
z
z
dz
dx
dy
х
y
∂
∂
=
+
∂
∂
түріндегідей жазылады ((2.3) формула).
х 
жəне
 у 
айнымалылары 
х
х( u,v ), y
y( u,v )
=
=
 
түрінде кескінделген 
(
)
z
f ( x, y )
f х( u,v ), y( u,v )
F( u,v )
=
=
=
 
күрделі функциясын қарастырайық, мұнда 
u,v
 - тəуелсіз айныма-
лылар. Сонда

36
F
F
z
z
z x
z y
dz
du
dv
du
dv
du
u
v
u
v
х u
y u
z x
z y
z
x
x
z
y
y
dv
du
dv
du
dv
х v
y v
х
u
v
y
u
v
.


∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
+
=
+
=
+
+


∂
∂
∂
∂
 ∂ ∂
∂ ∂ 


∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂




+
+
=
+
+
+










 ∂ ∂
∂ ∂ 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Мұндағы соңғы жақшалардағы өрнектер 
х
х u v
( , )
=
 жəне 
)
,
(
v
u
y
y
=
 функцияларының 
x
x
dx
du
dv
u
v
∂
∂
=
+
∂
∂
 жəне 
y
y
dy
du
dv
u
v
∂
∂
=
+
∂
∂
түріндегі толық дифференциалдары болып табылады. Демек осы 
жағдайда да 
z
z
dz
dx
dy
х
y
∂
∂
=
+
∂
∂
болуын көріп отырмыз.
§9. Айқындалмаған функцияны дифференциалдау
z-
ке қатысты шешілмеген 
F x y z
( , , ) 0
=
                                     (2.8)
теңдеуімен берілген 
z
f ( x, y )
=
 функциясын 
айқындалмаған 
функция
 дейді. (2.8) теңдеуімен берілген айқындалмаған 
функцияның 
z
х
∂
∂
 жəне 
z
y
∂
∂
 дербес туындыларын табайық. Ол үшін 
теңдеудегі 
z-
тің орнына 
f ( x, y )
 функциясын енгізіп,
F x y f x y
( , , ( , )) 0
≡
тепе-теңдігін аламыз. Тепе-тең нөлге тең функциясының дербес 
туындылары да нөлге тең:
F
F
z
F( x, y, f ( x, y ))
0
х
х
z
х
∂
∂
∂
∂
=
+
⋅
=
∂
∂
∂
∂
(
у-
ті тұрақты деп санаймыз),
F
F
z
F( x, y, f ( x, y ))
0
у
у
z
у
∂
∂
∂
∂
=
+
⋅
=
∂
∂
∂
∂
(
х-
ті тұрақты деп санаймыз).

37
Осыдан
(
)
y
х
z
z
z
F
F
z
z
F
х
F
y
F
/
/
/
/
/
,
,
0 .
∂
∂
= −
= −
≠
∂
∂
                   (2.9)
Ескерту 1.
 
(2.8) түріндегі теңдеу бір айнымалыны қалған екі 
айнымалыға тəуелді айқындалмаған функция ретінде əрдайым 
анықтай бере алмайды. Мəселен, 
2
2
2
x
y
z
4 0
+
+
− =
 теңдеуі 
2
2
x
y
4
+
≤
 дөңгелегінде 
2
2
2
2
1
2
z
4 x
y , z
4 x
y
=
−
−
= −
−
−
 
функцияларын анықтайтын болса, 
2
2
3
z
4 x
y
=
−
−
 функ-
циясын 
у 0
≥
 болуында 
2
2
x
y
4
+
≤
 дөңгелегінде анықтайды, 
т.с.с., ал 
(
)
cos x 2 y 3z
4 0
+
+
− =
 теңдеуі бірде-бір функцияны 
анықтамайды.
Айқындалмаған функцияның бар болу теорема-
сы
 
