1. вектор. Определение
жүктеу 0,67 Mb.
|
- Навигация по данной странице:
- ЭЛЛИПС
12. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКАОпределение. Общее уравнение кривой линии второго порядка имеет вид: a x11 2 + 2a xy12 + a y22 2 + 2a x13 + 2a y23 + a33 = 0. Для анализа общего уравнения и исследования кривых второго порядка, вводят понятие инвариантов. Определение. Величины, составленные из коэффициентов общего уравне-
которые не изменяются при линейном преобразовании координат (сдвиге и повороте осей), называются инвариантами. В определителях инвариантов I2 и I3 элементы aij=aji, т.е. определители I2 и I3 являются симметричными. Инварианты характеризуют свойства кривой линии, не связанные с осями координат. Инвариант I2 характеризует тип кривой. Если I2>0, то кривая является эллипсом, I2<0 – гипербола, I2=0 – парабола. I3 характеризует: является ли кривая вырожденной (распадающейся). Если I3=0, то кривая вырождена. Для определения, во что вырождена парабола, вводится дополнительно величина K.
Подробная классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах, приведена в таблице. Таблица
Пример 14. Определить какому типу кривой линии соответствует уравнение − x2 + 2xy − y2 + 2x − 4y + 3 = 0. Решение. Такие задачи решаются следующим образом: вычисляются инварианты, рассматриваются их величины и по таблице определяется тип кривой.
a11 a12−1 1 2. Вычислим инварианты I1 = a11 +a22 =−1−1=−2. I2 == 0. a21 a221 −1 I2=0, следовательно кривая параболического типа. Для выяснения является ли парабола вырожденной, вычислим I3: −1 1 1 I3 =1 −1 − 2= 3 − 2 − 2 − (−1− 4 + 3) =−1+ 2 =1. 1 − 2 3
I3≠0 – кривая не вырождена. В этом случае K вычислять не нужно, т.к. K показывает, во что вырождена парабола, но в данном примере парабола не вырождена. Ответ: Уравнение соответствует невырожденной параболе. Общее уравнение кривой второго порядка можно привести к каноническому виду с помощью поворота и сдвига осей координат, т.е. линейным преобразованием координат. Канонические уравнения кривых второго порядка будут рассмотрены далее. С процедурами приведений общих уравнений к каноническим видам можно ознакомиться в работе [6]. ЭЛЛИПСОпределение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 31). F1, F2 - фокусы эллипса, r1 и r2 - фокальные радиусы. r1+ r2=const= 2a > F1F2. 2 2
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: x + y =1. a2 b2 Эллипс симметричен относительно осей координат, центрально симметричен относительно начала координат и называется центральной кривой второго порядка. Параметры a и b называются полуосями. Прямоугольник со сторона- ми 2a и 2b называется основным.
Все лучи, исходящие из фокуса F1 отражаясь от x эллипса собираются и проходят через другой фокус
Определение. Эксцентриситетом называется отношение ε= c , a с= a2 −b2 при a>b или ε= c , с= b2 −a2 при b>a. Фокальные радиусы находятb ся по формулам r1,2=a±ε x, при a> b; r1,2=b± ε x, при b>a . Уравнение касательной к эллипсу в точке M(x0, y0) имеет вид: xx20 + yy20 =1. a b Вектор нормальный к касательной имеет координаты x02 , y20 . a b
Если a=b, то c=0, r1=r2 =a=b=R, фокусы F1, F2 находятся в одной точке - в начале координат. В этом частном случае эллипс представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом R. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке М (а, b) имеет вид: (x-a)2 + (y-b)2 = R2. Пример 15. Дано уравнение эллипса x2 + 4y2 = 4. Привести уравнение к каноническому виду, найти полуоси эллипса и построить его. Решение. Заданное уравнение разделим на 4 и запишем в виде: x2 y2 2 + = 1, отсюда следует, что a = 2, b = 1. 2 12
В осях координат построим прямоугольник со сторонами 2a = 4 и 2b = 2. Внутри этого прямоугольника построим эллипс (рис. 33). x -1 Рис. 33
