2.3 Колебательный спектр двухатомной одномерной цепочки.
Акустическая и оптическая ветви колебаний
Рассмотрим продольные колебания атомов одномерной решетки с базисом, когда на
одномерную элементарную ячейку Бравэ с параметром 2
a
приходится два атома разных
сортов, массы которых обозначим
M
1
и
M
2
(рис. 5.8). Силы, действующие между парами
различных атомов, одинаковы [59]. Пусть вдоль прямой линии располагается
N
ячеек.
Система обладает 2
N
степенями свободы.
Рис. 5.8. Двухатомная линейная цепочка
Обозначим 2
n
четное положение равновесия атомов с массой
M
1
, а 2
n+
1– нечетное для
атомов с массой
M
2
.
Пусть
– смещение атомов с массой
M
1
вдоль направления
x
в момент времени
t
относительно его положения равновесия. Соответственно
– смещение атома с массой
M
2
из его положения равновесия. Пусть (вновь, как и для моноатомной цепи) смещения
малы относительно межатомного расстояния
a
, а силы взаимодействия квазиупругие.
Будем учитывать взаимодействие только соседних атомов. Тогда на выбранные атомы
будут действовать силы
,
.
(5.34)
Воспользуемся вторым законом Ньютона для записи уравнения движения атомов
обоих типов:
,
.
(5.35)
Учтем, что колебания атомов разных масс могут происходить с разными амплитудами
и
. Решение системы уравнений (5.35) будем искать в виде бегущих волн:
,
.
(5.36)
Подставим эти решения в уравнения (5.35) и сократим общий множитель
в каждом из уравнений. Получим систему уравнений относительно
амплитуд смещений и .
.
(5.37)
Ненулевым значениям амплитуд
и
соответствует обращение в нуль
определителя из коэффициентов системы уравнений (5.37).
,
(5.38)
и
(5.39)
Отсюда получим уравнение, связывающее частоту колебаний
и волновое число
k
:
(5.40)
Корни этого биквадратного уравнения
.
(5.41)
Уравнение (5.41) также можно записать как
Частота колебаний
не может быть отрицательной величиной, поэтому далее
рассматриваются только положительные значения. Из формулы (5.41) следует, что
каждому волновому числу
k
соответствуют два значения частоты
, а значит две
различные ветви спектра частот
и
(
моды колебаний
), причем как частоты
,
так и частоты
не зависят от номера атома
в цепочке
n
. Итак, эти частоты являются
частотами собственных колебаний любого из атомов цепочки.
Рассмотрим поведение ветвей частот
и
в зависимости от волнового числа
k
.
При малых волновых числах
k
(вблизи центра зоны Бриллюэна), т. е. когда
ka
1
справедливо приближенное равенство
. Подставляя этот результат в
уравнение (5.41), получим
.
(5.42)
При
для ветви частот
получим
,
(5.43)
поскольку в этом случае вторым слагаемым под корнем в уравнении (5.42) можно
пренебречь.
Рассмотрим ветвь колебаний
. В этом случае вторым слагаемым под корнем в
уравнении (5.42) пренебречь нельзя. Обозначим
и
разложим
в
ряд, ограничиваясь двумя первыми слагаемыми разложения
Тогда в силу малости членов более высокого порядка по
x
, получим для
выражение
.
(5.44)
Таким образом, при малых значениях волнового числа частоты колебаний
и
записываются в виде:
,
.
(5.45)
Если принять, что массы колеблющихся атомов одинаковы (
), то в этом
случае выражение
совпадает с частотой колебаний цепочки из одинаковых атомов.
Значение скорости звука для этой ветви
.
(5.46)
Наряду с
в одномерной цепочке атомов двух сортов, в отличие от одномерной
моноатомной цепочкой, присутствует дополнительная
ветвь колебаний. При малых
значениях волнового числа
k
частоты колебаний
определяются величиной
коэффициента квазиупругой силы
и приведенной массой атомов цепочки
.
Чтобы выяснить физический смысл
ветви, сопоставим значения амплитуд
колебаний ветвей
и
при малых значениях волнового числа
k
.
Подставим формулу (5.45) для
в (5.37):
и найдем отношение амплитуд смещений атомов разного сорта:
.
(5.47)
Из уравнения (5.47) следует, что при малых волновых числах
k
амплитуды смещений
обратно пропорциональны массам атомов, а знак «-» показывает, что соседние атомы (т. е.
атомы разного сорта) колеблются в противофазе (рис. 5.9).
Рис. 5.9. При малых значениях волнового числа
k
атомы разного сорта колеблются в
противофазе
Центр масс системы имеет амплитуду смещений
(т. к. из формулы (5.47)
следует, что
).
Следовательно, центр масс системы при колебаниях с
частотами
остается фиксированным. Подобные колебания могут быть, например,
возбуждены в ионных кристаллах электрическим полем световой волны. Поэтому
ветвь колебаний получила название
оптической
.
Подстановка
из
(5.45)
в
(5.37)
приводит
к
выражению
,
и отношение амплитуд смещений атомов разного
сорта в этом случае имеет вид
.
(5.48)
Вблизи центра зоны Бриллюэна (при k
0) знаменатель в правой части выражения
(5.48) стремится к единице, и отношение амплитуд также становится равным единице:
.
(5.49)
Равенство (5.49) показывает, что в данном случае колебания происходят в фазе и
имеют приблизительно одинаковые амплитуды. Это характерно для акустической волны,
что и было причиной названия ветви колебаний
акустической ветвью
.
Таким образом, характер колебаний атомов в двухатомной одномерной цепочке
оказывается значительно более сложным, чем в моноатомной.
| 
