Математика ғылымының ең ежелгі салаларының бірі геометрия. Геометрия, математика тарихында үлкен орын алады және геометриялық фигуралар үшбұрыш, төртбұрыш, шеңбер, призма, пирамида, және т б. туралы ғылым

жүктеу 2,51 Mb.

бет	12/30
Дата	23.11.2018
өлшемі	2,51 Mb.
	#24009

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 30

Үшбұрыштың тамаша нүктелері
Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысада және төбелерінен санағанда бұл нүктеде 2:1 қатынасындай болып бөлінеді

Үш элементі бойынша үшбұрыш салу
Үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне сүйеніп, циркуль мен сызғыштың көмегі арқылы төмендегідей салу есептерін орындауға болады.

Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.

Есеп. Берілген үш а, b, с қабырғалары бойынша үшбұрыш салу керек.

Шешуі. Сәуле алып оның бойына а-ға тең ВС кесіндісін саламыз (25-сурет). Циркульдің ашасын с-ға тең етіп, В нүктесін центр етіп алып доға жүргіземіз. Одан соң циркульдің ашасын b-ға тең етіп, С нүктесін центр егіп екінші доға жүргіземіз. Бұл доғаларды ВС сәулесінің бір жағында жүргіземіз. Сонда олар бір А нүктесінде қиылысады. А нүктесін В және С нүктелерімен қосып ABC үшбұрышын аламыз. Бұл ізделініп отырған үшбұрыш. Себебі оның қабырғалары берілген кесінділерге тең: [ВС] =а, [ВА]=с, [СА]=b.

Есептің шешімі болуы үшін екі қабырғаның қосындысы үшінші қабырғадан артық болуы керек, яғни а<b+с, b<а+с және с<а+b шарттары орындалуы керек.

Есеп. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу керек.

Шешуі, Төбесі Е нүктедегі

- бұрыш және b, с кесінділері берілсін (26-сурет). Е бұрышына тең А бұрышын саламыз.

Циркульдің көмегімен А бұрышының қабырғаларының бойына төбесінен өлшеп b-ға тен AC кесіндісін және с-ға тең АВ кесіндісін салалық. В, С нүктелерін қосьш, ізделінді ABC үшбұрышын аламыз.

Шындығында, салуымыз бойьшша |АВ|=с, |АС|=b, А=Е. Есептің жалғыз ғана шешімі бар.
Есеп. Бір қабырғасы және оған іргелес жатқан бұрыштары бойынша үшбұрыш салу керек.

Шешуі. Төбелері Е және F болатын сәйкес екі бұрыш және а кесіндісі берілсін (27-сурет).

l түзуін жүргізіп оның бойына берілген а кесіндісіне тең ВС кесіндісін өлшеп салалық. l тузуімен анықталған жарты жазықтықтың бірінде екі бұрыш салалық. Бір қабырғасы ВС сәулесімен бағытталған Е бұрышына тең бұрыш және бір қабырғасы СВ сәулесімен бағытталған F бұрышына тең бұрыштар саламыз. Олардың екінші қабырғалары А нүктесінде қиылысады. Шыққан ABC үшбұрышы ізделінді үшбұрыш.

Шындығында, салуымыз бойьшша В=Е, C=F және [ВС]=а. Үшбұрыштың екі бұрышы бірден доғал бола алмайды.Сондықтан есептің шешімі болу үшін E+ F < 180° шарты орындалуы керек.
Үшбұрыштың тамаша нүктелері
Біз үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысатынын және үшбұрыш биссектрисаларының да бір нүктеде қиылысады. Осындай қасиетке үшбұрыштың медианалары да, биіктіктері де ие болады екен.

Медианалардың қасиетін үшбұрыштың орта сызығының қасиетіне және Фалес теоремасына сүйеніп дәлелделік.

Теорема . Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысада және төбелерінен санағанда бұл нүктеде 2:1 қатынасындай болып бөлінеді (28, a - сурет).

Дәлелдеу. ABC үшбұрышын қарастыралық (28, ә - сурет). О -деп оның АА₁ және BB₁ медианаларының қиылысу нүктесін, ал С₁ -деп АВ қабырғасының ортасын белгілелік.

Ортақ АА₁ - қабырғалы АСА₁ , ABA₁ үшбұрыштарының B₁B₂, С₁С₂ орта сызықтарын жүргізелік. Сонда ВС қабырғасы тең төрт бөлікке, ал BB₁ медианасы тең үш бөлікке белінеді (ұшбұрыштың орта сызығының қасиеті және Фалес теоремасы бойынша). Демек, |ОВ|=2|ОВ_І|. Бұдан |BO|:|OB₁|=2:1. Осы 2діспен АА₁ медианасы да О қиылысу нүктесінде төбеден санағанда 2:1 қатынаста бөлінетінін көрсетеміз. Дәл осылайша, ВВ₁ және СС₁ медианаларының қиьшысу нүктесі, олардың әрқайсысын төбесінен санағанда 2:1 қатынасынды бөледі, демек, О нүктесімен дәл келеді. Сонымен ABC үшбұрышының үш медианасы да О нүктесінде қиылысып, төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөлінеді.

Биіктіктердің қасиетін кесіндіге орта перпендикулярлардың

қасиеттеріне сүйеніп дәлелдейміз.

Теорема. Үшбұрыштың биіктіктері (не олардың созындылары) бір нүктеде қиылысады (28-сурет).

Дәлелдеу. Кез-келген ABC үшбұрышын алып, оның биіктіктері жататын АА₁ , BB₁ және CC₁ түзулердің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдейік (28,ә - сурет). ABC үшбұрышының әр төбесі арқылы қарама-қарсы қабырғасына параллель түзулер жүргізейік. Сонда А₂В₂С₂ үбұрышын аламыз. Ал АВА₂С және АВСВ₂ төртбұрыштары -параллелограмдар.

Сондықтан |АВ|=|А₂С| және |АB|=|СB₂|, бұдан |А₂С|=|СВ₂|. Осы сияқты |С₂А|=|АВ₂| және |С₂В|=|ВА₂|. Оған қоса, салудан көрініп тұрғандай

СС₁

А₂В₂, АА₁

В₂С₂ және BB₁

A₂C₂. Осылайша, АА₁ , ВВ₁ және СС₁ түзулері А₂В₂С₂ үшбұрышының қабырғаларына жүргізілген орта перпендикуляр болып табылады. Демек, олар бір нүктеде қиылысады.

Сонымен, әрбір үшбұрышпен төрт нүкте байланысты: медианалардың қиылысу нүктесі, биссектрисаларының қиылысу нүктесі, қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі және биіктіктерінің (не олардың созындыларының) қиылысу нүктесі. Осы төрт нүкте үшбұрыштың тамаша нүктелері деп аталады.

жүктеу 2,51 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 30