Учебное пособие по дисциплине «Механика»

п

Рис.  17

21 

(№7.5.8,[4]).  Задан  закон  движения  точки  в  прямоугольной  системе 

координат: 

x = cost, 

y = 3sint. 

Определить 

момент 

времени, 

когда

криволинейная координата точки s = 7 м, если при to = 0, So = 0.  Точка движется 

в положительном направлении координаты s.

Р е ш е н и е .   Используя  формулы  (7)  и  (8),  определим  скорость  точки:

x = -3 sin t,  у  = 3cost,  V =V9sin2t + 9cos2t = 3.  Закон  движения  точки  вдоль

траектории определим по формуле (12):  ^  = V , откуда найдем  ^  = 

3

, 

J 

ds = 

3 J 

dt,

s = 3t+C,  где  С -   постоянная  интегрирования.  Подставляя  в  последнее 

выражение  начальные  условия  t0 = 0  и  So = 0  находим,  что  С = 0.  Тогда  закон 

движения  точки  примет  вид  s = 3t.  Подставляя  в  это  равенство  значение 

криволинейной координаты s = 7, найдем время t = 7/3 = 2,33 с.

22 (№7.6.6, [4]).  Касательное  ускорение  точки 

ах

 = 0,2t.  Определить 

момент  времени  t,  когда  скорость  V  точки  достигнет  10 м/с,  если  при  to = 0 

скорость V0 =2 м/с.

Р е ш е н и е .   Используя формулу (13),  определим скорость точки  —  = 

ах,

dt

jdV = 

jaz

 d t, 

V = 0,2jtdt = 0,lt2 + С,  где 

С -  

постоянная 

интегрирования.

Подставляя  в  последнее  выражение  начальные  условия  to = 0  и  V0 = 2 м/с 

находим,  что  С = 2.  Таким  образом,  скорость  точки  определяется  выражением 

V = 0,It2 + 2.  Подставляя в это равенство  значение  скорости  V =  10 м/с,  найдем 

время t = 8,94 с.

23 (№7.7.17,[4]).  Дано уравнение движения точки  по траектории  s = 0,6t2. 

Определить  нормальное  ускорение  точки  в  момент  времени,  когда  ее 

координата s = 30 м и радиус кривизны траектории р =  15 м.

Р е ш е н и е .   Подставляя  значение  криволинейной  координаты  s = 30 м  в 

уравнение  движения  точки,  найдем  время: 

t 

= 

30/0,6 

= 

7,07 с. 

Скорость  точки 

определим по формуле (12):  V =s=  l,2t,  v |t=707 = 1,2*7,07 = 8,48 м/с.  Нормальное

ускорение 

точки 

находим 

по 

второй 

формуле 

(13): 

ап

 = V2/p = 71,9/15 = 4,80 м/с2.

24 (№7.7.19,[4]). Точка движется по окружности, радиус которой г = 20 м, 

со  скоростью V = е\  Определить момент времени,  когда нормальное ускорение 

точки 

ап =

 3 м/с  .

Р е ш е н и е .  Для определения времени используем вторую  формулу (13): 

ап

 = V2/ r ,  V2 = 

an-r

,  e2t = 60.  Прологарифмируем  полученное

1 

/-г\  4-

 

In 60 

4,094

показательное уравнение:  2 t lne =  InoO,  t =   ——  = 

~ 2,05 c.

25 (№7.8.10,[4]).  Задано  уравнение  движения  точки  по  криволинейной 

траектории:  s = 0,2t  + 0,3t.  Определить  полное  ускорение  точки  в  момент 

времени t = 3  с, если в этот момент радиус кривизны траектории р =  1,5 м.

Р е ш е н и е .   Определим  скорость,  касательное  и  нормальное  ускорения 

точки  по  формулам  (12),  (13):  V=s =0, 4t  + 0,3,  V|t=3 = 1,5 м/с,  ax='s'=0,4M/c  ,

«п = V /р = 2,25/1,5 =  1,5 м/с  .  Полное  ускорение  точки  определим  по  формуле 

(14): 

а = ^а2

т

 + а] =

 ^0,16 + 2,25 =  1,55 м/с2.

жүктеу 1,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: