Теңдеулер
Теңдеу деп белгісіз айнымалысы бар алгебралық өрнекті атаймыз. Теңдеулердің түрлері сан алуан- сызықты, квадраттық, тригонометрикалық, логарифмдік және тағы да сол сияқты.
Осы сайтта мынандай теңдеулер мен олардың шешімдері келтірілген:
1. Сызықты теңдеу.
Сызықты теңдеу деп a·x+b=c типті теңдеуді атайды, мұндағы a,b,c тұрақты сандар ал x ізделінетің белгісіз.
2. Сызықты теңдеулер жүйесі.
Мына жүйені сызықты теңдеулер жүйесі деп атайды:
мұндағы x пен y ізделінетін белгісіздер, ал белгілі тұрақты сандар.
Квадраттық теңдеу
ax2+bx+c=0 теңдеуі квадраттық теңдеу деп аталады, мұндағы a,b,c тұрақты сандар ал x белгісіз айнымалы.
Теорема.
ax2+bx+c=0 теңдеуінің D=b2-4ac дискриминанты оң болса ( D ≥ 0) онда осы теңдеудің екі x1 және x2шешімі бар және олар мына формулалар арқылы аңықталады:
Мысалы.
x2+4x-5=0
D=42 -4 ⋅ 1 ⋅ (-5)
D=16 +20
D=36 ≥ 0
x1 = 1
x2 = -5
Жауабы: x1 = 1, x2 = -5
Виет теоремасы
ax2+bx+c=0 (a≠0) квадраттық теңдеуінің D=b2-4ac дискриминанты оң болғанда бұл теңдеудің екі шешімі бар болатының квадраттық теңдеу сабағында айтылған.
Бұл формулалар теңдеудің шешімдерін теңдеудің коэфициенттері арқылы табуға мүмкіндік береді.
Кері жағдайда, яғни x1 пен x2 белгілі ал a,b,c белгісіз болғанда Виет теоремасын қолдана аламыз:
Виет теоремасы
ax2+bx+c=0 теңдеуінің шешімдері x1 пен x2 болса онда мына формулалар орынды:
x1·x2=
x1+x2=
Мысалы x1=1, x1=3 ал теңдеуіміз белгісіз болсын, Виет теоремасы бойынша:
=x1·x2=1·3=3
=x1+x2=1+3=4
ax2+bx+c=0 теңдеуінің x2+x+=0 теңдеуіне эквиваленттігін пайдалансақ онда біздің теңдеуіміз мына түрге келеді:
x2+x+=x2-4x+3
Яғни x2-4x+3=0.
Ескерту.
a=1 десек онда ax2+bx+c=0 теңдеуі x2+bx+c=0 теңдеуіне айналады және Виет теоремасы мынандай болады:
x1·x2=c
x1+x2=-b.
Кубтық теңдеу деп ax3+bx2+cx+d=0 теңдеуін атаймыз, мұндағы a, b, c, d белгілі сандар ал x ізделінетін белгісіз.
Мысалы x3+x2+x+1=0
Кубтық теңдеуді шешу үшін теңдеудің сол жағын топтастырып көбейткіштерге жіктейді, бұл әдісті топтастыру әдісі дейді.
Топтастыру әдісін жоғарыдағы x3+x2+x+1=0 теңдеуіне қолданайық:
x3+x2+x+1=0
(x3+x2)+(x+1)=0
x2(x+1)+(x+1)=0
(x+1)(x2+1)=0
бұдан
(x+1)=0,
(x2+1)=0.
(x+1)=0
x+1=0
x1=-1
(x2+1)=0
x2+1 ≠ 0 бола алмайды, соңдықтан бұл теңдеудің тек қана бір x1=-1 шешімі ғана бар.
Биквадрат теңдеуі
ay4+by2+c=0 теңдеуі биквадрат теңдеуі деп аталады. Мұндағы a, b, c белгілі тұрақты сандар ал y ізделінетің белгісіз.
Бұндай теңдеуді шешу үшін y2=t алмастыруын еңгіземіз:
ay4+by2+c=0
y2=t
at2+
t2-5t+4=0
Бұл теңдеудің екі t1=1 және t2=4 шешімі бар. y2=t алмастыруын ескерсек тағы да екі теңдеуді аламыз:
y2=1 және y2=4
y2=1 теңдеуінің шешімдері 1 және -1 ал y2=4 теңдеуінің шешімдері 2 және -2.
Сонымен y4-5y2+4=0 теңдеуінің төрт шешімі бар: y1=bt+c=0
Ал at2+bt+c=0 теңдеуі квадрат теңдеуі және бұндай теңдеулерді шешудің жолын квадраттық теңдеу сабағында қарастырғанбыз.
Мысалы.
y4-5y2+4=0
y2=t
1, y2=-1, y3=2, y4=-2.
Теңсіздік
a санының b санынан үлкен (кіші) екендігін көрсету үшін a>b (a
Мысалдар.
5>2, 3>0, 7<9, 100<150, -2>-3
Үлкен >, кіші < белгілерімен қатар үлкен не тең ≥ және кіші не тең ≤ деген белгілері қолданылады.
a ≥ b (a ≤ b) деген белгілеуі a санының b санынан үлкен (кіші) не оған тең болуын көрсетеді.
>, < , ≥ , ≤ белгілері теңсіздік белгілері деп аталады.
Өрнектің сол және оң жағы теңсіздік белгісімен байланысса онда бұндай өрнекті теңсіздік деп атаймыз.
Теңсіздіктердің қасиеттері:
1). a > b, c > d болса онда a+c > c+d.
Мысалы 7 > 5, 3 > 2 соңдықтан 7+3 > 5+2.
2). a ≥ b, c ≥ d болса онда a+c ≥ c+d.
3). a > b болса онда –a < -c.
Мысалы 2>1, -2<-1.
4). a ≥ b болса онда –a ≤ -c.
5). a > b болсын, k саны оң болса онда k · a > k · b, k саны теріс болса онда k · a < k · b.
Мысалы 3 > 2, 4·3 > 4·2, -4·3 < -4·2.
6). a ≥ b болсын, k саны оң болса онда k · a ≥ k · b, k саны теріс болса онда k · a ≤ k · b.
Сызықты теңсіздік деп a⋅x+b ≥ c теңсіздігін атаймыз, мұндағы a, b, c тұрақты сандар ал x белгісіз.
Мысалы 2⋅x+1 ≥ 3.
Ескерту.
a⋅x+b = c теңдеуінің тек бір ғана шешімі бар болады, ал a⋅x+b ≥ c теңсіздігінің шешімдері шексіз көп болады.
Мысалы 2⋅x+1 = 3 теңдеуінің тек бір ғана шешімі бар, бұл x=1 нүктесі: 2⋅1+1 = 3,
ал 2⋅x+1 ≥ 3 теңсіздігінің шешімі x=2 те, x=3 те, x=4 те бола алады:
2⋅2+1 ≥ 3, 2⋅3+1 ≥ 3, 2⋅4+1 ≥ 3.
Соңдықтан теңсіздікті шешу дегенді теңсіздіктің барлық шешімдірін табу деп түсінеміз.
Мысал ретінде 2⋅x+1 ≥ 3 теңсіздігін шешейік:
2⋅x+1 ≥ 3
2⋅x ≥ 3-1
2⋅x ≥ 2
x ≥ 2/2
x ≥ 1
Жауабы x ≥ 1.
Бөлшек теңсіздік
бөлшек теңсіздік деп аталады, мұндағы a, b, c, d тұрақты сандар ал x ізделінетің айнымалы.
Мысалы.
Мына >0 теңсіздік
>0.
Бұндай бөлшектерді шешудің екі әдісі бар:
Бірінші әдіс.
Бөлшек қай уақытта оң болады?
Тек қана бөлшектің алымы мен бөлімінің таңбалары бірдей болғанда ғана.
Соңыдықтан >0 бөлшектен мына екі жүйені аламыз:
a). x+1>0 және x-1>0 (яғни бөлшектің алымы мен бөлімі оң болса)
b). x+1<0 және x-1<0 (яғни бөлшектің алымы мен бөлімі теріс болса)
Бұл жүйелердің шешімдерің іздейік:
a). x+1>0 және x-1>0
x>-1 және x>1
x айнымалысы -1 ден де 1 ден де үлкен болуы тиіс, бұдан x>1
немесе x ∈ (1; +∞)
b). x+1<0 және x-1<0
x<-1 және x<1
x айнымалысы -1 ден де 1 ден де кіші болуы тиіс, бұдан x<-1
немесе x ∈ (-∞; -1)
Ақырғы жауабымыз a) және b) жүйелерінің жауаптарының бірігуінен құралады:
x ∈ (1; +∞) ∪ (-∞; -1)
Екінші әдіс.
1). x-1>0 деп санаймыз да жоғарыдағы теңсіздіктің екі жағына көбейтеміз:
(x-1) · >0 · (x-1)
x+1>0
Бұдан x-1>0 екенің ескере отырып, x айнымалысының x+1>0 ді де, x-1>0 ді де қаңағаттандыруы тиіс екендігі туындайды. Ал бұл дегеніміз жоғарыдағы a) шарты.
2). x-1<0 деп санаймыз да жоғарыдағы теңсіздіктің екі жағына көбейтеміз:
(x-1) · <0 · (x-1)
x+1<0
Бұдан x-1<0 екенің ескере отырып, x айнымалысының x+1<0 ді де, x-1<0 ді де қаңағаттандыруы тиіс екендігі туындайды. Ал бұл дегеніміз жоғарыдағы b) шарты.
Сонымен жауабымыз жоғарыдағы a) мен b) жүйелердің шешімдерінің бірігуінен құралуы тиіс, ал бұл есепті біз жоғарыда шығарғанбыз.
Қолданылған әдебиеттер
"Математикалық ойашар", "Қазақ энциклопедиясы" Алматы, 2009
Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Математика / 0-71 Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д., профессор Е. Арын 2007 жыл. - 192 б.
Кіріспе
Теңдеулер
Сызықтық теңдеу
Квадраттық теңдеу
Виет теоремасы
Кубтық теңдеу
Биквадрат теңдеу
Теңсіздіктер
Сызықтық теңсіздік
Бөлшек теңсіздік
Достарыңызбен бөлісу: |
