§8.  Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру

205
жəне
   
            
(
)
*
( , , )
cos ;
sin ;
V
V
f x y z dxdydz
f r
r
z rdrd dz
=
∫∫∫
∫∫∫
ϕ
ϕ
ϕ
   
(5.19)
түрлеріне келеді.
1-мысал
. 
∫∫∫
V
zdxdydz
  үш еселі интегралын есептеу талап 
етіледі, мұнда
  V
 облысы 
x
2
 + 
y
2
 = 
z
2
 конусының жоғарғы бөлігі 
жəне 
z
 = 1 жазықтығымен шектелген.
Шешімі
.
 26-суретте 
V
 интегралдау облысы көрсетілген. 
Интегралды
x = r cosj,   y = r sinj,   z = z
формулаларымен цилиндрлік координаталарға көшу арқылы есеп -
тейміз. Сонда 
dxdydz = rdrdφdz
. 
D
 облысының шекарасы – шеңбер,
оның 
x
2
 + 
y
2
 = 1 теңдеуі цилиндрлік координаталарда 
r 
 = 1
түріне келеді. Жаңа айнымалылардың өзгеру ауқымы: 
r
 - 0-ден
1-ге дейін, 
φ
 - 0-ден 2
π
-ға дейін, ал 
z -
 
r
-ден 1-ге дейін (
D
 облы -
сын қиятын, 
Оz 
осіне паралель түзу 
z = r
 конусына кіріп, одан
z
 = 1 биіктігінде шығады). Сонымен, (5.19) формуласы бойынша
26-сурет
2
2
1
1
2
1
0
0
0
0
1
2
V
V
r
z
zdxdydz
z r drd dz
d
rdr zdz
d
r dr
r
=
⋅ ⋅
=
=
⋅ ⋅
=
∫∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
π
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
4
2
1
2
2
0
0
0
0
1
2
1
1
1
.
0
0
2
2
4
8
8
8
4
r
r
r
d
r
dr
d
d




=
⋅
−
=
−
=
=
=








∫
∫
∫
∫
π
π
π
π π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

206
Цилиндрлік координаталарға көшпеген жағдайда
2
2
2
2
1
1
1
1
1
.
x
V
x
x
y
zdxdydz
dx
dy
zdz
−
−
− −
+
=
∫∫∫
∫
∫
∫
Үш еселі интегралды сфералық координаталарда есептеу 
үшін айнымалыларды ауыстыру формуласын қолдану керек. 
Түрлендіру якобианы (5.11) бойынша 
θ
sin
2
r
J
−
=
 
(
)
θ
sin
2
r
J
=
 
шамасына тең болғандықтан, онда (5.17)-ге сəйкес
(
)
*
( , , )
cos sin ;
sin sin ;
cos
V
V
f x y z dxdydz
f
=
×
∫∫∫
∫∫∫
ρ
ϕ
θ ρ
ϕ
θ ρ
θ
2
sin
.
d d d
d d d
×
⋅
ρ
θ ρ ϕ θ ρ ϕ θ
      
(5.20)
Ескерту
.
 Сфералық координаталарға көшкен, 
V
 интегралдау 
облысы шар (оның шекарасының 
2
2
2
2
R
z
y
x
=
+
+
 теңдеуі 
сфералық координаталарда 
R
=
ρ
 түрінде жазылады) немесе оның 
бөлігі болып келгенде жəне интеграласты функция 
(
)
2
2
2
z
y
x
f
+
+
 
түрінде кескінделген жағдайда ыңғайлы.
2-мысал
.
 
(
)
∫∫∫
+
+
+
V
z
y
x
dxdydz
2
3
2
2
2
1
   
үш еселі интегралын есептеу
 
талап етіледі, мұнда
  V
 облысы 
1
2
2
2
≤
+
+
z
y
x
 шарымен 
кескінделген.
Шешімі
.
 Интегралды
cos sin ;
sin sin ;
cos
x
y
z
=
=
=
ρ
ϕ
θ
ρ
ϕ
θ
ρ
θ
формулаларымен сфералық координаталарға көшу арқылы 
есептейміз. Сонда 
2
sin
.
dV
dxdydz
d d d
=
=
⋅
ρ
θ ρ ϕ θ
V
 облысының шекарасы – сфера, ал оның теңдеуі 
ρ
 = 1.
Интеграласты функция айнымалыларды ауыстырған соң 
( )
2
3
2
1
1
ρ
+
, 

207
атап айтқанда
 
3
1
1
ρ
+
 
түріне келеді. Жаңа айнымалылардың өзгеру 
ауқымы:  
ρ
 - 0-ден 1-ге дейін, 
φ
 - 0-ден 2
π
-ға дейін, 
θ
 - 0-ден 
π
-ға 
дейін. Сонымен, (5.20) формуласы бойынша
∫∫∫
=
∫
∫
+
∫
⋅
=
⋅
+
=
V
d
d
d
d
d
d
I
π
π
ρ
ρ
ρ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
ρ
θ
ρ
ρ
2
0
1
0
3
2
0
2
3
1
sin
sin
1
1
2
2
3
1
0
0
0
0
0
1
1
sin
ln 1
sin
ln 2
3
3
d
d
d
d


=
⋅
+
=
⋅
=




∫
∫
∫
∫
π
π
π
π
θ θ
ϕ
ρ
θ θ
ϕ
(
)
.
2
ln
3
4
cos
2
ln
3
2
sin
2
ln
3
2
sin
2
ln
3
1
0
0
2
0
0
π
θ
π
θ
θ
π
ϕ
θ
θ
π
π
π
π
=
−
∫
=
⋅
=
∫
⋅
⋅
=
d
d

208
VІ тарау
.  
ҚИСЫҚСЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛДАР
§1. 
 
Бірінші текті қисықсызықты интеграл
xOy
 жазықтығында 
AB
 (немесе 
L
) үзіліссіз қисығы берілсін. 
Осы қисықтың бойында анықталған үзіліссіз 
f 
(
x, y
) функцияcын 
қарастырайық. Еркін алынған 
A
0
 = 
A
, 
A
1
, 
A
2
, 
A
3
, ..., 
A
n
-1
, 
A
n
 = 
B 
нүктелерімен 
AB
 қисығын, ұзындығы Δ
s
k
-ға тең  доғаларымен
п 
бөлікке бөлейік. Əр бөлік бойынан 
(
)
,
k
k
k
M x y
ɶ ɶ
 нүктесін алып 
(
)
1
,
n
k
k
k
k
f x y
s
=
∆
∑
ɶ ɶ
                                 
(6.1)
қосындысын құрамыз. Оны 
АВ
 қисығы бойынша 
f
(
x, y
) функ-
циясы үшін жазылған 
интегралдық қосынды
 дейді. 
1
max
k
k n
s
≤ ≤
=
∆
λ
 
бел гілеуін  енгізейік.
Егер 
λ 
→ 0 (
n
 → 

 
да
) (6.1) түріндегі интегралдық қосынды-
ның ақырлы шегі бар болып, ол шек не 
АВ
 қисығының бөлшектену 
тəсіліне, не ондағы 
M
k
 нүктелерінің алынуына тəуелсіз болса, 
онда аталған шекті 
АВ
 қисығының ұзындығы бойынша 
f 
(
x, y
)
функциясынан алынған 
қисықсызықты интеграл
 (немесе 
бірінші текті қисықсызықты интеграл
) деп 
( )
,
AB
f x y ds
∫
(немесе 
( )
,
L
f x y ds
∫
) арқылы белгілейді. Сонымен, анықтама 
бойынша 
( )
(
)
0
1
,
lim
,
.
n
k
k
k
k
AB
n
f x y ds
f x y
s
→
=
→∞
=
∆
∑
∫
ɶ ɶ
λ
Енді осы интегралдың есептеу жолдарын көрсетейік. 

209
§2.  Бірінші текті қисықсызықты интегралды
анықталған интегралға келтіру
АВ
 жазық қисығы 
x=x
(
t
), 
y=y
(
t
), (
a ≤ t ≤ β
)
параметрлік тендеулерімен берілсе, 
( )
( ) ( )
(
)
,
,
,
f x y
f x t y t
=
 ал
 ds
 - 
қисықтың доға ұзындығы дифференциалы, демек
( )
( )
2
2
2
2
(
)
(
)
ds
dx
dy
x t
y t
dt
=
+
=
+
′
′
болуынан 
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
2
2
,
,
(
)
(
)
.
AB
f x y ds
f x t y t
x t
y t
dt
β
α
=
+
′
′
∫
∫
             
(
а
)
Осыған ұқсас 
x = x
(
t
), 
y = y
(
t
), 
z = z
(
t
) (
a ≤ t ≤ β
) параметрлік 
тендеулерімен берілген 
L 
кеңістік сызығы бойымен 
f
(
x, y, z
)
функцияcынан алынған қисықсызықты интеграл ұғымы енгі-
зіледі:
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
2
2
2
, ,
,
,
(
)
(
)
(
)
.
AB
f x y z ds
f x t y t z t
x t
y t
z t
dt
β
α
=
+
+
′
′
′
∫
∫
Енді 
АВ
 қисығы 
y = y
(
x
) (
а ≤ х ≤ b
) айқын тендеуімен берілсе, 
онда 
х-
ті параметр етіп алып, (
а
) формуласын
( )
( )
( )
2
,
,
1 (
)
b
AB
a
f x y ds
f x y
y x
dx
=
+ ′
∫
∫
                  
(6.2)
түріне келтіреміз.
Мысал
.
 
2
L
xy ds
∫
 
қисықсызықты интегралын есептеу талап 
етіледі, мұнда 
L 
- 
О
(0, 0) жəне 
А
(4, 3) нүктелерін қосатын түзу 
кесіндісі.
Шешімі
.
 
ОА 
түзуінің теңдеуі  
y
4
0
,
4
3
≤
≤
=
x
x
 (6.2) фор-
муласына сəйкес
2
2
4
4
2
3
0
0
3
3
45
1
45.
4
4
64
L
xy ds
x
x
dx
x dx


 
=
+
=
=


 


 
∫
∫
∫
14–454

210
Бірінші текті қисықсызықты интегралдың бар болу шартын 
дəлелдеусіз келтіретін келесі теорема кескіндейді. 
Теорема 6.1.
 Егер 
f 
(
x, y
) функцияcы тегіс қисықтың əрбір 
нүктесінде үзіліссіз болса (атап айтқанда, əрбір (
x, y
)

L 
нүкте-
сінде берілген қисыққа жүргізілген жанама бар болып, нүктеден 
нүктеге көшкеннен ол өзгеріп отырса), онда бірінші текті 
қисықсызықты интеграл бар болып, оның мəні не қисықтың 
бөлшектену тəсіліне, не ондағы нүктелердің алынуына тəуелсіз 
болады.
Доғаның ұзындығы бойынша алынған (1-текті) қисықсызықты 
интегралдың негізгі қасиеттерін атап өтейік.
1.
 
( )
( )
,
,
AB
BA
f x y ds
f x y ds
=
∫
∫
 
- бірінші текті қисықсызықты ин-
теграл интегралдау жолы бағытына тəуелсіз.
2.
 
( )
( )
,
,
L
L
c f x y ds c
f x y ds
⋅
= ⋅
∫
∫
,   
с = 
const. 
3. 
( )
( )
(
)
( )
( )
1
2
1
2
,
,
,
,
.
L
L
L
f x y
f x y ds
f x y ds
f x y ds
±
=
±
∫
∫
∫
4. Егер интегралдау жолы ортақ нүктелі 
2
1
L
L
L
∪
=
 болатындай 
2
1
,
L
L
 жолдарына бөлшектенсе, онда 
( )
( )
( )
1
2
,
,
,
.
L
L
L
f x y ds
f x y ds
f x y ds
=
+
∫
∫
∫
5. Егер 
L 
қисығының нүктелері үшін 
( )
( )
1
2
,
,
f x y
f x y
≤
 теңсіздігі 
орындалса, онда
( )
( )
1
2
,
,
.
L
L
f x y ds
f x y ds
≤
∫
∫
6.  
0
1
lim
,
n
k
k
AB
n
ds
s
s
λ→
=
→∞
=
∆ =
∑
∫
мұндағы 
s - АВ
 қисығының ұзындығы.
7. Егер 
АВ
 қисығында 
f 
(
x, y
) функцияcы үзіліссіз болса, онда 
осы қисық бойында 
( )
(
)
,
,
c
c
AB
f x y ds
f x y
s
=
⋅
∫
болатындай 
(
)
c
c
y
x
,
 нүктесі табылады.

211

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: