154
[3, 4] сҥйене отырып, структуралар арасындағы
-морфизмдерді
анықтаймыз.
)
( At
B
болғанда біз кәдімгі йонсондық теорияны аламыз, оның
айырмашылығы – онда тек позитивті
-аксиомалар бар. Сонымен қатар
қарастырылып отырған теория гомоморфизмдерге қатысты орнықты болады.
Теорема 1.
Егер L – саналымды тіл және
T
толық -категориялы теория болса, онда
T
теориясы -категорлы модельді компаньонға ие болады.
Анықтама 3
– шексіз кардинал болсын. Егер
PJ
теория
T
йонсондық болса
(кәдімгі мағынада), онда ол k -категорлы, егер оның кез келген
k
қуатты екі
модельдері ӛзара изоморфты болса. Керісінше жағдайда, ол
k
-категорлы, егер
оның кез келген екі
)
(
,
T
E
B
A
қуаты k -ға тең модельдері ӛзара изоморфты
болса.
Келесі факт кемел йонсондық теорияларды сипаттайды:
Теорема 2 [5: 2.8].
Т йонсондық теория болсын. Онда келесі шарттар эквивалентті:
1)
T
кемел теория;
2)
T
–
T
–нің модельді компаньоны;
Егер Т кемел болса, онда келесі шарттар эквивалентті:
3)
T
E
ModT
;
4)
0
T
T
T
f
,
мҧндағы
T
E
–
T
моделдерінің
T
-экзистенционалды тҧйық
T
-
экзистенционалды классы,
0
T
–Кайзера қабықшасы (максимальді
-теория,
T
–мен ӛзара модельді ҥйлесімді),
)
(
T
f
F
Th
T
, мҧндағы
T
F
–Т моделінің
генерикалық классы (шекті Робинсон форсингі мағынасында),
M
T
–
T
йонсондық теориясының модельді компаньоны.
Теорема 3.
T
–
-PJ теория болсын.
оның семантикалық моделі.
–
–ның
йонсондық ішкі жиыны.
,
-
центрі.
Онда келесі шарттар эквивалентті:
1)
T
теориясы – -категориялы;
2)
T
теориясы–
-категориялы.
Дәлелдеуі.
)
2
)
1
. Екі жағдайын қарастырамыз: 1)
T
-PJ теория –
йонсондық теория (кәдімгі мағынада); 2) Т -PJ теория – йонсондық емес
теория (кәдімгі мағынада).
1) Айталық
)
(
*
C
Th
T
–
-категорлы болсын, мҧндағы С –
T
теориясының Т-әмбебап Т-біртекті моделі. Т теориясы, дербес жағдайда,
йонсондық теория болып табылады[6, 79].
*
T
1 теоремасы бойынша толық
болғандықтан
*
T
-
M
T )
(
*
-ның
-категорлы модельді компаньонына ие.
T
және
*
T
,
*
T
және
M
T )
(
*
-ның модельді ҥйлесімділігі бойынша және модельді
ҥйлесімді болу қатынасы транзитивті болғандықтан, біз
M
T )
(
*
Т-мен модельді
155
ҥйлесімді дейміз. Бҧдан Робинсонның теоремасы бойынша
M
T )
(
*
=
*
T
,
M
T )
(
*
Т-
ның модельді компаньоны екені шығады. Демек,
*
T
модельді толық. Кемелдік
критерийі бойынша Т-кемел. Тағы да кемелдік критерийі бойынша
*
ModT
E
T
.
Бҧдан,
*
T
шарт бойынша
- категорлы болады, демек,
T
E
-да изоморфизмге
дейінгі дәлдікпен тек қана бір саналымды модель бар. Бҧл модельді D арқылы
белгілейміз.Айталық Т теориясының саналымды экзистенционалды емес тҧйық
кез келген А моделі
D
-ға изоморфты емес болсын. Онда берілген дерек
бойынша А кейбір В- ға - жалғасады, мҧндағы
)
(
T
E
B
.Қарастырып отырған
теория йонсондық болғандықтан,
)
( At
B
және бізде
T
T
E
E )
(
бар. Керісінше
кӛрсетейік. Кемелдік бойынша
*
T
модельді толық және
*
ModT
E
T
, демек,
*
T
теориясының кез келдген моделі ӛте жай, онда 2 теоремасы бойынша
*
T
позитивті модельді толық. Онда, анықтамасы бойынша кез келген -формула
кейбір позитивті
-формуламен эквивалентті. Демек,
T
T
E
E )
(
. Сӛйтіп,
T
T
E
E )
(
. Онда
T
E
-да да изоморфизмге дейінгі дәлдікпен тек бір ғана
саналымды модель бар, яғни
D
B
. Онда В-да изоморфты А-ның -басы бар,
және ол А D-ға изоморфты емес деген тҧжырымды жоққа шығарады. Сӛйтіп, Т
- категорлы.
)
1
)
2
. Т теориясы
- категорлы делік. Керісінше болжайық, яғни
*
ModT
-да екі саналымды изоморфты модельдер бар. Оларды А және В арқылы
белгілейік.
*
T
T
болса, онда
ModT
ModT
*
, демек, А және В
*
ModT
-дан болса,
онда Т –ның -категорлылығына қайшылықты аламыз.
2) Т
PJ
теория –йонсондық емес теория болсын (кәдімгі мағынада).
Бҧл жағдайда дәлел тривиалды, қарастырып отырған
T
E
класында -
жалғастырулар -батыру болып табылады және
T
-ның кез келген толықтыруы
толық позитивті робинсондық теория болады.
Әдебиеттер:
1. Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. – Караганда: КарГУ, 2009. – 250 с.
2. Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред.
Дж.Барвайса. - Ч.1. Теория моделей: пер. с англ. - М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1982, 126 с.
3. Vaught R. Denumerable models of complete theories in InfinitisticMethode,
Pergamon. London, p. 303-321.
4. John T. Baldwin, David W.Kuеker. Algebraically prime models. Annals of
Mathematical Logic 20 (1981). Р. 289-330.
5. Yeshkeyev A.R Jonsson sets and some of their model-theoretic properties
International Congress of Mathematicians.
6. Kueker D.W. Core structures for theories// Fundamenta Mathematicae
LXXXIX (1975). - P.154 – 171.
Достарыңызбен бөлісу: |
