-апта №9 дәрістің тақырыбы

№9 дәрістің тақырыбы: Көрсеткіштік теңдеулер.

1. Көрсеткіштік теңдеулердің анықтамасы.

2. Көрсеткіштік теңдеулерді шешудің негізгі әдістері.

Әдебиеттер (негізгі, қосымша):[9]; [10]; [11]

3.Логарифмдік теңдеулер ұғымы.

1-мысал. теңдеуін шешейік.

Шешуі. (2) формула бойынша

Жауабы. .

Әдетте,мұндай қарапайым теңдеуді шешу үшін мүмкін болса,оң жақ бөлігіндегі өрнекті ( ны) негізі ға тең дәреже түріне келтіріп шешеді. Мысалы,қарастырылған есепте болатынын ескеріп, берілген теңдеуді түрінде жазса,жеткілікті.Осыдан Егер болса,онда

(3)

түріндегі теңдеуді қарапайым логарифмдік теңдеу деп атайды.

Е нді ның кез келген мәнінде жалғыз түбірі бар екенін көрсетелік. Шынында да,(3) теңдеудің түбірі функциясының графигі мен түзуінің қиылысу нүктесінің абсциссасына тең болатынын жақсы білеміз. - ның кез келген мәндерінде бұл екі график жалғыз нүктеде қиылысатынын көреміз.Олай болса, - ның кез келген мәндерінде (3) теңдеудің жалғыз түбірі бар. Логарифмнің негізгі теңбе-теңдігі бойынша теңдігі орындалатынын ескерсек,онда (3) теңдеудің жалғыз шешімі

(4)

формуласымен анықталады.

4.Логарифмдік теңдеулерді шешудің әдістері.

2-мысал. теңдеуін шешейік.

Шешуі. формуласы бойынша берілген теңдеудің сол жақ бөлігін не түріне келтіреміз.Сонда бұл теңдеуді былай жазамыз:

Осыдан (4) формула бойынша

Логарифмдік функция бүкіл сан өсінде анықталмағандықтан,бұл табылған шешімдердің берілген теңдеуді қанағаттандыратынын не қанағаттандырмайтынын тексеру қажет.

Т е к с е р у.Егер болса,онда яғни қанағаттандырады. Егер болса,онда өрнектерінің мағынасы болмайды. Сонымен,ж а у а б ы : .

Б ерілген теңдеудің жауабын анықтаудың тағы бір тәсілі бар – ол теңдеудің ММЖ-ын (мүмкін мәндері жиынын) анықтау тәсілі.Берілген теңдеудің ММЖ теңсіздіктері жүйесімен анықталады.Олай болса,ММЖ теңсіздігімен анықталады немесе жиыны болады.Ал болғандықтан есептің ж а у а б ы : .

Жалпы, теңдеулерді шешуде,негізінен екі түрлі тәсілді жиі қолданады: жаңа айнымалы енгізу және көбеткіштерге жіктеп, оны 0-ге теңестіру тәсілдері. Бұл екі тәсілде де берілген күрделі теңдеуді қарапайымдау бірнеше теңдеулер жиынтығына келтіріп шешеді.Сонымен көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді түрлендіру барысында олардың тең шамалылығын қадағалай отырып, көрсеткіштік және логарифмдік функцияларға тән қасиеттерді де қолдану керек. Енді күрделі көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.

Әдетте көрсеткіштік теңдеулерді

а^f(х) = а^g(х), (а>0,а≠1) (5) түріне келтіріп шешеді. Бұл теңдеу y=f(x) және y=g(x) функцияларының ортақ анықталу облысында f(x)=g(x) теңдеуімен мәндес болады.