Пример 16. Дано уравнение эллипса 9x2+16y2=144. Найти эксцентриситет, сумму фокальных радиусов, расстояние между фокусами. Решение. Приведем уравнение к каноническому виду, для этого обе части уравнения разделим на 144: x2 + y2 =1, a = 4, b = 3. 42 32
Так как a > b, то с = a2 −b2 = 42 − 32 = 7 , ε= c = , r1 +r2 = 2a = 8, a 4 F F1 2 = 2с = 2 7 . Ответ: ε= 7 4, r1 +r2 = 8, F1F2 = 2 7 . Пример 17. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что малая полуось b= 8 и эксцентриситет ε= 0,6 . Решение. a>b, c= a −b , ε= c . Подставим величины из условия задачи в a указанные формулы: c= a − 8 , 0,6= c , 0,6a = a2 − 82 , a = 5 . a x2 y2 Ответ: + =1. Пример 18. Даны координаты трех точек А(1;0), В(0;1) и С(0;2). Написать уравнение окружности, проходящей через заданные точки. Решение. Подставим в уравнение окружности координаты данных точек, получим три уравнения: (1− a)2 + b2 = R2, a2 + (1− b)2 = R2, a2 + (2 − b)2 = R2. Эти уравнения представляют систему трех уравнений с тремя неизвестными a,
22 Ответ: (x −1,5)2 + (y −1,5)2 = 2 . Пример 19. Дано уравнение окружности x2+4x+y2-6y-15=0. Написать уравнение в каноническом виде, найти координаты центра О(x0, y0) и радиус R. Решение. В заданном уравнении выделим полные квадраты: x2+2⋅ 2⋅ x + 4 − 4 + y2 − 2 ⋅3⋅ y + 9 − 9 −15 = 0 ; (x + 2)2 + (y − 3)2 = 28 . Ответ: (x + 2)2 + (y −3)2 = ( 28)2,O(−2;3),R = 28. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых x до двух заданных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, т.е. r1 − r2 = 2a (рис. 34). Для гиперболы характерно F1F2>2а. Каноническое уравнение гиперболы x2 y2 имеет вид: 2 − 2 =1. a b Гипербола состоит из двух ветвей (сплошные линии на рис. 34), имеет центр симметрии в начале координат, две оси симметрии – OX и OY. Точки А1(а;0) и А2(-а;0) называются вершинами. Фокусы имеют координаты F1(-с;0), F2(с;0). Отрезок А1А2=2а называется действительной осью и B1B2=2b – мнимой осью гиперболы. Расстояние от фокуса до центра c = a2 +b2 . Величина ε= c a называется эксцентриситетом гиперболы (ε>1). Гипербола имеет две асимпто- ты: y = b x y, = − b x . Эти асимптоты являются продолжением диагоналей осa a новного прямоугольника (на рис. 34 он отмечен мелким пунктиром). Величины r1 и r2 называются фокальными радиусами и определяются по формулам: r1 = εx − a,r2 = εx + a . Гипербола с параметрами a=b называется равносторонней. Уравнение x2 y2 2 − 2 = −1 описывает гиперболу, ветви которой направлены вверх и вниз a b (пунктирные линии на рис. 34), 2а – мнимая ось, 2b – действительная ось. Эта гипербола называется сопряженной, она имеет тот же основной прямоугольник и те же асимптоты. Уравнение касательной в точке M(x0, y0) имеет вид: xx20 yy20 Нормальный вектор N = x02 ,− y20 . − =1.
a b a b Оптическое свойство гиперболы Лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 35). Пример 20. Привести данное уравнение гиперболы 2x2 −9y2 =18 к каноническому виду, найти основ- Рис. 35 ные параметры: действительную и мнимую полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот, координаты вершин, координаты фокусов. Решение. Разделим уравнение на 18 и приведем его к виду: x2 y2c − =1. a=3, b= 11. ε= = . Уравнения ( 2)2a асимптот – y = x, y =− x. Координаты вершин – А1(3;0), А2(-3;0). Координаты фокусов – F1(- 11 ;0),F ( 11 ;0). Пример 21. Привести уравнение гиперболы 16x2 − 4y2 = 64 к канониче-
скому виду и написать уравнение касательной к гиперболе в точке M ,1. 4
2 4
b=4. Проверим, лежит ли заданная точка на гиперболе. Подставим ее координа- 68 12 ты в уравнение: 2 2 − 2 = 1; 1=1. Координаты удовлетворяют уравнению ги- *2 4 перболы, значит, точка лежит на кривой. Подставляем координаты точки M в уравнение касательной, записанной в общем виде, получим: 2 2 =1. 2 4
жүктеу 0,67 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау