2.2 Зоны Бриллюэна
Из формулы (5.23) следует, что частота
должна быть периодической функцией
волнового числа
k
, причем область периодичности заключена в пределах
.
при
,
где
n
– целое число (
n
=
1,
2,
3 …). Поскольку
n
− целое
число, то разрешены не все значения волновых чисел
k
. Таким образом, в цепочке из
N
атомов могут распространяться колебания не с любыми значениями длины волны,
следовательно, имеется дискретный набор волн, соответствующий разрешенным
значениям волнового вектора
k
. Найти этот набор можно, если задать циклические
граничные условия (
граничные условия Борна
–
Кармана)
, которые позволяют
рассматривать процесс распространения упругих волн без учета эффектов отражения на
границах кристалла.
Ясно, что силы, действующие на атомы в середине моноатомной цепочки, отличаются
от сил, действующих на ее концах, это приводит к тому, что положения равновесия на
концах цепочки нарушаются. Неэквивалентность в положении атома внутри цепочки и на
ее границах исчезает, если соединить противоположные концы цепочки в кольцо. В этом
случае смещение
n
-го атома будет эквивалентно смещению
n + N
-го (полный обход
цепочки). Эту эквивалентность можно продолжать до бесконечности. Для цепочки из
N
атомов циклические граничные условия записываются в виде:
.
(5.27)
, следовательно,
. Отсюда следует, что равенство (5.27)
выполняется
при условии, что
, где
n
– целое число.
Таким образом,
,
где
L
– длина цепочки. Следовательно, волновые
числа меняются дискретно с шагом
, или
квантуются
.
Определив
из условия
, видим, что область изменения значений
n
лежит в пределах
. Число же разрешенных значений длин волн (
n
) равно
полному числу атомов в цепочке. Набор волновых чисел
k
n
определяет полный набор мод
нормальных колебаний, распространяющихся в рассматриваемой цепочке. Каждому
волновому числу соответствует определенная частота
k
.
Для получения полного набора частот
k
достаточно рассмотреть область значений
волновых чисел
k
от нуля до
. Полученные значения частот
, лежащие в пределах от
нуля до
max
, образуют
квазинепрерывный
частотный спектр колебаний одномерной
цепочки атомов
.
Следовательно, колебательное движение частиц одномерной моноатомной цепочки
может быть описано значениями частот
и волновых чисел
k
, находящимися в области
, которую называют
Достарыңызбен бөлісу: |