Учебное пособие по дисциплине «Механика»

жүктеу 1,71 Mb.

Pdf просмотр

бет	6/34
Дата	11.01.2022
өлшемі	1,71 Mb.
	#32379
түрі	Учебное пособие

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34

Павленко

о

о

у2 = 64t2. Следовательно, траектория точки - полупрямая 4 х -З у = 0, х > 0, у > 0

с началом в точке х = 0, у = 0 (рис. 6). Закон движения точки определяется

уравнением s - St2.

2) х = 3sint, у = 3cost.

Р е ш е н и е . Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим из

уравнений движения время t. Для этого преобразуем уравнения движения:

х/3 = sint, у/3 = cost. Возведя обе части этих уравнений в квадрат и складывая

их, получим уравнение траектории х2/9 + у2/9 = sin21 + cos21,

x2 + у2 = 9. Из тех

же уравнений находим, что

в начальный момент времени to — 0 точка

находится в положении М0(0; 3); в момент времени, например, ti = тг/2 с - в

положении Mi(3; 0) и т.д. Для определения закона движения точки по

_____________________

траектории проинтегрируем уравнение (5): s = jV9cos2t + 9sin2 tdt = 3Jdt = 3t.

Здесь x2 = 9 cos21,

y2 =9 sin21. Следовательно, траектория точки - окружность

х2 + у2 = 9 с началом в точке х = 0, у = 3 (рис.

7).

Закон движения точки

определяется уравнением s = 3t.

(№10.12[3]). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью

со = 10 рад/с. Длина ОА = АВ = 80 см. Найти уравнения движения и траекторию

средней точки М шатуна, а также уравнение движения ползуна В, если в

начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси

координат указаны на рис. 8.

Р е ш е н и е . Положение точки М и ползуна В можно определить их

декартовыми координатами. Для этого из треугольников OAD, АМС и MBN

найдем Xi = OAcoscot = 80cosl0t, х2 = AMcoscot = 40cosl0t, ум = MBsincot = 40sinl0t.

Откуда получим хм = Xi + x2 = 120cosl0t, xB = 2xi = 160cosl0t. Чтобы найти

уравнение траектории точки, исключим из уравнений движения время t. Для

этого преобразуем уравнения движения хм/120 = coslOt,

ум/40 = sinlOt,

х^/1202 = cos210t,

Ум/402 = sin210t. Складывая левые и правые части двух

последних

уравнений,

получим

уравнение

траектории

хм/1202 + yL/402 = cos210t + sin2 lOt, x^/l202 + y^/402 = 1.

Таким

образом:

1) уравнениями

движения

точки

являются:

хм = 120cosl0t, yM = 40sinl0t; 2) траекторией точки М является эллипс

х2/1202 + у2/402 =1; 3) уравнение движения ползуна В: хв = 160cosl0t.

4 (№7.1.2, [4]). Задано уравнение движения точки r = 3ti + 4tj. Определить

координату у точки в момент времени, когда г = 5 м.

Р е ш е н и е . Согласно формуле (2) из условия задачи имеем х = 3t, у = 4t.

Используя формулу для определения модуля вектора г = д/х2 + у2 , найдем

5 = W9 + 16, t = 1 с. Следовательно, у = 4Т = 4 м.

Рис. 9

Рис. 10

5 (№7.1.5,[4]). Положение кривошипа определяется углом (рад) ср = 0,2t

(рис. 9). Найти координату хв ползуна в момент времени t = 3 с, если длины

звеньев ОА - АВ - 0,5 м.

Р е ш е н и е . Проведем АС-LOB. Из треугольника ОАС найдем

ОС - OAcoscp - 0,5cos0,6 - 0,5-0,825 - 0,413, хв - 2-ОС.

Следовательно, хв = 2-0,413 ~ 0,825.

6 (№7.1.9,[4]). Для точки А заданы уравнения движения х = 2cost,

у = 3sint. Определить угол между осью Ох и радиусом-вектором

О А

точки в

момент времени t = 1,5 с.

Р е ш е н и е .

Для

момента

времени

t = 1,5 с

имеем

xi = 2-cosl,5 = 2-0,0707 = 0,1414, yi = 3-sinl,5 = 3-0,997 = 2,99. Обозначим угол

между Ох и

О А

через ср (рис. 10). Как видно из рисунка tgcp = yi/xi = 21,14,

ср = arctg21,36. Следовательно,

= 1,52 рад.

7 (№10.3,[3]). Построить траекторию точки, радиус-вектор которой

изменяется согласно уравнению f = f0+t-e (г и ё - постоянные заданные

векторы,

- координатные орты). Ответ: Полупрямая, проходящая через

начальную точку М0(г0) параллельно вектору ё .

8 (№7.1.7,[4]). Заданы уравнения движения точки x = 2t; у = 1 -2sin0,lt.

Определить ближайший момент времени, когда точка пересечет ось Ох. (5,24)

9 (№7.1.8,[4]). Заданы уравнения движения точки х = sint, у = cost.

Определить ближайший момент времени, когда радиус-вектор точки,

проведенный из начала координат, образует угол 45° с осью Ох.

(0,785)

жүктеу 1,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34