Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер

жүктеу 2,26 Mb.

бет	67/175
Дата	16.01.2020
өлшемі	2,26 Mb.
	#26847

1 ... 63 64 65 66 67 68 69 70 ... 175

3.5 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер
түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.

y = + y* ,

мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y* - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f(x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:

f(x)

Сипаттамалық

теңдеудің түбірлері

Дара шешімнің түрі

1) e^ax P_n(x),

мұндағы P_n(x) –

n-дəрежелі берілген көпмүшелік

a саны – сипаттама

теңдеудің түбірі емес

a саны – сипаттама

теңдеудің r-еселі түбірі

y* = e^ax P^*_n (x)
y^∗= x^re^axP^*_n (x)

2) e^ax[ P_n(x) cosbx+

+Q_m(x) sinbx ]

abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің түбірі емес

abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің

r-еселі түбірі

y*=e^ax[P^*_k(x)cosbx+Q^*_k(x)sinbx],

мұндағы k=max(m,n)

y*=x^re^ax[P^*_k(x)cosbx+Q^*_k(x)sinbx]

мұндағы k=max(m,n)

Мысал 1: y^I^V + 8y''+16y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Шешуі: y = + y*

1) =?

2) y*=?

f(x) = cosx  abi = 01i = i ≠ k₁, k₂, ,k₃ ,k₄

y*=Acosx+Bsinx  (y*)^= -Asinx+Bcosx 

(y*)= -Acosx-Bsinx  (y*)= Asinx-Bcosx  (y*)^iv= Acosx+Bsinx

Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:

Acosx+Bsinx+8(-Acosx-Bsinx)+16(Acosx+Bsinx)=cosx

A мен B мəндерін y*-ны анықтау өрнегіне қоямыз:

y*=

cos x

Демек, y = + y*= (C₁+xC₃)cos2x+ (C₂+xC₄)sin2x +

cosx

Мысал 2: теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Шешуі: f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

2)түрінде іздейміз, мұндағы:



Сонымен,

3) f₂(x) функциясын келесі түрде ізделік: .



Сонымен,

болғандықтан

Ізделінді дара шешім :

Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

жүктеу 2,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 63 64 65 66 67 68 69 70 ... 175