=
, а
p
при
p
1 равно нулю. Тогда уравнение (5.21) преобразуется к виду
,
(5.22)
.
(5.23)
В выражении (5.23) в правой части присутствует знак минус, однако, т. к. частота не
может быть отрицательной, то этот знак относиться к направлению волнового вектора, т.
е. при отрицательных значениях волнового числа
, следовательно,
.
Проанализируем формулу (5.23):
1.
Видно, что частота колебаний не зависит от номера атома в цепочке, а это значит,
что все атомы в ней колеблются с одной и той же частотой.
2.
Поскольку
, то максимальное значение частоты
(при
).
Это условие выполняется при
. Отсюда следует, что максимальное значение
частоты соответствует волновому числу
. Длину волны
имеющей
максимальную частоту, можно определить из условия
, откуда
.
Таким образом, минимальная длина волны, распространяющейся вдоль одномерной
цепочки одинаковых атомов, равна удвоенному периоду цепочки.
Наиболее интересно здесь существование нижнего предела
min
, т. к. в непрерывной
упругой среде он отсутствует. Причина существования
min
состоит в том, в дискретной
среде волны с длиной меньше 2
a
распространяться не могут. Это наглядно видно на
изображении мгновенного профиля поперечной волны (рис. 5.4), где соседние атомы,
обозначенные кружками, движутся в противофазе.
Рис. 5.4. Мгновенный профиль поперечной волны
3.
Максимальная частота
max
определяет собственную частоту колебаний атомов под
действием силы
, как следует из уравнения
Эта сила действует на атом в цепочке в том случае, когда соседние атомы
колеблются в противофазе с одинаковой амплитудой.
4.
При малых значениях волнового числа (
k
0)
.
(5.24)
Из формулы (5.24) следует, что при
k
0 частота колебаний линейно зависит от
волнового вектора. Эта зависимость аналогична рассмотренной выше зависимости
частоты от волнового вектора для звуковых волн, распространяющихся в непрерывной
упругой среде (в однородной струне). Как было показано для однородной струны,
скорость распространения упругой (звуковой) волны
,
где
E
– модуль Юнга
−
плотность материала струны.
Установим аналогичную зависимость для рассматриваемого здесь случая одномерной
моноатомной цепочки. Пусть
f
n,n+1
− сила, действующая на
n
-й атом со стороны
n
+1-го. В
соответствии с формулой (5.10)
.
Относительное смещение атомов
будет равно
, тогда
.
(5.25)
Плотность моноатомной цепочки равна
m/a
, таким образом, скорость распространения
звуковой волны в этом случае:
.
(5.26)
Следовательно, в случае низких частот дискретность цепочки не сказывается, и частота
зависит от волнового числа
k
с коэффициентом пропорциональности, равным скорости
звуковой волны, распространяющейся в цепочке
. Тогда цепочку можно
рассматривать как однородную упругую струну или стержень. С возрастанием волнового
вектора
k
наблюдается отклонение от линейного закона –
дисперсия частоты
. Поэтому
зависимость
(k)
называется дисперсионной (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Дисперсионная кривая для линейной цепочки одинаковых атомов [78]
Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения
акустических волн как упругая струна только тогда, когда длины этих волн значительно
превышают удвоенный период цепочки 2
а
. Короткие волны, которым соответствует более
высокая частота колебаний частиц, распространяются медленнее, чем длинные,
вследствие инерции масс частиц, образующих цепочку.
Достарыңызбен бөлісу: |