| dt
-acosincot,
2
Vy = ^ ^ - = 0,5acocoscot,
y
dt
VM=VVx +Vy2
—
a2(a2
sin2
oaf
+ — а2ю2 cos2
cot
= 0,5aGO V^sin^roH-l.
4
4
Найдем уравнение движения ползуна В и определим его скорость:
dxt
хв = 2xi = 2acoscot,
Vв
dt
= 2acosincot.
2
12
(№12.7,[3]). Движение точки задано уравнениями x =
2t,
y =
t ( t -
в
секундах, х и у - в сантиметрах). Определить величины и направления скорости
и ускорения точки в момент времени
t
= 1 с.
Р е ш е н и е . Величины и направления скорости и ускорения точки
определяем по фомулам
(7),
(8) и (10), (11): V
x
=
2
cm
/
c
,
Vy =
2t,
V
=V4 + 4t2 ,
V|t=1 =
2
V
2
см /с
, ax — 0, ay —
2см /с2
,
a —
2см/с2
,
a\t=l
- 2
см/с2
, cosai = —
^~, cosa2 — 0.
Таким образом, величины и направления скорости и ускорения в момент
времени t = l c соответственно равны V =
2
V
2
см /с
, a =
2 см/с2
, (У лх) =
45°,
( а лх) = 90°.
13
(№12.2,[3]).
Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней
в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см.
Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным.
Р е ш е н и е . При равнозамедленном движении скорость и ускорение
точки определяются формулами:
V = V0 - a t ,
s = V01 -
a
t /2. Выразим
ускорение из первой формулы:
а =
(V - Vo)/t. Подставим это значение во
вторую формулу: s = V0 t - 0,5(У0 - V )t. Учитывая, что в момент остановки
t = 0,02 c, s = 0,06 м, V = 0, из последнего выражения найдем:
s = 0,5V01 ,
откуда V0 = 0,06/(0,5-0,02) = 6 м/с.
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
14 (№7.4.10,[4]). Положение линейки АВ определяется углом ф = 0,2t.
Определить в см/с проекцию ускорения точки М на ось Оу в момент времени
t = 3 с, если расстояние AM = 50 см (рис. 12).
Р е ш е н и е . Как видно из рис. 12 ордината точки М равняется:
у = AMsuKp = 50sin(0,2t). Определяем проекцию скорости точки на ось Оу. По
первой формуле (7) получаем Vx = 10cos(0,2t). Теперь находим проекцию
ускорения точки на ось Оу. Первая формула (10) дает:
ау = -
2sin(0,2t) ,
a
y\t=з =-2-0,565 = 1,13 см/с2.
15 (№7.4.14,[4]). Дано ускорение точки a=2t i + t2j. Определить угол в
градусах между вектором
а
и осью Ох в момент времени t = 1 с (рис. 13).
Р е ш е н и е . По условию задачи
ах =
2t,
ау =
t . В момент времени t = 1 с
проекции ускорения соответственно равны:
ах\ы =2,
ay\t=l =
1. Как видно из
рис. 13: tga =
ау/ах =
0,5 , a = arctg0,5 = 26,6.
13
16
(№7.4.20,[4]). Точка движется по прямой Ох с ускорением
ах =
0,7t.
Определить координату х точки в момент времени t = 5 с, если при t0 = 0
скорость V0 = 0 и координата х0 = 0.
Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся первой формулой (10):
^ ^ = а х . Интегрируя уравнение
fdVx
= [
ах
dt, найдем Vx = —
1
2+ Сь где Q -
dt
J
J
2
постоянная интегрирования. Постоянную Ci находим из начального условия:
при to = 0, V0x = 0. Подставляя эти значения в полученное решение, получим
0 7
Ci = 0 и, следовательно, Vx = -^-t2. Для определения координаты х
dx
воспользуемся первой формулой (7): — =
Vx
. Далее поступая так же, как и при
dt
г
е
0 7 t 3
решении первой части задачи находим:
dx
=
Vxdt
,
х =
—
----- + С2
. При
to =
0,
J
J
2 3
0 7
х0 = 0, следовательно С
2
= 0. Таким образом, х = — t3, x|t=5 »14,6.
6
17 (№12.12,[3]). Прямолинейное движение точки происходит по закону
s =-^- (at+e"at), где а и g - постоянные величины. Найти начальную скорость
а
точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости. Ответ: V0 = 0,
а =
g - aV.
18 (№7.4.7,[4]). Положение кривошипа ОА определяется углом ср = 2t
(рис. 14). Определить проекцию ускорения
ах
точки А в момент времени t = 1 с,
если длина ОА = 1 м. (1,66)
19 (№7.4.12,[4]). Положение точки на плоскости определяется ее
радиусом-вектором г = 0,3t2i + 0,lt3j . Определить модуль ускорения точки в
момент времени t = 2 с. (1,34)
20 (№7.4.15,[4]). Дано уравнение траектории точки х = 0,1у2. Закон
движения точки в направлении оси Оу выражается уравнением у = t .
Определить компоненту ускорения
ах
в момент времени t = 2 с. (4,8)
| 
