Шешуі: Есептің шарты бойынша Р(/Х-30/< Осыдан Ф Кестеден Мысал 13

Р(/Х-30/<

Осыдан Ф

Кестеден

Шешуі: Есептің шарты бойынша М(х)=5, D(х)=0,64 яғни .

Айталық дайындалған бөлшектің бір өлшемі қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама болсын, математикалық үміті а=10см, ал . 1) Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы 0,025 артпауының ықтималдығын табыңыз; 2) Бөлшектің өлшемі 10,03 сантиметрден артпайтындығының ықтималдығын табыңыз; 3) Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы +0,02-ге тең болуының ықтималдығы 0,99 болуы үшін бөлшектің дайындалуының дәлдігін сипаттайтын қандай болуы керек?

1. Р(/Х-10/<0,025)=2Ф

3. Р(/Х-10/<0,02)=2Ф

сонда кестеден осыдан =0,0077.
Студенттерге өзіндік есептер
1. Кездейсоқ шама дифференциялдық функция арқылы берілген

а) коэффицент С-ны табыңыз; б) f(х) функциясының графигін салыңыз.

2. Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген. Математикалық үміті М(х)=2 орташа квадраттың ауытқуы . Кездейсоқ шаманың [4,7] интервалдан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

2) Алынған алманың салмағы орташа салмақтан /а=140 гр/ ауытқуы + 8 граммнан аспайтындығының ықтималдығын табу керек.

5. Зауытта жасалған бөлшектің диаметрі қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Диаметрдің стандартты ұзындығы а=2,5 см, ал орташа квадраттың ауытқуы . Егер ақиқат оқиға ретінде ықтималдығы 0,9973-ке тең оқиғаны қарастырсақ, диаметрдің ұзындығы қандай аралықта жатуы керек?

6. Зауыт диаметрі d=5 мм шариктер даярлайды. Даярлау кезінде диаметрі берілген ұзындықтан ауытқуы кездейсоқ шама, ал қалыпты үлестіріммен берілген және орташа квадраттық ауытқуы . Бақылау кезінде диаметрі берілген ұзындықтан 0,1 мм ауытқыған шариктер қабылданбайды. Бақылау кезінде қанша пайыз шариктер қабылданбауының ықтималдығын табыңыз.

7. Кездейсоқ шама Х қалыпты үлестіріммен берілген математикалық үміті а, орташа квадраттың ауытқуы . Берілген интервалында осы қалыпты үлестірімді жуықтап бірқалыпты үлестіріммен ауыстыру керек. Бірақта кездейсоқ шаманың берілген сандық сипаттамалары өзгермей сақталатын болсын.

Нұсқау: Берілген сандық сипаттамалар сақталу үшін қалыпты үлестіріммен бірқалыпты үлестірімнің сәйкес сандық сипаттамаларын теңестіру арқылы және сандарын анықтау қажет.

8. Кездейсоқ шама Х қалыпты үлестіріммен берілген. Математикалық үміті а, орташа квадраттық ауытқуы . f(х) функциясының графигінің иілу нүктелерінің координаталарын анықтаңыз.

10. Мылтық оқтағанда оның ішіне салатын оқ-дәрінің мөлшері 2,3 г. болуы керек. Оқ-дәрі өлшеген кезде жіберілген қате қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Оның дисперсиясы =0,04. Егер оқ-дәрі мөлшерден артық салынса, онда атыс кезінде мылтық істен шығады. Егер ең көп салғанда 2,8 г. салуға болатын болса, онда бір атыста мылтықтың істен шығуының ықтималдығы қандай?

Нұсқау: Нысанаға дейінгі қашықтықты а=М(х) деп қабылдау керек.

12. Ұсталған балықтың салиағы қалыпты үлестірім заңына бағынады. Оның параметрлері а=400 г., =40. Сонда ұсталған бір балықтың салмағы; 1/300 граммнан 500 гр. Дейін болатындығының ықтималдығын табыңыз;
2/300 граммнан артық болатындығының ықтималдығын табыңыз;

3/450 граммнан артық болатындығының ықтималдығын табыңыз;

13. Подшипниктерге арналған шариктердің диаметрінің ұзындығы қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шама. Математикалық үміті а=4,5 см, =0,05 см. Мүмкін мәндері 0,9545 ықтималдығымен қабылданатын интервалды анықтаңыз

14. Қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шаманың параметрлері а=16 см, =2 см. Кездейсоқ шаманың өзінің математикалық үмітінен ауытқуы 3,92-ден артпауының ықтималдығын табыңыз.

15. Екі елді мекеннің арасын өлшеу қорытындысы қалыпты үлестірім заңымен берілген. Оның математикалық үміті а=16 км, ал орташа квадраттық =100 м. Осы екі елді мекеннің арақашықтығы: 1) 15,8 километрден кем болмауының ықтималдығын табыңыз; 2) 16,25 километрден артық болмауының ықтималдығын табыңыз; 3) 15,75 километрден 16,3 километрдің арасында болуының ықтималдығын табыңыз.

16. Ересек әйелдің бойының ұзындығы кездейсоқ шама. Ол қалыпты үлестіріммен сипаттамалады және оның параметрлері а=164 cм, =55 см. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығын жазыңыз және Р(165

18. Зауытта шығарылатын бұйымның бақылауға алынған бір өлшемі қалыпты үлестіріммен сипатталады және оның параметрлері а=5 cм, =0,81.

1. Кез келген бұйымның бақылауға алынған өлшемі [4;7] аралығында жататындығының ықтималдығын анықтаңыз.

   
   

2. Бақылауға алынған өлшемнің математикалық үміттен ауытқуы 2 см аспайтындығының ықтималдығын табыңыз.

   
   

19. Станоктен шығарылған шегенің ұзындығы қалыпты үлестіріммен сипатталады, оның математикалық үміті а=2,5 см, дисперсиясы =0,0001. Алынған кез-келген шегенің ұзындығы математикалық үмітінен ауытқуының ықтималдығы 0,9973 болуы үшін кездейсоқ шама қандай интервалда жатуы керек?

21. Аргументтің кейбір мәндерінде:

    
    

1. үлестірім функциясы бірден үлкен болуы мүмкін бе?

   
   

2. үлестірім тығыздығы бірден үлкен болуы мүмкін бе?

   
   

3. үлестірім функциясы теріс болуы мүмкін бе?

   
   

4. үлестірім тығыздығы теріс болуы мүмкін бе?

   
   

Жауабы: 1. Жоқ 2. Мүмкін 3. Жоқ 4.Жоқ

23. Кездейсоқ шама қалыпты үлестіріммен берілген және а=0,=1. Сонда мына екі ықтималдықтардың қайсысы үлкен Р(-0,5) немесе Р(1)?

Х 2 4 6 8

Р 0,4 0,3 0,2 0,1

Табу керек:

26. Кездейсоқ шама Релей үлестірімі арқылы берілген

    
    
27. 
    

F(х)=1-е

26. Кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген

    
    
27. 
    

Үлестірім функциясын тап.

х у -1 0 1 Рх

Ру 0,33 0,24 0,43 1.00

1. Х және У кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдарын жазыңыз;

   
   

2. а) Х-тің У=у болғандағы шартты үлестірім заңын жазыңыз;

   
   

б) У-тің Х=хболғандағы шартты үлестірім заңын жазыңыз;

3. Х пен У өзара тәуелсіз бе?

   
   

4. Үлестірім функциясын F(х,у) табыңыз:

   
   

Бір өлшемді Х және У кездейсоқ шамалардың үлестірім F және F функцияларын жазыңыз.

5. Корреляциялық коэффицентті табыңыз.

   
   

6. Шартты математикалық үміттерін табыңыз.

   
   

Шешуі: 1. Кестелерден Х және У кездейсоқ шамаларының үлестірім заңдары төмендегідей түрде жазылды

2. а)Х-тің У=у болғандағы шартты үлестірім заңын жазу үшін әуелі

-терді табамыз:

Сонда мына үлестірім заңын аламыз

Р(Х/У=у)

б) У-тің Х=х болғандағы үлестірім заңын осылай есептесек:
5 кесте

У -1 0 1

Р(У/Х=х)

1. Х және У тәуелсіз бе?

   
   

Екі Х және У кездейсоқ шамалардың өзара тәуелсіздігін анықтау үшін олардың сәйкес шартты және шартсыз үлестірім заңдарын салыстыру керек.

2. Үлестірім функциясын жазамыз

   
   

F(х,у)=

F

F

3. Корреляциялық коэффициентті

   
   

6.

Әуелі М(х) және М(у) – терді 2, 3 кестелерді пайдаланып табамыз:

М(х)=-2

М(у)=-1

Осыдан екенін көреміз, яғни Х және У өзара тәуелді кездейсоқ шамалар болады.

4. Айталық М(Х/У=у және М(У/Х=х табу керек болсын. Оларды табу үшін 4, 5 кестені пайдаланамыз. Сонда

   
   

М(Х/У=у