§4. Үш еселі интеграл
Үш еселі интеграл анықталған интегралдың үш айнымалыға
тəуелді функция жағдайына жалпыламасы болып табылады.
Үш еселі интеграл теориясы жоғарыда қарастырылған екі
еселі интеграл теориясына ұқсас, сондықтан оны қысқаша ғана
мазмұндаймыз.
Oxyz
кеңістігінің тұйық
V
облысында үзіліссіз
u
= ƒ(
x,y,z
) функциясы берілсін.
V
облысын торкөз арқылы саны
п-
ға тең элементар
V
i
(
i
=1,2,….,
n
) бөліктеріне бөлшектеп жəне
олардың əрқайсысында кез келген
M
)
,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
нүктесін алып,
)
,
,
(
z
y
x
f
функциясы үшін
V
облысы бойынша
∑
=
∆
n
i
i
i
i
i
V
z
y
x
f
1
)
,
,
(
интегралдық қосындысын құрамыз (мұндағы ∆
V
i
өрнегі
V
i
элементар
облысының көлемін білдіреді). Егер əрбір «элементар
V
i
облысы» нүктеге (атап айтқанда
d
i
диаметрі нөлге) ұмтылатын-
198
дай
п
-нің шектеусіз өсуінде интегралдық қосындының шегі
бар болса, оны
V
облысы бойынша алынған
u
= ƒ(
x,y,z
)
функциясының үш еселі интегралы деп
∫∫∫
V
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
немесе
( , , )
V
f x y z dV
∫∫∫
түрінде белгілейді. Сонымен, анықтама бойынша
,
1
max
0
( , , )
lim
( , , )
( , , )
i
n
i
i
i
i
n
i
V
V
d
f x y z dxdydz
f x y z
V
f x y z dV
→∞
=
→
=
∆ =
∑
∫∫∫
∫∫∫
(
5.7)
мұнда
dxdydz
=
dV
- көлем элементі.
Теорема 5.2.
Егер
u
= ƒ(
x,y,z
) функциясы шектеулі, тұйық
V
облысында үзіліссіз болса, онда
(
5.7) интегралдық қосындысы-
ның
n
0
max
,
→
∞
→
i
d
шартында шегі бар болып жəне ол
V
облысының бөлшектену тəсіліне, олардағы
M
)
,
,
(
i
i
i
i
z
y
x
нүктелерінің қалай алынатынына тəуелсіз болады.
§5. Үш еселі интегралдың кейбір қолданбалары
5.1.
Дене массасы
Интеграласты ƒ(
x,y,z
) функциясы
М
(
x,y,z
) нүктесіндегі масса
үлестірілуінің
)
,
,
(
z
y
x
γ
көлемдік тығыздығы болып келсе, онда
дененің массасы үш еселі интеграл арқылы
∫∫∫
=
V
dxdydz
z
y
x
m
)
,
,
(
γ
түрінде кескінделеді. Егер
1
)
,
,
(
=
z
y
x
γ
болса, онда дененің
т
массасы оның көлеміне тең болады, демек
∫∫∫
=
V
dxdydz
V
199
5.2.
Дене көлемі
V
облысының көлемі
( , , )
.
V
f x y z dV
∫∫∫
немесе декарттық координаталарда
∫∫∫
=
V
dxdydz
V
формулаcымен, цилиндрлік координаталарда
V
V
r drd dz
=
⋅
ϕ
∫∫∫
формулаcымен, ал сфералық координаталарда
2
sin
V
V
d d d
=
ρ
θ ρ ϕ θ
∫∫∫
формулаcымен өрнектеледі.
5.3. Статикалық моменттер
Оху, Оуz, Оуz
координаталық жазықтықтарға қатысты дененің
статикалық моменттері
( , , )
,
( , , )
,
( , , )
,
xy
yz
xz
V
V
V
S
z
x y z dv S
x
x y z dv S
y
x y z dv
=
⋅ γ
=
⋅ γ
=
⋅ γ
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
формулалары бойынша есептелінеді.
5.4.
Дененің ауырлық центрі
V
денесінің
(
,
,
)
C
C
C
C x y z
ауырлық центрінің координата-
ларын
/ ,
/ ,
/
C
yz
C
xz
C
xy
x
S
m
y
S
m
z
S
m
=
=
=
формулалары бойынша есептеп табуға болады, мұндағы
т -
дененің массасы, ал
S
yz
, S
xz
, S
xy
- оның координаталық
жазықтықтарға қатысты алынған
статикалық моменттері
.
200
5.5. Дененің
инерция моменттері
Дененің
Оху, Оуz, Оуz
координаталық жазықтықтарына қатысты
алынған
инерция моменттері
2
2
( , , )
,
( , , )
,
xy
yz
V
V
I
z
x y z dv
I
x
x y z dv
=
⋅ γ
=
⋅ γ
∫∫∫
∫∫∫
2
( , , )
,
xz
V
I
y
x y z dv
=
⋅ γ
∫∫∫
формулалары бойынша, ал
Ох
,
Оу
жəне
Оz
осьтеріне қатысты
алынған
инерция моменттері
(
)
(
)
2
2
2
2
( , , )
,
( , , )
,
x
y
V
V
I
y
z
x y z dv
I
x
z
x y z dv
=
+
⋅ γ
=
+
⋅ γ
∫∫∫
∫∫∫
(
)
2
2
( , , )
z
V
I
x
y
x y z dv
=
+
⋅ γ
∫∫∫
формулалары бойынша есептеледі.
§6. Үш еселі интегралды декарттық
координаталарда есептеу
V
интегралдау облысы – астынан
)
,
(
1
y
x
z
z
=
теңдеулі
1
σ
беті
жəне үстінен
)
,
(
2
y
x
z
z
=
теңдеулі
2
σ
беті шектейтін дене болып,
облыстың өзін дұрыс деп ұйғарамыз:
Aтап айтқанда
Оz
осіне параллель кез келген түзу (анықтылық
үшін оны
l
арқылы белгілейміз) облыс шекарасын саны екіден
артпайтын нүктелерде (22-суретте
А
жəне
В
нүктелерінде) қиятын
22-сурет 23-сурет
201
болсын (мұнда
)
,
(
2
y
x
z
жəне
)
,
(
1
y
x
z
функциялары
D
облысында
үзіліссіз функциялар, сонымен бірге
)
,
(
)
,
(
2
1
y
x
z
y
x
z
≤
).
Онда
V
облысында үзіліссіз кез келген
f
(
x, y, z
) функциясы
үшін үш еселі интегралды бір еселі интегралдан алынған екі
еселі интегралды есептеуге келтіретін
( )
( )
2
1
,
,
( , , )
( , , )
z x y
V
D
z x y
f x y z dxdydz
f x y z dz ds
=
∫∫∫
∫∫ ∫
формуласы орынды. Мұның өзінде алдымен,
х у
тұрақты
болғанда
z
айнымалысы бойынша,
z-
тің өзгеру аймағында ішкі
интеграл есептеледі. Интегралдың төменгі жəне жоғарғы шегі
ретінде сəйкесінше
A
l
∩
=
1
σ
жəне
l
B
∩
=
2
σ
нүктелерінің
аппликаталары алынады.
Егер дененің
Оху
жазықтығына түскен
D
проекциясы
(
)
,
,
,
x a x b
a b
=
=
<
( )
x
y
1
ϕ
=
жəне
( )
( )
( )
(
)
x
x
x
y
2
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
≤
=
сызық-
тарымен шектелсе (23-сурет), (мұндағы
( ) ( )
x
x
2
1
,
ϕ
ϕ
функциялары
[
a, b
] кесіндісіндегі үзіліссіз функциялар), онда
V
облысы
бойынша ƒ(
x, y, z
) функциясынан алынған үш еселі интегралды
есептеу тізбекті түрде белгілі ретте бір-бірінен алынған үш
анықталған интегралды есептеуге айналады, атап айтқанда
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1
,
,
( , , )
( , , )
x
z x y
b
V
a
x
z x y
f x y z dxdydz
dx
dy
f x y z dz
ϕ
ϕ
=
∫∫∫
∫
∫
∫
формуласы орынды.
§7. Сфералық жəне цилиндрлік координаталар
Кеңістікте
Оxyz
тікбұрышты координаталар жүйесін енгізейік.
М
нүктесі -
Оz
осінде жатпайтын кеңістіктің кез келген нүктесі
болсын.
М
нүктесі арқылы
Оxy
жазықтығына перпендикуляр
түзу жүргізіп, оның
Оху
жазықтықпен қиылысу нүктесін
Q
əрпімен белгілейік.
Q
нүктесін
О
нүктесімен қосайық (24-сурет).
М
нүктесінің
сфералық координаталары
деп төмендегі сандарды
айтады:
202
1)
О
нүктесінен
М
нүктесіне дейінгі
ρ
қашықтығы (полярлы
радиус);
2)
Оху
координаталар жүйесіндегі
Ох
осінінің оң бағытынан
OQ
сəулесіне дейінгі
φ
(бойлық) бұрышы;
3)
OM
радиус-векторы жəне
Оz
осі арасындағы
θ
бұрышы.
Сфералық координаталардың анықтамасынан
π
θ
π
ϕ
ρ
≤
≤
≤
≤
≥
0
,
2
0
,
0
болатыны туындайды. Декарт координаталары сфералық коор -
ди наталар арқылы
x = r
cos
j
sin
q,
y = r
sin
j
sin
q, z = r
cos
q
(5.8)
түрінде өрнектеледі жəне керісінше.
,
2
2
2
z
y
x
+
+
=
ρ
2
2
cos
y
x
x
+
=
ϕ
,
2
2
sin
y
x
y
+
=
ϕ
(5.9)
2
2
2
sin
z
y
x
z
+
+
=
θ
.
24-сурет 25-сурет
Сфералық координаталар үшін Якоби матрицасы:
−
−
=
θ
ρ
θ
θ
ϕ
ρ
θ
ϕ
ρ
θ
ϕ
θ
ϕ
ρ
θ
ϕ
ρ
θ
ϕ
sin
0
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
A
(5.10)
203
A
J
det
=
якобианы
θ
ρ
sin
2
−
=
J
(5.11)
шамасына тең.
Бұдан
0,
0,
>
≠
ρ
θ
π
аймағында сфералық координаталар
жүйесі бірмəнді жəне ерекше нүктелері жоқ.
r
= 0 (
θ, φ
- кез келген) немесе
θ
= 0,
π
(
r, φ
- кез келген) –
сфералық координаталар жүйесінің ерекше нүктелері.
М
нүктесінің
цилиндрлік координаталары
деп мынадай
сандарды, атап айтқанда,
М
нүктесінің
Оху
координаталық
жазықтығына түскен
Q
проекциясының
Оху
жүйесіне қатысты
r
,
φ
поляр координаталарын жəне
М
нүктесінің
z
аппликатасын
айтады (25-сурет). Айтқанға сəйкес цилиндрлік координаталардың
өзгеру ауқымы
0 <
r
< +
, 0 ≤
φ
< 2
π
, –
< z < +
ал тікбұрышты декарт координаталарымен байланысы
x = r
cos
j, y = r
sin
j, z = z
(5.12)
түрінде кескінделеді. Мұнда
r
= 0 түзуі, яғни
z
осі бойында
координаталық жүйе «бұзылады».
Шынында, Якоби матрицасының түрі:
−
=
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
A
(5.13)
ал оның
J
= det
A
якобианы
r
J
=
(5.14)
шамасына тең жəне тек қана
r
= 0 болғанда нөлге айналады.
r
> 0 аймағында координаталар жүйесінің ерекше нүктелері
жоқ. Жоғарыдағыдай,
φ
координатасы 0 <
φ
< 2
π
аймағында
бірмəнді.
204
Достарыңызбен бөлісу: |
