Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

Ақпараттық технологиялар факультетінің әдістемелік кеңесінде бекітілген, __.___ 200 ж. №__ хаттама

©А.Байтұрсынов атындағы Қостанай

мемлекеттік университеті
Мазмұны
Алғы сөз..............................................................................................................4

1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік.................................6

2 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер................................................10

2.1 Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер..............................................11

2.2 Біртекті дифференциалдық теңдеулер......................................................13

2.3 Біртектіге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер............................. 14

2.4 Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер............................18

2.5 Бернулли теңдеуі.........................................................................................21

2.6 Толық дифференциалдық теңдеулер.........................................................23

2.7 Туындылары арқылы шешілмеген бірінші ретті......................................26

дифференциалдық теңдеулер.....................................................................26

2.7.1 Толымсыз дифференциалдық теңдеулер...............................................26

2.7.2 Лагранж және Клеро теңдеулері.............................................................27

3 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер..............................................29

3.1 Кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер......................29

3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер..........................32

3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер.....34

3.4 Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық теңдеулер......36

3.5 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті ......................................37

емес сызықтық теңдеулер............................................................................37

нормальдық қалпы.........................................................................................

4.2 Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық ...........................45

теңдеулер жүйесі ...............................................................................................45

5 Дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің орнықтылығы......................48

6 Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер........................................49

6.1 дербес туындылы теңдеулер. Сипаттауыштар. Коши есебі....................49

Қосымшалар.......................................................................................................54

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ...................................................................64

Алғы сөз
Əдістемелік көмекші құрал кредиттік технология бойынша жоғарғы оқу орнының математика, физика, информатика мамандықтары үшін, сондай-ақ экономикалық жəне техникалық мамандықтағы ішкі жəне сыртқы, сондай – ақ өздік оқу формасына даярланған.

Дифференциалдық теңдеулер тарауын жақсы игерту, оларды шешу əдістерін жетік білдіру мақсатында теориялық бөлімінен анықтамалар, теоремалар, формулалар енгізіліп, типтік тапсырмалардың шешу үлгілері талқыланады. Соңында өздік орындау жұмыстарына арналған жеке тапсырмалар нұсқалары ұсынылады. Олардың жеткілікті сан мөлшері осы əдістемелік құралды практикалық сабақтарда жаттығулар жинағы ретінде қолдануға мүмкіндік береді. Аталған мамандықтарда оқитын əрбір студент белгілі бір процестерді тану, оны игеру барысында айнымалылар арасындағы функционалдық тəуелділіктің аналитикалық мəнімен жиі кездеседі. Сондай-ақ, айнымалылар арасындағы байланысты іздеуге арналған көпшілік есептер белгісіз функциялардың туындысы немесе дифференциалы қатыстырылған теңдеулерді шешуге əкеледі.

Дифференциалдық теңдеулер тарауы туынды жəне интегралдар тарауымен тығыз байланысты болғандықтан осы тараулардың əрбір элементін жетік білу қажеттілігі туындайтынын ескерте кеткен жөн.

1. Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік.
y’ туындысы интегралдық қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады.

Интегралдық қисықтың кез келген А(х, у) нүктесіндегі жанаманың бұрыштық коэффициентін дифференциалдық теңдеуді шешпей-ақ табуға болады.

Жанама интегралдық қисықтың бағытын көрсететін болғандықтан, f(x, y) функциясы үзіліссіз болса А нүктесін үзіліссіз жылжыта отырып, дифференциалдық теңдеуді интегралдау нәтижесінде алынатын қисықтардың бағыттар өрісін көрсетуге болады. Олар теңдеудің жалпы шешімі болады.

Анықтама. Қарастырылып отырған облыстың әрбір нүктесіндегі жанамалар жиынтығы бағыттар өрісі деп аталады.

Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, дифференциалдық теңдеуді геометриялық тұрғыдан талқылайық:

  1) Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу берілді деген сөз - бағыттар өрісі берілген

  2) Дифференциалдық теңдеу шешу не интегралдау дегеніміз - әрбір нүктесіндегі жанамалардың бағыты бағыттар өрісімен беттесетін барлық қисықтарды табу.

Біз тек қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

G(x,y,y ′,y′′..., y^(п)) = 0 - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек,

y^(п) = F(x,y,y′, y′′,y′′′,...) - бас туындыға қатысты шешілген теңдеу.

Мысалы. у′′+5xу′-x²y³= 0 – екінші ретті,

d³y/dx³–xy² dy/dx =7 - үшінші ретті,

Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық:

у′ =cosx , у′′= - sinx

Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады.

Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық:

Жалпы интегралдағы С₁, С₂,..., С_n тұрақтыларының орнына мəндер қойып дара шешімдер алуға болады.