Тепловые свойства твердых тел

жүктеу 1,25 Mb.

Pdf просмотр

бет	14/22
Дата	26.01.2022
өлшемі	1,25 Mb.
	#37247
түрі	Лекция

1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 22

2.1.3

Приближение Эйнштейна

Эйнштейн для объяснения поведения теплоемкости в зависимости от температуры

(рис. 6.1) исходил из следующих предположений:



твердое тело представляет собой совокупность гармонических осцилляторов,

совершающих колебания с одинаковой частотой в трех взаимно перпендикулярных

направлениях;



энергия осцилляторов изменяется порциями (квантами) в соответствии с

постулатами Планка.

Итак, в приближении Эйнштейна предполагается, что все 3

N

осцилляторов в системе

колеблются с одинаковыми частотами

так, что

(6.16)

где

− так называемая

эйнштейновская частота

колебаний, а



− дельта-функция

Дирака, обладающая тем свойством, что для любой функции

выполняется равенство

, т. е. в пределе дельта-функцию Дирака можно рассматривать как

функцию с единственным очень острым пиком. Используя вид функции распределения

(6.16), получим выражение для тепловой энергии рассматриваемой системы

(6.17)

Следовательно, теплоемкость твердого тела в приближении Эйнштейна можно

определить как

(6.18)

Рассмотрим случай высоких температур, когда

, раскладывая в ряд

экспоненту в выражении (6.18) и ограничиваясь двумя слагаемыми разложения, получим

Отсюда теплоемкость

(6.19)

Для высоких температур приближение Эйнштейна сводится к закону Дюлонга и Пти (6.3).

Рассмотрим случай низких температур, когда

. Тогда

и из

(6.28) следует, что удельная теплоемкость принимает вид

(6.20)

В уравнении (6.20) преобладает экспоненциальный множитель и удельная

теплоемкость

стремится к нулю по закону экспоненты.

Рассмотрим конкретную задачу для кристалла золота (Au). Для золота частота

Эйнштейна

= 3,7



Гц. Пользуясь соотношением (6.20), рассчитаем зависимость

молярной теплоемкости от температуры для моля золота (

). Из табл. 6.1 [74]

видно, что с уменьшением температуры экспонента убывает быстрее, чем растет

множитель, пропорциональный

, и при температурах, близких к 0 К, удельная

теплоемкость

практически полностью определяется экспоненциальным множителем

Таблица 6.1.

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 10 11 12 13 14 15 16 17 ... 22