орынды: Егер 
F( x, y, z )
 функциясымен бірге оның 
/
/
/
х
y
z
F ( x, y, z ), F ( x, y, z ), F ( x, y, z )
 дербес туындылары 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесінің кейбір аймағында анықталып, үзіліссіз 
жəне 
/
0
0
0
z
0
0
0
F( x , y , z ) 0, F ( x , y , z ) 0
=
≠
 болса, онда (2.8) теңдеуі 
0
0
( x , y )
 нүктесі аймағында үзіліссіз жəне дифференциалдамалы, 
0
0
0
f ( x , y )
z
=
 болатындай жəне жалғыз 
z
f ( x, y )
=
 функциясын 
анықтайтындай 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесінің аймағы табылады.
Ескерту 2
. 
Бір айнымалыға тəуелді 
у
f ( x )
=
 айқындалмаған 
функциясы 
F( x, y ) 0
=
 теңдеуімен беріледі. Айқындалмаған 
функцияның бар болу шарттары орындалатын болса (келтірген 
теоремаға ұқсас теорема бар), онда айқындалмаған функцияның 
туындысы
(
)
х
х
у
у
F
у
F
F
/
/
/
/
,
0
= −
≠
формуласы бойынша есептелінеді.
1-мысал
.
 
z
2
e
z x y 1 0
+ −
+ =
 теңдеуімен берілген 
z 
функция-
сының дербес туындыларын табу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
z
2
/
/
2
х
y
F( x, y, z ) e
z x y 1, F
2ху, F
x ,
=
+ −
+
= −
= −
 
/
z
z
F
e
1.
=
+
 (2.9) формулалары бойынша 
z
z
z
ху
z
х
х
e
y
e
2
2
,
.
1
1
∂
∂
=
=
∂
+
∂
+

38
2-мысал
.
 
у
f ( x )
=
 айқындалмаған функциясы 
y
у
х
3
2
2
+
=
 
теңдеуімен берілген. 
dу
dх
 туындысын табу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
F x y
y
у
х
3
( , )
2
2 ,
=
+
−
х
y
F
F
y
/
/
2
2,
3
2.
= −
=
+
Демек 
х
у
y
/
2
2
,
3
2
−
= −
+
 атап айтқанда 
dу
dх
y
2
2
.
3
2
=
+
§10. Беттің жанама жазықтығы мен нормалі
Екі айнымалыға тəуелді функция туындыларының гео-
метриялық қолданбасын қарастырайық. 
z
f ( x, y )
=
 функциясы 
кейбір 
2
D R
∈
 облысының 
0
0
( x , y )
 нүктесінде дифференциал-
дамалы болсын. 
z 
функциясын бейнелейтін 
S 
бетін 
0
х
х
=
 жəне 
0
у
y
=
 жазықтықтарымен қияйық (13-сурет). 
0
х
х
=
 жазықтығы 
S 
бетін қандай да 
( )
0
z у
 сызығы бойынша қиятын болсын; сызықтың 
теңдеуі бастапқы 
z
f ( x, y )
=
 функциясындағы 
х-
ті 
M
0
 санымен 
алмастырғаннан 
0
z
f ( x , y )
=
 түрінде шығады. 
0
0
0
0
0
М ( x , y , f ( x , y ))
 
нүктесі 
( )
0
z у
 сызығына тиіс. 
z 
функциясының 
0
М
 нүктесінде 
дифференциалдамалы болғандықтан, 
( )
0
z у
 функциясы да 
0
у
y
=
 
нүктесінде дифференциалдамалы болады. Демек осы нүктеде 
0
х
х
=
 жазықтығындағы 
( )
0
z у
 сызығына 
l
1 
жанамаcын жүргізуге 
болады. 
0
у
y
=
 қимасына айтқанға ұқсас талқылау өткізіп, 
( )
0
z х
 
қисығының 
0
х
х
=
 нүктесінде 
l
2 
жанамаcын жүргіземіз. 
l
1 
жəне 
l
2
 
түзулері 
α 
жазықтығын анықтайды. Оны 
S 
бетінің 
M
0
 нүктесіндегі 
жанама жазықтығы
 дейді. Осы жазықтық теңдеуін құрайық. 
α 
жазықтығы 
0
0
0
0
М ( x , y , z )
 нүктесі арқылы өтетіндіктен, оның 
теңдеуін 
(
) (
) (
)
0
0
0
A x x
B y y
C z z
0
−
+
−
+
−
=
түрінде жазуға болады. Теңдеудің екі жағын 
С-
ға бөліп, 
1
1
А
В
А ,
В
С
С
=
=
−
−
 белгілеулерін енгізген соң, оны 
(
)
(
)
0
1
0
1
0
z z
A x x
B y y
−
=
−
+
−
                     (2.10)
түріне келтіреміз. 
A
1
 
жəне 
B
1
-ді табайық. 
l
1 
жəне 
l
2 
жанамаларының 
теңдеулері сəйкесінше

39
(
)
(
)
y
х
z z
f x y
y y
x
x
z z
f x y
x x
y
y
/
0
0
0
0
0
/
0
0
0
0
0
( , )
,
,
( , )
,
−
=
−
=
−
=
−
=
түрінде жазылады.
l
1 
жанамасы 
α
 жазықтығына тиісті, демек 
l
1
-дің барлық 
нүктелерінің координаталары (2.10) теңдеуін қанағаттандырады, 
олай болса осы айтқанымызды 
(
)
(
)
(
)
y
z z
f x y
y y
x
x
z z
А x x
В y y
/
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
( , )
,
,
 − =
−

=

 − =
−
+
−

жүйесі түрінде кескіндеуге болады. Жүйені 
1
В
-ге қатысты шешіп, 
/
1
y
0
0
В
f ( x , y )
=
 болатынын шығарып аламыз.
l
2 
жанамасына осы істегенімізді қайталап, 
/
1
х
0
0
А
f ( x , y )
=
 
екенін шығарып аламыз. 
1
А
 жəне 
1
В
 мəндерін (2.10) теңдеуіне 
енгізіп, жанама жазықтықтың ізделінді теңдеуін
(
)
(
)
/
/
0
х
0
0
0
y
0
0
0
z z
f ( x , y ) x x
f ( x , y ) y y
−
=
−
+
−
         (2.11)
түрінде табамыз. Мұндайда 
0
М
 нүктесін 
жанасу нүктесі
 дейді. 
2.14
-
анықтама
. 
0
М
 жанасу нүктесіндегі жанама жазықтыққа 
перпендикуляр түзуді сол нүктедегі 
беттің нормалі
 дейді.
 
Түзу мен жазықтықтың перпендикуляр болу шартын пай-
далана (Математика І, VI тарау) еш қиындықсыз нормальдың 
теңдеулерін
х
y
x x
y y
z z
f x y
f x y
0
0
0
/
/
0
0
0
0
( , )
( , )
1
−
−
−
=
=
−
                  (2.12)
түрінде шығарып аламыз.
Егер 
S 
беті 
F x y z
( , , ) 0
=
 теңдеуімен берілсе, онда (2.11) 
жəне (2.12) теңдеулері, дербес туындылардың, айқындалмаған 
функцияның дербес туындылары арқылы
у
х
х
у
z
z
F x y
F x y
f x y
f x y
F x y
F x y
/
/
0
0
/
/
0
0
0
0
0
0
/
/
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )
,
( , )
( , )
( , )
= −
= −
өрнектелулеріне байланысты (§9,( 2.9) формулалары) сəйке 
-
сінше

40
(
)
(
)
(
)
х
у
z
F x y
x x
F x y
y y
F x y
z z
/
/
/
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )
0
−
+
−
+
−
=
жəне
х
у
z
x x
y y
z z
F x y
F x y
F x y
0
0
0
/
/
/
0
0
0
0
0
0
( , )
( , )
( , )
−
−
−
=
=
түріне келеді.
Ескерту
. 
Беттің жанама жазықтығы мен нормалінің тең-
деулері жай нүктелер үшін, атап айтқанда беттің ерекше емес 
нүктелері үшін жазылып отыр. Барлық дербес туындыларын 
нөлге айналдыратын немесе, ең болмағанда, бір дербес туын-
дысын болғызбайтын 
M
0
 нүктесін 
ерекше нүкте
 дейді. Мұндай 
нүктелерді қарастырмаймыз.
Мысал
.
 
2
2
z
x
у
=
+
 айналу параболоидының 
M
0 
(2,1,5)  
нүктесінде жүргізілген жанама жазықтығы мен нормалінің 
теңдеулерін жазу талап етіледі. 
Шешімі.
 
Мұнда 
/
/
/
/
х
y
х
y
z
x, z
y; z ( , )
, z ( , )
.
=
=
=
=
2
2
2 1
4
2 1
2
 (2.11) 
жəне (2.12) теңдеулері бойынша жанама жазықтықтың теңдеуін 
z
х
у
− =
− +
−
5 4(
2) 2(
1)
 немесе 
x
y z
+
− − =
4
2
5 1
түрінде жəне нормаль теңдеуін 
х
у
z
−
−
−
=
=
−
2
1
5
4
2
1
түрінде табамыз. 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: