Практикалық бөлімі Ықтималдықтар теориясына есептер шығару Кездейсоқ оқиғалар Бірінші мысал

Хu – квадрат үлестірім (-үлестірім)

жүктеу 0,55 Mb.

бет	22/63
Дата	21.09.2023
өлшемі	0,55 Mb.
	#43492

1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 63

Практикалық бөлімі Ықтималдықтар теориясына есептер шығару Кезде-emirsaba.org

Хu – квадрат үлестірім (-үлестірім).

Айталық Х-тәуелсіз қалыпты кездейсоқ шамалар берілсін және а=0, =1 болсын.

Енді

кездейсоқ шаманы қарастыралық.

Бұл кездейсоқ шаманың үлестірім заңы - үлестірім деп аталады. Мұнда v – еркіндік дәрежелер саны деп аталады.

Жалпы жағдайда қалыпты үлестірім параметрлері а, болса, онда алмастыруы арқылы параметрлері (0,1) болатын қалыпты үлестірімге келтіруге болады, яғни

болады. - үлестірімнің кестесі барлық оқулықтарда келтірілген.

2. Стьюдент үлестірім (t – үлестірім).

Айталық параметрлері 0 және болатын тәуелсіз қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шамалар болсын. Сонда Стьюдент үлестірімі мына түрде анықталады.

Мұнда v – еркіндік дәрежелер саны.

Егер қалыпты үлестірімнің параметрлері а және болса, онда кездейсоқ шамалары да тәуелсіз болады да, олардың параметрлері сәйкес 0 және болады. Сонда Стьюдент үлестірімі төмендегідей беріледі:

Ал а=0, =1 болса, онда Стьюдент үлестірімі

болады, мұндағы жоғарында қарастырылған үлестірімі.

3. Фишер үлестірімі /F – үлестірімі/

Айталық параметрлері (0,о) болатын тәуелсіз қалыпты үлестіріммен берілген кездейсоқ шамалар қарастырылсын:

Сонда мына функция арқылы берілген кездейсоқ шаманы Фишер үлестірімі арқылы берілген деп атайды

Егер х- кездейсоқ шамалардың параметрлері (а,) болса; онда Фишер үлестірімі төмендегідей анықталады:

Ал егер а=0, =0 болса, онда Фишер үлестірімі былай жазылады:

Мұндағы және кездейсоқ шамалары - үлестіріммен берілген.

Есептер
1. Жоғарыда қарастырылған үшінші мысалдың мазмұнына сәйкес Z=2(Х+У)+1 және Z=2У-1 кездейсоқ шамалардың үлестірім кестелерін жаз.
2. Тиын үш рет лақтырылған. Х – елтаңбалы пайда болу саны. У – цифрдің пайда болу саны. Х+У кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдарын жаз.
3. Х кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген
у 0 1 2 3

q 0,1 0,3 0,4 0,2

у=sin функциясының үлестірім заңын жазыңыз.

4. (Х,У) системасы үлестірім кестесімен берілген
У -2 -1 0 1
Х
-1 0,01 0,02 0,05 0,03

0 0,03 0,24 0,15 0,06

1 0,06 0,09 0,16 0,10

Z=X+У, Z=XУ

кездейсоқ шамалардың үлестірім кестелерін жазыңыз.

Үлкен сандар заңы . Чебышев теңсіздігі.

Мысал 1
Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңымен берілген

Х -1 0 2 4 6

Р 0,2 0,4 0,3 0,05 0,05

Мына теңсіздікті орындалуының ықтималдығын табыңыз.
Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Әуелі математикалық үміт, дисперсиясын табалық.
М(х)= -0,2+0,6+0,2+0,3=0,9

Енді дисперсия табу үшін Х – тың үлестірім заңын жазамыз:

Х 1 0 4 16 36

Р 0,2 0,4 0,3 0,05 0,05

Сонда

М()=0,2+1,2+0,8+1,8=4

1. Енді теңсіздігінің орындалу ықтималдығын табу үшін осы теңсіздікті қанағаттандыратын Х-тің мәндерін анықтау қажет. Берілген үлестірім кестесін бұл теңсіздікті кездейсоқ шаманың х=-1, х=0, х=2, х=4 мәндері қанағаттандыратын көз жеткізу болады. Олай болса

=Р(х=-1)+Р(х=0)+Р(х=2)+Р(х=4)=0,2+0,4+0,3+0,05=0,95.
Сонымен

Чебышев теңсіздігін пайдаланып

яғни

Сөйтіп Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын төменнен бағаладық, яғни теңсіздігі кем дегенде 0,8724 ықтималдықпен орындалады. Бұл тұжырымның құндылығы есептер шығарған кезде теңсіздігінің орындалуының дәл ықтималдығын табу мүмкін болмаған жағдайларда оның ықтималдығын төменне бағалауға мүмкіндік береді.
Мысал 2. Жарық беруші торға 20 электрошам параллель қосылған. Т уақыт ішінде әрбір шамның жарық беру ықтималдығы 0,8. Чебышев теңсіздігін пайдаланып Т уақытында жарық беруші барлық электрошамдармен, жарық беріп тұрған шамдардың арифметикалық орташа мәндерінің (математикалық үміті) айырмасының абсолюттік шамасының ықтималдығын бағалаңыз. Егер айтылған айырма: 1)төрттен кіші болса; 2) төрттен кем болмаса.
Шешуі: Белгілі бір Т уақытында жарық беріп тұрған электрошамдардың саны кездейсоқ шама. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген. Есептің шарты бойынша q=20, p=0,8, q=0,2.
Сондықтан

Енді Чебышев теңсіздігін пайдаланамыз

Сонымен

жүктеу 0,55 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 63