§7 Математикалық үміттің қасиеттері
1. Тұрақты шаманың математикалық үміті, тұрақты шаманың өзіне тең.
(2)
Дәлелдеу. «С» тұрақтысын, бір мүмкін мәні (С) бар, және оны ықтималдығымен қабылдайтын дискретті кезднйсоқ шама деп қарастырамыз. Демек, (1) формула бойынша дәлелденді.
1-Ескерту. Тұрақты С шамасын, дискретті кездейсоқ шамасына көбейтуді, дискретті кездейсоқ шамасы деп ұғамыз. Мұның мүмкін мәндері, -тің мәндерін тұрақты -ға көбейту арқылы анықталады. -тің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары -тің сәйкес мүмкін мәндерінің ықтималдықтарына тең болады. Мысалы, егер мүмкін мәнінің ықтималдығы -ге тең болса, онда шамасының мәнін қабылдайтындығының ықтималдығы да -ге тең.
2. Тұрақты көбейткішті математикалық үміт белгісінің сыртына шығаруға болады
(3)
Дәлелдеу. кездейсоқ шамасы, ықтималдықтарының үлестірім заңымен берілсін
1-ескертуді ескеріп кездейсоқ шамасының үлестірім заңын жазамыз:
.....
Онда кездейсоқ шамасының математикалық үміті:
Сонымен,
2-Ескерту. Егер екі кездейсоқ шаманың біреуінің үлестірім заңы, екіншісінің қандай мүмкін мән қабылдайтындығына тәуелді болмас, онда, ондай екі кездейсоқ шамаларды тәуелсіз кездейсоқ шамалар деп атаймыз. Кері жағдайларда оларды тәуелді кездейсоқ шамалар деп атаймыз.
3-Ескерту. Тәуелсіз кездейсоқ және шамаларының көбейтіндісін кездейсоқ шамасы ретінде анықтаймыз. Мұның мүмкін мәндерін, -тің әрбір мүмкін мәнін -тің әрбір мүмкін мәніне көбейтіп табамыз. көбейтіндісінің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары олардың көбейткіштерінің мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең. Мысалы, егер мүмкін мәнінің ықтималдығы -ге, –дікі, -ге тең болса, онда мүмкін мәнінің ықтималдығы -ге тең болады.
Кейбір көбейтінділері өзара тең болуы мүмкін. Бұл жағдайда көбейтіндінің мүмкін мәнінің ықтималдығы сәйкес ықтималдықтардың қосындысына тең болады. Мысалы, егер болса, онда нің ықтималдығы (немесе -тікі) ке тең болады.
3. Тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық үміті, олардың математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең.
(4)
Дәлелдеу. Тәуелсіз кездейсоқ және шамалары өздерінің үлестірім заңымен берілген:
кездейсоқ шамасы қабылдай алатын барлық мәндерді құрайық. Ол үшін -тің барлық мүмкін мәндерін -тің әрбір мүмкін мәніне көбейтеміз, нәтижесінде және шығады. 3-ші ескертуді ескеріп, және көбейтіндінің барлық мүмкін мәндері әртүрлі деп ұйғарып (қарапайым жағдай үшін) -тің үлестірім заңын жазайық:
мұның математикалық үміті (1)-формула бойынша:
немесе
Сонымен, дәлелденді.
Салдар. Өзара тәуелсіз бірнеше кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық үміті, олардың әрқайсысының математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең. Мысалы, үш кездейсоқ шама үшін былай болады:
Мысал. және У тәуелсіз кездейсоқ шамалары мынадай үлестірім заңдарымен берілген:
Х 5 2 4 у 7 9
Р 0,6 0,1 0,3 Р 0,8 0,2 -ті тап.
Шешуі.
Енді Х және У кездейсоқ шамалары тәуелсіз болғандықтан
4-Ескерту. және кездейсоқ шамаларының қосындысын кездейсоқ шамасы ретінде анықтаймыз. Мұның мүмкін мәндері, -тің әрбір мүмкін мәніне -тің әрбір мүмкін мәнін қосқанға тең. Ал -тің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары, тәуелсіз және шамалары үшін, қосылғыштардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, ал тәуелді шамалардікі – біреуінің ықтималдығын екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең.
Кейде қосылғыштарының кейбіреулері өзара тең болуы мүмкін. Бұл жағдайда қосындының мүмкін мәнінің ықтималдығы, сәйкес ықтималдықтарының қосындысына тең. Мысалы, егер болса, және бұл мүмкін мәндердің сәйкес ықтималдықтары және болса, онда -нің (немесе -тің) ықтималдығы -ке тең болады.
4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміті, қосылғыштардың математикалық үміттерінің қосындысына тең.
(5)
Дәлелдеу. және кездейсоқ шамалары мынадай үлестірім заңдарымен берілсін:
шамасының барлық мүмкін мәндерін құрайық. Ол үшін -тің әрбір мүмкін мәніне -тің әрбір мүмкін мәнін қосамыз, сонда және болады. Қарапайым жағдайда, бұлар әртүрлі деп ұйғарайық та, олардың сәйкес ықтималдықтарын және деп белгілейік.
шамасының математикалық үмітін тапсақ:
немесе
(*)
Енді екендігін дәлелдейік. « шамасы мәнін қабылдайық» – оқиғасы (мұның ықтималдығы -ге тең) мына оқиғасын да өзімен ала келеді, яғни бұл оқиға немесе мәнін қабылдайды. Мұның ықтималдығы, қосу теоремасы бойынша -ге тең, және керісінше болады. Бұдан екендігі шығады. Осы жолмен және теңдіктері де шығады, яғни дәлелденеді. Осы теңдіктердің оң жақтарын (*) өрнегіне қойсақ:
демек, дәлелденді.
Үш қосылғыш үшін былай болады:
Мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдықтары ға тең үш рет оқ атылды. Нысанаға, жалпы тию санының математикалық үмітін тап ?
Шешуі. Бірінші атқанда -дің екі мүмкін мәндері болады: 1 (дәл тию ықтималдығы) -ке тең және 0(тимей кету ықтималдығы) Сонда . Осы сиқты екінші және үшінші атқанда тиетіндігінің ықтималдығын есептесек: ; болады. Нысанаға тигізудің жалпы саны, үш рет атқандағы әр тигізудің қосындысынан тұратын кездейсоқ шама болады:
Енді (5) формула бойынша:
Теорема. Өзара тәуелсіз әрекет жасағанда А оқиғасының орындалу санының математикалық үміті , әрекеттің санын әрбір әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу ықтималдығына көбейткенге тең.
(6)
Дәлелдеу. рет тәуелсіз әрекет жасағандағы А оқиғасының орындалу санын кездейсоқ шамасы деп қарастырайық. – бірінші әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу саны, – екінші әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу саны, ....... , – -ші әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу саны. Сонда оқиғаның орындалуының жалпы саны:
4-қасиет бойынша
(7)
теңдіктің оң жағындағы әр мүше, бір реткі әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу санының математикалық үміті, яғни – бірінші реттегі, – екінші реттегі, т.с.с. Бір реткі әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу санының математикалық үміті оқиғаның ықтималдығына тең болғандықтан мұны (7)-ге қойсақ
дәлелденді.
Мысал. Мылтықтан атқанда нысанаға тию ықтималдығы -ға тең. Егер 10 рет ататын болсақ, нысанаға тиюінің жалпы санының математикалық үмітін тап ?
Шешуі. Әр атқан кездегі тию-тимеуі бір-біріне байланысты емес, олай болса бұл оқиғалар тәуелсіз, демек іздеп отырған математикалық үміт
(6 рет тиді.)
Достарыңызбен бөлісу: |
