очень сложную задачу. Допустим, что трехмерная решетка состоит из одинаковых атомов
Поскольку каждый атом в решетке имеет три степени свободы, то весь кристалл имеет 3
N
где
A
к
− амплитуда колебаний,
−
единичный вектор поляризации нормальной моды,
описывающий направление, в котором движутся атомы,
−
радиус-вектор
j
-го атома,
находящегося в равновесии.
Решая систему из 3
N
уравнений движения и подставляя в них решения (5.53),
относительно
A
к
для каждого значения волнового вектора
можно получить три моды
колебаний, которые определяют три ветви дисперсионных соотношений.
Одна из трех мод
L
соответствует продольной волне, а две другие
T
1
и
T
2
–
поперечным волнам (рис. 5.11). Для нахождения интервала изменения и определения
числа допустимых значений
k
пользуются периодическими граничными условиями.
Рис. 5.11. Дисперсионная кривая для примитивной трехмерной решетки Бравэ [59]
Предположим, что кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами
,
,
(где
,
,
,
− векторы трансляций
кристаллической решетки).
,
,
– большие целые числа. Тогда для смещения
вдоль
j
-й оси можно записать
.
(5.54)
Следовательно, разрешенные значения векторов должны удовлетворять условию
,
(5.55)
а разрешенные значения волновых чисел вдоль
j
-й оси
,
(5.56)
где
n
j
– целое число.
Разрешенные значения волновых векторов, пользуясь соотношением (5.56), можно
представить в виде
,
(5.57)
где
вектора элементарных трансляций обратной решетки кристалла
. Число допустимых значений волновых векторов в пределах
первой зоны Бриллюэна равно числу элементарных ячеек
N
в кристалле. При этом
разрешенные значения волновых чисел
k
равномерно распределены в
k
-пространстве с
плотностью
.
Для колебаний трехмерной решетки с базисом, где на элементарную ячейку
приходится
r
атомов и система имеет 3
rN
степеней свободы, решение системы из 3
rN
уравнений приводит к существованию 3
r
ветвей колебаний. В этом случае дисперсионное
соотношение этих ветвей будет иметь вид
.
(5.58)
Три нижние ветви называют акустическими, а остальные (3
r
-3) являются оптическими
(рис. 5.12). Среди оптических колебаний также имеются ветвь продольных
LО
и две ветви
поперечных
T
1
О
и
T
2
O
колебаний.
Рис. 5.12. Дисперсионные кривые для трехмерной решетки с базисом [59]
Таким образом, в случае решетки с базисом движения атомов могут быть
представлены в виде суперпозиции 3
rN
колебаний, или мод.
Достарыңызбен бөлісу: