Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы

Дәлелдеу. ABC берілген үшбұрыш болсын. В төбесі арқылы AC түзуіне параллель түзу жүргіземіз. А және D нүктелері ВС түзуінің әр жағында жататындай етіп D нүктесін белгілейміз (18-сурет).

Сонда үшбұрыштың барлық үш бұрышының қосындысы ABD және ВАС бұрыштарының қосындысына тең. Ал бұлар AC және BD параллель түзулері мен АВ қиюшысы жасайтын ішкі тұстас бұрыштар, сондықтан бұлардың қосындысы 180°-қа тең. Теорема дәлелденді.

8-теоремадан мынадай салдар шығады: кез келген үшбұрыштың ең кемінде екі бұрышы сүйір болады.

Шынында да, үшбүрыштың тек қана бір бұрышы сүйір немесе оның сүйір бұрышы мүлдем жоқ деп ұйғарсақ, сонда бұл үшбұрыштың әрбіреуі 90⁰-таи кем емес екі бұрышы бар болады. Осы екі бұрыштың қоеындысы-ақ 180^и-тан кем емес болады. Ал, бұл мүмкін емес, өйткені үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең. Дәлелдеу керегі де осы еді.

Үшбұрыштың берілген төбесіндегі сыртқы бұрышы деп осы төбедегі үшбұрыштың бұрышымен сыбайлас бұрышты атайды (19-сурет).

Берілген төбедегі үшбұрыштың бұрышын осы төбедегі оның сыртқы бұрышымен шатастырмас үшін оны кейде ішкі бұрыш деп атайды.

Теоремa 9. Үшбүрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең болады.

Дәлелдеу. ABC - берілген үшбұрыш болсын (20-сурет). Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша

Бұдан

Бұл теңдіктің оң жақ бөлігінде үшбұрыштың С төбесіндегі сыртқы бұрыштың градустық өлшемі тұр. Теорема дәлелденді. 9-теоремадан мынадай салдар шығады: үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес кез келген ішкі бұрыштан үлкен болады.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болғандықтан, тік бұрышты үшбұрышта тек қана бір тік бұрыш бар болады. Тік бұрышты үшбұрыштың қалған екі бұрышы сүйір болады. Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90°-қа тең болады (180 - 90 = 90 ).

Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышына қарсы жатқан қабырғасы гипотенуза деп, қалған екі қабырғасы катеттер деп аталады (22-сурет).

Тік бұрышты үшбұрыштардың гипотенузасы мен катеті бойынша теңдік белгісін келтіреміз:

Үшбұрыштың орта сызығы деп оның екі қабырғасының орталарын қосатын кесіндіні атайды.

Теорема 10. Үшбұрыштың берілген екі қабырғасының орталарын қосатын орта сызығы оның үшінші қабырғасына параллель және оның жартысына тең болады.

Дәлелдеу. DE - ABC үшбұрышының орта сызығы болсын (24-сурет).

Теорема дәлелденді.