Сызықтық теңдеулер

Сызықтық теңдеулер - бұл айнымалысы (-лары) бар қарапайым теңдіктер. Олар алгебралық болып жіктеледі. жалпы түрде келесі түрде жазылады: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Жүйелер мен матрицаларды одан әрі құрастырған кезде олардың осы түрдегі көрінісі қажет болады.

Бұл терминнің анықтамасы келесідей: бұл жалпы белгісіз және ортақ шешімі бар теңдеулер жиынтығы. Әдетте, мектепте бәрін екі, тіпті үш теңдеумен жүйелер шешетін. Бірақ төрт немесе одан да көп компоненттерден тұратын жүйелер бар. Алдымен оларды кейінірек шешуге ыңғайлы болу үшін оларды қалай жазуға болатынын білейік. Біріншіден, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі барлық айнымалылар тиісті индекспен х түрінде жазылса, жақсы көрінеді: 1,2,3 және т.б. Екіншіден, барлық теңдеулерді канондық түрге келтіру керек: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b.

Осы қадамдардың барлығынан кейін сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін қалай табуға болатынын айта аламыз. Бұл үшін матрицалар өте пайдалы.

Шешу әдістері

Гаусс әдісі - шешудің қарапайым және қарапайым тәсілдерінің бірі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (SLAE): біртекті және гетерогенді. Қысқаша айтқанда, бұл әдістің мәні белгісіздерді дәйекті түрде жою болып табылады.

Екі жолдың орындарын өзгерту;

Жолдың барлық элементтерін нөлдік емес санға көбейту.

Бір қатар элементтеріне кез-келген коэффициентке көбейтілген басқа жолдың сәйкес элементтерін қосу.

Барлық элементтері нөлге тең сызықты сызып тастаңыз.

Қайталанатын жолдарды сызып тастаңыз.

Соңғы екі тармаққа келетін болсақ: қайталанатын сызықтарды шешімнің кез келген сатысында Гаусс әдісімен жоюға болады - табиғи түрде олардың біреуін қалдырып. Мысалы, # 2, # 5, # 6 жолдары қайталанған болса, онда сіз олардың біреуін қалдыра аласыз - мысалы, №5 жол. Бұл жағдайда No 2 және No 6 жолдары жойылады.

Нөлдік жолдар кеңейтілген жүйелік матрицадан пайда болған кезде алынып тасталады.

Осылайша, басқаша айтқанда матрицаның кері әдісі, осылай аталады, өйткені шешім әдеттегі матрица теңдеуіне келтірілген, оны шешу үшін кері матрица табу керек.

Бар SLE (сызықтық теңдеулер жүйесі) бар делік n белгісіздер (ерікті өріс бойынша):

Демек, оны матрица түріне аудару оңай:

AX \u003d Bқайда A - жүйенің негізгі матрицасы, B және X - жүйенің бос мүшелері мен шешімдерінің бағандары, сәйкесінше:

Осы матрицалық теңдеуді солға көбейтеміз A −1 - матрицаға кері матрица A: A −1 (AX) \u003d A −1 B.

Себебі A −1 A \u003d Eсондықтан X \u003d A −1 B... Теңдеудің оң жағы бастапқы жүйеге шешімдер бағанын береді. Матрица әдісін қолдану шарты - матрицаның біркелкі еместігі A... Бұл үшін қажетті және жеткілікті шарт - матрицаның детерминантының нөлге теңсіздігі A:

detA ≠ 0.

Үшін сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесі , яғни егер вектор B \u003d 0, кері ереже орындалады: жүйе AX \u003d 0 кезде ғана нейтривиалды (яғни нөлге тең емес) шешім бар detA \u003d 0... Сызықтық теңдеулердің біртекті және біртекті емес жүйелерінің шешімдері арасындағы бұл байланыс деп аталады фредгольмге балама.

Осылайша, SLAE-ді матрицалық әдіспен шешу формула бойынша орындалады  ... Немесе SLAE шешімін қолдану арқылы табуға болады кері матрица A −1.

Квадрат матрица екені белгілі ЖӘНЕ тапсырыс n қосулы n кері матрица бар A −1егер оның детерминанты нөлге тең болмаса ғана. Осылайша, жүйе n сызықтық алгебралық теңдеулер n жүйенің негізгі матрицасының детерминанты нөлге тең болмаған жағдайда ғана белгісіздер матрицалық әдіспен шешіледі.