Тепловые свойства твердых тел


 Дисперсионные кривые для двухатомной одномерной цепочки



жүктеу 1,25 Mb.
Pdf просмотр
бет6/22
Дата26.01.2022
өлшемі1,25 Mb.
#37247
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
L2

 

2.4  Дисперсионные кривые для двухатомной одномерной цепочки 

Построим  дисперсионные  кривые  для  оптических 

и  акустических 

 колебаний двухатомной одномерной цепочки атомов. 

При малых значениях волнового числа 

 



k

  значения 

 возрастают пропорционально 

модулю волнового числа 

Пользуясь уравнением (5.41) легко установить, что максимальное значение частоты для 



акустической ветви колебаний достигается при 

, т. е. на границе зоны 

Бриллюэна, где 

. Это значение равно 

. При этом групповая скорость 

обращается в нуль 

. Таким образом, поведение дисперсионной кривой 

 полностью аналогично таковому для моноатомной цепочки, рассмотренной выше, и 

описывается нижней (

акустической

) ветвью (рис. 5.10, а). 

Для оптической ветви при значениях волновых чисел 

k

,

 

близких к нулю частота имеет 

максимальное значение, равное 

. С ростом волнового числа 

значение 

 уменьшается (рис. 5.10, а), достигая при 

своего минимального 

значения 

. При 


 фазовая скорость оптических колебаний 

 стремится к бесконечности, а групповая 

 равна нулю. 

Таким образом, весь спектр разрешенных частот для цепочки, состоящей из 

чередующихся атомов двух сортов с массами 

M

1

 и 



M

2

 (причем 



M

1

>



M

2

), заключен в 



интервалах 

               



от 0 до 

 

для 



 акустических частот; 

               



от 

 до 


 

для 


 оптических частот. 

Между этими интервалами расположена полоса запрещенных частот в пределах от 

 

до 


 

(рис. 5.10). 

 



 

Рис. 5.10. Дисперсионные кривые для двухатомной линейной цепочки в случаях: а − 

приведенной зоны Бриллюэна (полоса запрещенных частот выделена штриховкой); б − 

расширенной зоны Бриллюэна [65] 

 При большой разнице в массах атомов в цепочке (

M

1

 >> 



M

2

)



 

интервал частот 

оптических колебаний очень узок. Все частоты оптических колебаний в этом случае 

близки к предельному значению частоты 

,

 

что следует из разложения подкоренного выражения в ряд и пренебрежения всеми 



слагаемыми со степенью выше 1: 

.

 



Дискретный набор длин волн 

, распространяющихся в цепочке, состоящей из 



чередующихся атомов двух сортов, может быть найден из условий цикличности 

  

При этом должно выполняться равенство  



 что имеет место, когда 

. Последнее приводит к выражению 

, где 

n

 − целое число. 

Отсюда 

 (т. к. 


). 

(5.50) 


Из условия (5.50) можно найти интервал длин волн 

. При 



 значение 

максимальной длины волны, способной распространяться в рассматриваемой цепочке, 

будет равно длине этой цепочки: 

. Минимальная длина волны при 

 будет



. Следовательно, минимальная длина волны 



, распространяющейся в 

цепочке из атомов двух сортов, вдвое больше, чем в моноатомной цепочке. Число 

различных длин волн 

 в каждой ветви спектра определяется числом дискретных 



значений волнового числа 

k

, расположенных в интервале от 

 до 

, и равно 



Поскольку ветвей колебаний в рассматриваемом случае две, то полное 

число различных состояний, соответствующих акустической и оптической ветвям 

спектра, как и в случае моноатомной цепочки, равно 



N

 – полному числу атомов в цепочке. 




Дискретный (или, точнее, квазидискретный, поскольку расстояния между соседними 

значениями частот очень малы) спектр частот   определяется набором модулей волновых 

чисел, заключенных в пределах от 

 до 


, внутри которых находится первая зона 

Бриллюэна для двухатомной цепочки.  

В обеих ветвях колебаний каждому значению частоты   соответствуют две волны с 

волновыми числами 

 и 

, поэтому зависимость 



 обычно представляется 

кривыми, расположенными симметрично относительно оси   в зоне Бриллюэна и 

называется 

приведенной зоной Бриллюэна

 (рис. 5.10, а). Вместе с тем, период решетки, 

равный в данном случае 2

определяет период функции 

, равный размерам зоны 

Бриллюэна: 

. Это позволяет транслировать кривую 

 по оси 


k

 на 


произвольное число периодов 

, и строить 



расширенную зону Бриллюэна

 (рис. 5.10, б). 

Рассмотрим, как меняется характер акустических 

 и оптических 

колебаний 

при приближении к границе зоны Бриллюэна 

. Вблизи этой границы (т. е. 

при 


, где 

) отношения амплитуд колебаний тяжелых и легких атомов 

имеют вид: для акустической ветви 

(5.51) 



для оптической ветви 

(5.52) 



Выражения (5.51) и (5.52) показывают, что по мере приближения к границе зоны 

Бриллюэна (т. е. при 

) происходит уменьшение амплитуды   колебаний легких 

атомов в акустической ветви и амплитуды   колебаний тяжелых атомов − в оптической. 

При этом, как и при малых значениях волнового числа 

k

, в акустической ветви соседние 

атомы колеблются в фазе, а в оптической − в противофазе. 

При переходе от цепочки, состоящей из атомов двух сортов, к моноатомной цепочке 

 область запрещенных частот между ветвями 

 и 


 исчезает. При этом 

оптические ветви в интервалах 

 и 

 переходят в 



акустические ветви в интервалах 

 и 


 соответственно. Так как 

при этом меняется период трансляции, исчезают оптические ветви в интервале 

 и акустические ветви в интервалах 

 и 


. Таким образом, при сближении масс атомов в цепочке спектр 

акустических и оптических колебаний вырождается в две акустические ветви (рис. 5.5). 




жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау