6. Дербес туындылы теңдеулер
6.1 дербес туындылы теңдеулер. Сипаттауыштар. Коши есебі
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек , мұндағы ai, b – (х1, …, xn, u) белгілі функциялары. Ол үшін алдымен:
1) сипаттауыштар теңдеулер жүйесінің алғашқы интегралдарын табу керек
(*)
2) берілген дербес туындылы теңдеудің жалпы шешімі болатын алғашқы интегралдардан қандай да бір F(1, 2, …n) функциясын құрастырамыз (I – тәуелсіз, i = 1, …, n).
Бірінші ретті дербес туындылы теңдеудің Коши есебі дегеніміз: (*) теңдеуінің (n – 1) -өлшемді S бетінде
S = {r(S): x1(S1, …, Sn-1), x2(S1, …, Sn-1), …, xn(S1, …, Sn-1)}
u/S = (S1, S2, …, Sn-1) шартын қанағаттандыратын u(x1, …, xn) шешімін табу есебі.
Мысал 1. Теңдеудің жалпы шешімін тап:
Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырып, оны шешеміз:
Алғашқы интеграл табылды: С1 = ху + у2.
Z = F(xy+y2) - функциясы теңдеудің жалпы шешімі болады, мұндағы F – кез келген дифференциалданатын функция.
Мысал 2. Теңдеуді шеш:
Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырайық:
Алғашқы бөлшектер жұбы алғашқы интегралды береді: -ді екінші бөлшектер жұбына қоямыз, сонда:
Соңғы теңдеуді интегралдай отырып, екінші алғашқы интегралды аламыз:
Сонда жалпы шешім:
Мысал 3. Теңдеуді шеш:
Шешуі. Сипаттауыштар теңдеулер жүйесін құрастырып, оны шешеміз:
теңдеуінен алғашқы интегралды аламыз: .
бөлшектеріне тең бөлшектерді түрлендіру ережесін қолданайық:
Бұдан екінші алғашқы интегралды аламыз: С2 = (½)ху u.
және өрнектерін теңдеуіне қоямыз. Сонда:
Алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:
Үшінші алғашқы интегралды аламыз:
Мысал 4. Коши есебін шеш:
y = 1.
Шешуі. Екі алғашқы интегралды табайық. Жүйе құрастырамыз:
Бұдан бірінші алғашқы интегралды табамыз: С1 = х2у.
екенін ескере отырып теңдеуін шешсек, екінші алғашқы интегралды аламыз:
Екі алғашқы интегралға z = x2, y = 1 қоямыз:
Бұл теңдеулер жұбынан х-ті жойсақ, алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеуді аламыз:
С1 және С2 орнына алғашқы интегралдарды қойсақ, Коши есебінің шешімін аламыз:
Мысал 5. Коши есебін шеш:
u = x2 + y2, z = 0.
Шешуі. - сипаттауыштар теңдеулер жүйесінің алғашқы интегралдарын табамыз:
Бастапқы шарттарды пайдалана отырып алғашқы интегралдарды байланыстыратын келесі теңдеулерді аламыз:
u = x2 + y2 u = 2C2(C12 + 1).
С1 және С2 алғашқы интегралдарды қойсақ, Коши есебінің шешімін аламыз:
Достарыңызбен бөлісу: |