/
=
SE
лг-ЬДлг+;-(-Д5
(81.3)
273
dt.
J ^ j x+&
шамасын аз
6
үшін үлкен дәлдікпен былай
жазуға болады:
д х )
( £ 1
г
(
d'2z
мұндағы
^ - 2
+
/
х
' д_
д х
І і
дх
д*
д х
,
дЧ ?
( 8 1 . 4 )
ретінде я қимасындагы
х
бойынша алын-
ған
екінші реттік туындысы.
Ах,
I және Д£ шамаларының аз болуына байланысты
(81.3) өрнегіне (81.4) турлендіруін пайдаланамыз:
/ =
S E
д х )>
д х
. дЧ ,
+ дГ
2
^
= 5 £ ^ ( Д х + Д?)
dz
S E ^ A x
д х
-
(серпімді деформация кезіидегі
салыстырмалы
ұзару бірден
олдеқайда кіші
болады.
Сондықтан
А|<СД*. Ендеше (Д*-гД£) қосындыдағы А£ қосылғышын
ескермеуге де болады).
Ныотонның екінші заңының теңдеуіне масса, үдеу
және күшті қойып, төмендегіні аламыз:
S E -T-г, Ах.
д х 1
Ақырында,
SAx
шамасына қысқартып, £-нің
у
пен г-ке
тәуелді болмайтын дербес жағдайындағы (80.4) толқын-
дық теңдеуі болып саналатын мына теңдеуге келеміз:
і = т г ! "
(81-5>
(81.5)
теңдеуін (80.4) теңдеуімен салыстырып, мына-
ны табамыз:
v
=
( 8 1 . 6 )
Сонымен, серпімді қума толқынның фазалық жылдам-
дығы Юнг модулындағы квадрат түбірді ортаның тығыз-
дығына бөлгенге тең. Осы сияқты көлденең толқынға
арналған есептеулер жылдамдыққа арналған мына өр-
некке келтіреді:
, = У
т - ‘
( 8 1 -7>
мұндағы
G
— ығысу модулы.
274
§ 82. Серпімді толқынныц
э и е р г и я с ы
Жазық кума толкын таралатын ортадан
AV
'элемен-
тар көлем бөліп алайық. Бұл көлемді қозғалыстың де-
формациясы мен жылдамдығы осы көлемнің барлық
нүктелерінде оірдеи және тең болуы үшін
мен
-ге
сәйкес өте кішкентай етіп аламыз.
(45.15)
формула бойынша біздің бөліп алған көлемі-
міз серпімді деформацияның төмендегідей потенциялық
энергиясына ие болады:
= f
^
f
( г ғ ) V
,
( 8 і . б )
мұндағы
е —
4^-----салыстырмалы ұзару, ал
Е
— Юнг
OJC
м о д у л ы .
(81.6) бойынша Юнг модулы
Е
-ні
pv2
(р — ортаның
тығыздығы,
и
— толқынның фазалық жылдамдығы) ар-
қылы ауыстырамыз. Онда А
V
көлемінің потенциялық
энергиясына арналған өрнек мына түрде жазылады:
<821)
Қарастырылып отырған көлем, сондай-ақ, төмендегі-
дей кинетикалық энергияға да ие болады:
д я * = т ( - § ) 2дк
(82-2)
(рАУ— көлемнің массасы,
— оның жылдамдығы).
(81.2) және (82.2) өрнектерінің қосындысы толық энер-
гияны береді:
Ь.Е
= ЛЕ* +
= ф р
д к
А
Е
энергияны сол энергия тұрған
AV
көлемге бөліп,
энергияның тығыздығын аламыз
и
2
І І
dt
v-
д іү
дх)
(82.3)
Жазық толкынның (78.2) теңдеуін
t
және
х
бойынша
дифференциалдап, мыканы аламыз:
d?
dt
dl
дх
ша
sin to
It
x
a
sin to
1
1
n
<0
V
275
Бұл өрнектерді (82.3) формуласына қойып, мынаны
аламыз:
a
= ра
2
ш-
su\2 ^ { t
—
= ра
2
ш
2
sin
2
(co^ —
kx).
(82.4)
Көлденең толқын жағдайында да энергия тығыздығы
үшін осындай өрнек алынады.
(82.4) формуласынан энергия тығыздығы уақыттыц
әрбір мезетінде кеңістіктің’әрбір нүктесінде түрліше бо-
латындығы байқалады. Бір нүктедегі энергия тығызды-
ғы уақыт бойынша синус квадратының заңы бойынша
өзгереді. Синус квадраттың орташа мәні жартыға тен
болғандықтан, ортаның әрбір нүктесіндегі энергияның
орташа (уақыт бойынша) мәні мынаған тең:
и = -^-рагш2.
(82.5)
(82.4) энергия тығыздығы жопе оныц (82.5) орташа
мәні ортаның р тығыздығына, ы жпіліктіц квадратына
және
а
толқын амплитудасының квадратына пропор-
ционал болады. Мұндай тәуелділік амплитудасы турак
ты жазық толқында ғана емес, толқынның басқа түрле-
рінде де орын алады.
Сонымен толқын пайда болатын ортада энергияныц
қосымша қоры болады. Бұл энергияны тербеліс көзінен
ортаның ігүрлі нүктелеріне' толқынның өзі тасымалдай-
ды, демек, толқын өзімен бірге энергия тасымалдайды.
Қандай да болсын, бет арқылы бірлік уақыт ішінде тол-
қын тасымалдайтын энергия мөлшері э н е р г и я а ғ ы
н ы
Ф деп аталады. Энергия ағыны — скаляр ша-
ма, оның өлшемділігі энергия өлшемділігін уақыт өл-
шемділігіне бөлгенге тең, яғни қуаттың өлшемділігінс
дәл келеді. Осыған орай Ф шамасын
эрг/сек, ватт
т. б.
арқылы өлшеуге болады.
Ортаның әр түрлі нүктелеріндегі энергия агыныныц
интенсивтілігі түрліше болады. Кеңістіктің әр түрлі нүк-
телеріндегі энергия агысын сипаттау э н е р г и я а г ы
н ы н ы ң т ы ғ ы з д ы ғ ы деп аталатын вектарлық ша-
ма енгізіледі. Бұл шама сан жагынан, энергия тасымал-
данатын
бағытқа
перпендикуляр, берілген
нүктедс
орналасқан бірлік аудап арқылы өтстін энергия агыпы-
на тең. Энергия ағыиы тыгыздыгы векторыныц багыгы
энергия тасымалданатып бағытқа сәйкес келсді.
Толқынның таралу бағрітына перпендикуляр AS х
276
ауданша арқылы
At
уақыт ішінде
АЕ
энергия тасымал-
дансын делік. Онда энергия агыныныц тыгыздығы /'
анықтама бойынша мынаган тең:
Д
Достарыңызбен бөлісу: |
