Тепловые свойства твердых тел


 Колебания атомов трехмерной решетки



жүктеу 1,25 Mb.
Pdf просмотр
бет7/22
Дата26.01.2022
өлшемі1,25 Mb.
#37247
түріЛекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   22
L2

  

2.5 Колебания атомов трехмерной решетки 

Количественный анализ колебаний атомов в трехмерной решетке представляет собой 

очень сложную задачу. Допустим, что трехмерная решетка состоит из одинаковых атомов 

массой 


M

  и  на  объем 



V

  кристалла  приходится 



N

  элементарных  ячеек  (примитивных). 

Поскольку каждый атом в решетке имеет три степени свободы, то весь кристалл имеет 3

N

 

степеней свободы. Вектор смещения 



j

-го атома: 

,

 

(5.53) 




где 

A

к

 − амплитуда колебаний, 

 − 

единичный вектор поляризации нормальной моды, 



описывающий  направление,  в  котором  движутся  атомы,

 

− 



радиус-вектор 

j

-го  атома, 

находящегося в равновесии. 

Решая  систему  из  3



N

  уравнений  движения  и  подставляя  в  них  решения  (5.53), 

относительно 

A

к

  для  каждого  значения  волнового  вектора 

 

можно  получить  три  моды 



колебаний, которые определяют три ветви дисперсионных соотношений. 

Одна  из  трех  мод 



L

  соответствует  продольной  волне,  а  две  другие 



T

1

  и 



T

2

  – 



поперечным  волнам  (рис.  5.11).  Для  нахождения  интервала  изменения  и  определения 

числа допустимых значений 



k

 пользуются периодическими граничными условиями. 

  

 

Рис. 5.11. Дисперсионная кривая для примитивной трехмерной решетки Бравэ [59] 



  

Предположим, что кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами 



 (где 





 −  векторы  трансляций 

кристаллической  решетки). 



 –  большие  целые  числа.  Тогда  для  смещения 



вдоль 

j

-й оси можно записать 

.

 

(5.54) 



Следовательно, разрешенные значения векторов должны удовлетворять условию 

,

 



(5.55) 

а разрешенные значения волновых чисел вдоль 



j

-й оси 


,

 

(5.56) 



где 

n

j

 – целое число. 

Разрешенные  значения  волновых  векторов,  пользуясь  соотношением  (5.56),  можно 

представить в виде 

,

 

(5.57) 



где 

 



  вектора  элементарных  трансляций  обратной  решетки  кристалла 

. Число допустимых значений волновых векторов в пределах 

первой  зоны  Бриллюэна  равно  числу  элементарных  ячеек 

N

  в  кристалле.  При  этом 

разрешенные  значения  волновых  чисел

  k

  равномерно  распределены  в 



k

  -пространстве  с 

плотностью 

.

 



Для  колебаний  трехмерной  решетки  с  базисом,  где  на  элементарную  ячейку 

приходится 



r

  атомов  и  система  имеет  3



rN

  степеней  свободы,  решение  системы  из  3



rN

 



уравнений приводит к существованию 3

r

 ветвей колебаний. В этом случае дисперсионное 

соотношение этих ветвей будет иметь вид 

.

 



(5.58) 

Три нижние ветви называют акустическими, а остальные (3



r

-3) являются оптическими 

(рис. 5.12). Среди оптических колебаний также имеются ветвь продольных 

 и две ветви 

поперечных 

T

1

О

 и 

T

2

O

 колебаний. 

  

 



Рис. 5.12. Дисперсионные кривые для трехмерной решетки с базисом [59] 

 Таким  образом,  в  случае  решетки  с  базисом  движения  атомов  могут  быть 

представлены в виде суперпозиции 3

rN

 колебаний, или мод. 




жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   22




©g.engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау